1、SPC教育訓練 (中級 )品質保證部 王曉微2003/10/14華映視訊（吳江）有限公司華映視訊（吳江）有限公司 CHUNGHWA PICTURE TUBES(WU JIANG)LTD.目錄 1 基本 SPC統計基礎 1.1 基本概率論 1.2 數據描述方法 1.3 機率分配 1.4 抽樣分配 2 管制圖簡介 2.1 計數值管制圖 2.2 計量值管制圖1.1 基本概率論目的 將宇宙間的事物與現象數量化、模型化，其主要的目的在於藉著科學的方法，從這些事物與現象中，尋找期規律性，進而分析與探討其特性。在品質管制中產品品質特性，就是一種機率分配（機率模型）。從管制圖上所顯示的現象，我們可以了解製程的
2、狀況；或由抽樣檢驗的結果，我們可以判斷同批產品是否合格，主要都是依據統計學上的各種機率分配與統計量有所了解。母體與樣本(population and sample) 母體 (population)： 一組包括所有項目的集合。ex:假設我們的目的是要知道七月份買進 A廠牌湯罐頭的平均重量，則此 case中的母體是公司七月買進所有 A牌的罐頭 (可能有 50000罐 )，因為我們關心的是 A牌的罐頭，所以即使公司還有買進其它牌子的罐頭，母體仍只限於 A牌。 樣本 (sample)： 母體的子集合。實際上，很多生產線上無法量測所有產品取得所需資料，因為處理如此多的資料非常耗時費工且不可行，利用部份母
3、體中的資料來代替在此時是一個可行的選擇。ex:承接上個例子，七月份買進的罐頭有 50000個，樣本可能是隨機選取 500個。參數與統計量(parameter and statistic) 參數 (parameter)： 可以用來描述母體的一個特徵值。ex:以 A牌的罐頭而言，平均值可說是 50000罐罐頭的一個參數。 統計量 (statistic)： 是樣本用來推論未知的母體參數的特徵值。ex:500個隨機選取的罐頭平均重量可以來推論 50000罐罐頭的平均值。機率(probability) 機率 (probability)： 發生的可能性。機率函數介於0跟 1之間， 0表示沒有發生的可能；
4、1代表確定會發生。 機率的相對頻率定義 ：如果樣本空間所有事件發生的可能性均相同，則事件 A的機率計算方法如下：P(A) = nA/N P(A)： 事件 A的機率nA ： 事件 A發生的方法數目N： 樣本空間的點數 這個定義是機率的相對頻率，只有在樣本空間所有事件的歷史資料均具備的情況才能使用。 ex:擲一個骰子出現點數為單數的機率假如事件 A為擲一個骰子出現點數為單數，則樣本空間 S=1,2,3,4,5,6， 事件 A=1,3,5P(A) = nA/N = 3/6=1/2 單純事件與複合事件(simple event and compound event) 單純事件：無法再分解的事件 複合事
5、件：由 2個以上的單純事件所組成的事件 互斥事件： P(AC ) = 1 P(A) 加法律： P(AB) = P(A or B or both) = P(A) P(B) P(AB) 乘法律： P(AB) = P(A and B) = P(A)P(BA) = P(B)P(AB) 條件機率 P(BA) 表示給定事件 A下，事件 B發生的條件機率。A B獨立與互斥事件(independence and mutually exclusive event) 獨立 (independence):A與 B的結果相互不會影響稱 A與 B獨立 ，所以假如 A與 B獨立則 P(BA) = P(B)或者 P(AB)
6、 = P(A) ， 此時 P(AB) = P(A)P(B) 互斥 (mutually exclusive):A與 B假如不能同時發生稱 A與 B為互斥事件，所以 P(AB) = 0， P(AB) = P(A) P(B)。 因為如果 A與 B互斥，則兩者不能同時發生，故 A與 B為相依事件。1.2 數據描述方法統計是一種收集 分類 分析與從資料中做出推論的科學，一般可將統計分為敘述統計與推論統計。敘述統計是從收集的資料中取得描述產品或製程特徵量。而推論統計是利用抽樣所得的資訊對未知的製程參數做出結論。1.2.1 中央趨勢量的量測 1.2.2 分散度的量測 1.2.1 中央趨勢量的量測在 SPC中
7、，中央趨勢量的目的是指出資料所處的位置與集中的值，可以幫助我們決定是否要更改製程的設定。包括下列數個具代表性的值：平均數 中數 眾數與截尾平均數。 平均數 (mean)： 中位數 (median)： 位於所有數值的中央稱為中位數，如果數值有偶數個，則取中間兩個數的平均值當中位數。中位數的意義在於有 50%的值小於或等於中位數。因為中位數比起平均數而言，較不會被極端值影響，故中位數比較穩健。 眾數 (mode)： 出現次數最多的數稱為眾數 截尾平均數 (trimmed mean)： 截尾平均是取介於第一與第三四分位數中所有值的平均，比起平均數，截尾平均數較不受特別大或特別小的值所影響。同時又不是
8、只代表某個出現頻率最高的值。 1.2.2 分散度的量測分散度的量測提供資料變化分散的程度是 SPC的基礎之一 Range:在一組資料中最大與最小的差 Variance 變異數 :是測量觀測值均值變動的情形 標準差 :在多數的情況下是計算 S而非 1.3 機率分配 (群體分配 )1.3.1. 不連續機率分配（計數值分配） a. 超幾何分配 Hypergeometics Distributionb. 二項分配 Binomial Distribution c. 卜 瓦松分配 Poisson Distribution1.3.2. 連續機率分配（計量值分配）a.常態分配 Normal Distribut
9、ion機率分配(Probability Distribution)機率分配是一個數學模式，用以描述一個隨機變數（ X） 所有可能值出現之機率。機率分配可分為 連續 和 不連續 兩種。 a.連續分配 若一變數是以連續尺度來量測，則其機分配為連續。如產品之長寬高尺寸。隨機變數 X落在 a、 b兩數值所界定之區域的機率為 b.不連續分配 若變數只能為某些特定值，則稱其機率分配為不連續或離散。如顧客數目。隨機變數 X等於某特定值 之機率為a. 超幾何分配 Hypergeometics Distribution從有限群體中，隨機抽取樣本而不放回時，需要採用超幾何機率分配。 1.定義 :如果一批產品共有
10、N件，其中 r件不良，其餘 N r件為良品，現自該批產品中隨機抽取 n（ nN ） 件產品，則其中有 x件不良品之機率為， x 0,1,2,3.， x 其他數若不連續隨機變數 x具有上式之機率分配時，稱為超幾何分配2.超幾何分配之平均數與變異數 平均數： 變異數： 其中 ， 1.定義 ：假設 X為不連續隨機變數，若其機率分配為 ， x 0,1,2,n ， 0 p 1f(x) 0， x 其他數則稱具有二項分配 (Binomial Distribution)一個隨機試驗，其結果可分為兩個互斥事件 A和 B(如成功與失敗、正面與反面等 )，若發生 A事件之機率為 p， 而發生事件 B之機率為 1 p
11、， 將該隨機試驗重複試行 n次，其中事件 A出現 x次，則此隨機變數 X餒具有二項分配，其計算方式如下：假設在 n次實驗中，最初 x次全出現 A事件，其餘 (1 p)次全為 B事件，如上圖，此情況之機率為 然而此種組合共有 次，所以其機率為 。b. 二項分配 Binomial Distribution超幾何分配用於群體之批量有限個數，而且其取樣的方法是取出不放回。下列三種情形應該採用二項分配：1.群體批量為無限多。 2.群體之批量為有限數，但取樣方法為取出放回。 3.群體之批量為有限數，因相當多，點算不便，且 N 10n。 2.二項式的展開 其中p： A事件發生的機率 (例如，一個不良率 )q
12、 1 p： B事件發生的機率n： 試驗次數或樣本大小A與 B為互斥事件3.二項分配之平均數與變異數 平均數： E(X) np變異數： V(X) np(1 q) npqp： 群體不良率q： 1 pc. 卜 瓦松分配 Poisson Distribution1.定義 ：如果 x為不連續的隨機變數，具有機率分配 ， x0,1,2,3,m 0 0 ， x 其它數則稱 X具有卜瓦松分配 (Poisson Distribution)。卜瓦松適用在樣本 n很大，且不良率很小的場合。一般而言，可歸納下面三種情形：a.n 16 b.p 0.1 c.N 10n 應用卜瓦松分配的實例很多，常見的有：a. 單位時間內
13、的觀察值。例如便利商店每小 時的顧客人數、每天機器故障台數等。 b. 每一單位數量內的觀察值。例如每平方公分內缺點數、一批產品上的缺點數等 .3.卜瓦松分配的平均數與變異數 平均數： E(X) C變異數： V(X) C卜瓦松分配的平均數與變異數是計算缺點數管制 圖之主要依據。若群體情況未知，則以平均缺點數代替之。1.定義 ：連續隨機變數 X具有機率密度函數 2. x ， 0， 則稱 X具有常態分配 (Normal Distribution)， 通常以 N(, ) 表示。2.常態分配之特性 a.自然界絕大部分現象之分配均屬常態分配，如身高、體重、品質特性觀察值等 b.隨機變數 x為連續變數，其定
14、義域範圍介於。 與 之間。 c.有兩個反曲點，在 處。 d.為一單峰對稱分配，呈鐘型，以平均數為中心左右對稱。 e.常態分配的形狀決定於兩個母數，即平均數 與標準 。 如圖下 f.曲線與 X軸之間的面積總和等於 1。 常態分配 Normal Distribution3.標準常態分配 Normal Distribution為使常態分配的計算簡化，可以經由下面這個公式將所有的常態分配轉換成標準常態分配 (=0,=1) ：經過轉換的標準常態分配機率值可以查表得知。而其機率函數如下：， z 由標準常態曲線，可以進一步求得 3之間的面積為 0.9973， 2之間的面積為 0.9544， 1之間的機率為
15、0.6828，如圖所示，其中 =0,=1 。4.中央極限定理 (Central Limit Theorem) 中央極限定理應用於品質管制上，非常重要，因為從某一群體中，抽取 n個樣本，其品質特性之觀測值分別為 X1, X2, , Xn， 平均數與變異數分別為 與 ，則令 。當 n 時， f(Y)為常態分配。因為一般產品的品質特性值，很難得知屬於何種分配，但是，從中央極限定理得知，在未知群體分配時，只要抽樣的樣本 n夠大，其平均數之隨機變數近似於常態分配，此定理提供了品質管制中的抽樣理論之學理根據。超幾何分配、二項分配、卜瓦松分配與常態分配之間關係可以用下表簡單說明：條 件 實 例 可用之近似值
16、計算N 10n 批量為樣本數的 10倍以上時 超幾何分配 二項分配p0.10np 5不良率在 10%以下， n很大，但不良數不超過 5個時二項分配 卜瓦松分配p 0.50np 5不良率在 50%以下， n很大，但不良數在 5個以上時二項分配 常態分配np 10 樣本數很大，不良數有 10個以上時卜瓦松分配 常態分配常用分配間之關係1.4 統計量分配 (抽樣分配 )1.統計量之抽樣分配a. 樣本平均數（ Xbar)b.樣本全距（ R） 之抽樣分配 c.樣本標準差（ S） 之抽樣分配 d.樣本變異數（ S2)2.定義於常態分配之抽樣分配a.卡方分配 (X2 distribution)b.t分配 c
17、.F分配一 .管制圖基本原理統計理論認為母體參數可由隨機抽取的樣本來估計， SPC圖的統計基礎即在於此。但是， SPC圖並不能控制一個製程，它只是提供製程重要的資訊，這個資訊可以作為品質決策與修正製程的基礎。一般 SPC圖提供三條製程資訊的管制線： 上管制線 (upper control limit, UCL) 中心線 (center line, CL) 下管制線 (lower control limit, LCL)。 不同製程管制對象有不同的資料，所有的資料都可歸類到下列其中一種：1. 分類資料將產品品質分為好或不好、合格或不合格等 計數資料記錄某產品的某個特性發生次數，例如錯誤次數 意外次
18、數 銷售領先次數等 連續資料某個品質特徵的量測值，例如尺寸 成本 時間等 前兩種資料為計數值資料，第三種為計量值資料。收集資料時，如果可能應該盡量收集定量資料，因為定量管制圖所需的比較性計算較少，而且能提供較多的資訊。 2.管制圖簡介二 .基本計算管制圖可用一通式來表示，假設 y為量測品質特性之樣本統計量， y之平均數為 y ， 標準差為 y ， 則UCL y ky中心線 yLCL=y ky其中 ky 為管制界限至中心線之距離。此管制圖之理論首先由美國之 Waiter A. Shewhart博士提出，任何依據此原理發展出之管制圖都稱為 Shewhart (蘇華特 )管制圖。 三 .應用範圍管制
19、圖之應用有許多方式，在大多數之應用上，管制圖是用來做製程之線上 (on-line)監視。 亦即收集製程樣本數據用來設立管制圖，若樣本值落在管制界限內且沒有任何系統性之變化，則稱製程在管制內。 管制圖也可以用來決定過去之製程數據是否在管制內，及末來之製程是否將在管制內。 管制圖也可用來做為估計之工具，當製程是在管制內時，則可預測一些製程參數，例如平均數、標準差、不合格率等。此種製程能力分析對於管理者之決策分析有相當大之影響，例如自製或外購之決策，工廠及製程之改善以降低變異，及與供應商或顧客間之合約。四 .管制圖實施步驟1.選擇品質特性2.決定管制圖之種類 3.決定樣本大小在設計管制圖時，我們必須
20、決定樣本之大小 (sample size)及抽樣之頻率。一般而言，大樣本可以很容易地偵測出製程內小量之變動。當選定樣本大小時，必須先決定所要偵測之製程變動的大小。當製程變動量相當大時，則適合使用小樣本，反之，若製程變動小時則使用大樣本。除了決定樣本大小外，我們同時須決定抽樣之頻率。最理想之狀況是次數頻繁地抽取大樣本。但從經濟觀點而言，此並非最佳之抽樣方法。較可行之方法是在長時間間隔下取大樣本或短時間間隔下取小樣本。在大量生產下或有多種可歸屬原因出現下，較適合樣本小而次數多之抽樣。由於檢測器和自動量測技術之發展，目前之趨勢傾向 100%檢驗。 4.樣頻率和抽樣方式管制圖是利用合理樣本組之概念來收
21、集樣本數據。合理樣本組之抽樣方式可讓可歸屬原因出現時，樣本組間發生差異之可能性最大，而樣本組內發生差異之可能性為最小。當管制圖應用到生產時，生產時間次序為一合乎邏輯之合理樣本組取樣方法。一般合理樣本組之抽樣有兩種方式進行。在第一種方式下，組內樣本儘可能在時間差距很短之情況下收集，如右圖之 (a)。 這種抽樣方法將可使樣本組間之差異為最大而樣本組內之差異為最小。這種抽樣方式也是估計製程標準差之最好方法，一般稱之為瞬時法 (instant time method)。第二種方式下，樣本組內之數據為來自於上次抽樣後具代表性之產品。在此種抽樣方式下，每一樣本可視為在抽樣間隔內之隨機樣本，如右圖之 (b)
22、。 此種抽樣方式稱為分散式抽樣(distributed sampling)或稱為定時法 (period of time method)。 這種抽樣方法通常是用在決定自上次抽樣後之產品是否可接受時。5.收集數據6.計算管制圖之參數，一般包含中心線和上下管制界限7.收集數據，利用管制圖監視製程 五 .使用管制圖之原因1. 管制圖是一改善生產力之有效工具 管制圖之有效運用可降低報廢和重工。報廢和重工之降低代表生產力增加、成本降低和產能之增加。2. 管制圖是預防不合格品之有效工具 管制圖為一預防性之管理工具，強調第一次就做對，它比事後之檢驗更能提昇產品之品質。3. 管制圖可預防不需要之製程調整 由管制圖可獲知調整製程參數之最佳時機，以避免因過度調整，使製程變異增加，造成製程成效惡化。4. 管制圖可提供診斷之資訊 管制圖上之非隨機性變化模型 (nonrandom patterns)可以提供診斷製程異常之情報。一個非隨機性模型通常是由一組異常原因所造成。由管制圖上非隨機性模型可了解製程何時為異常，並可縮小尋找問題原因之範圍，降低診斷時間。5.管制圖可提供有關製程能力之資訊管制圖可提供製程參數、製程之穩定程度和製程能力等情報，這些資訊對於產品和製程之設計者非常有幫助。
