1、,3.1空间向量及其运算,平面向量复习,定义：,既有大小又有方向的量叫向量,几何表示法：,用有向线段表示；,字母表示法：,用字母a、b等或者用有向线段 的起点与终点字母 表示,相等的向量：,长度相等且方向相同的向量,平面向量的加减法运算,向量的加法：,a,b,a+b,平行四边形法则,a,a+b,三角形法则(首尾相连),平面向量的加法运算律,加法交换律：,abba,加法结合律：,(ab)ca(bc),推广,首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即：,首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量即：,向量的减法,a,b,a-b,三角形法则,减向量终点指向被减
2、向量终点,一、空间向量的基本概念,空间向量,零向量,单位向量,相等向量,相反向量,既有大小，又有方向的量,长度为零的向量,长度为1的向量,方向相同，长度相等的向量,方向相反，长度相等的向量,向量的模,表示向量的有向线段的长度,9,a + b,a - b,二、空间向量的加减运算,11,加法交换律,加法:三角形法则或 平行四边形法则,减法:三角形法则,加法结合律,注:两个空间向量的加、减法与两个平面向量的加、减法实质是一样的.,2、对空间向量的加法、减法的小结,例1,解：,始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量,练习1、在如图所示的平行六
3、面体中，求证：,变式： 已知平行六面体 则下列四式中：其中正确的是 。,15,例如:,三、,空间向量的数乘运算法则,16,显然,空间向量的数乘运算满足分配律及结合律,17,四、共线向量及其定理,18,A,P,B,即，P,A,B三点共线。或表示为：,19,分析:证三点共线可尝试用向量来分析.,20,五.共面向量及其定理:,1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.,注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面的了。,21,22,23,1.对于空间任意一点O，下列命题正确的是： (A)若 ，则P、A、B共线 (B)若 ，则P是AB的中点 (C)若 ，则P、A、B不共线 (
4、D)若 ，则P、A、B共线,2.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点 O， , 则x的值为( ),24,3.下列说明正确的是： (A)在平面内共线的向量在空间不一定共线 (B)在空间共线的向量在平面内不一定共线 (C)在平面内共线的向量在空间一定不共线 (D)在空间共线的向量在平面内一定共线,4.下列说法正确的是： (A)平面内的任意两个向量都共线 (B)空间的任意三个向量都不共面 (C)空间的任意两个向量都共面 (D)空间的任意三个向量都共面,例3(课本例1)如图，已知平行四边形ABCD,从平 面AC外一点O引向量 , , , 求证： 四点E、F、G、H共面； 平面EG/平面AC.,例
5、3 (课本例1)已知 ABCD ，从平面AC外一点O引向量,求证：四点E、F、G、H共面；,平面AC/平面EG.,证明：,（）代入,所以 E、F、G、H共面。,证明：,由面面平行判定定理的推论得：,六、两个向量的夹角,两条相交直线的夹角是指这两条直线所成的锐角或直角，即取值范围是(0,90,而向量的夹角可以是钝角,其取值范围是0,180,七、两个向量的数量积,注:两个向量的数量积是数量，而不是向量.规定:零向量与任意向量的数量积等于零.,B,A,2、空间两个向量的数量积的性质,3、空间向量数量积的运算律,与平面向量一样，空间向量的数量积满足如下运算律：,向量数量积的运算适合乘法结合律吗? 即(
6、ab)c一定等于a(bc)吗?,例4、已知空间向量a，b满足|a|=4，|b|=8，a与b的夹角是150，计算：(1)(a+2b)(2a-b)；(2)|4a一2b|,如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点。求下列向量的数量积：,练习6,A,B,C,D,E,F,G,练习7,解：,在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，ACD=90，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，求B，D间的距离,练习8,已知空间四边形OABC中，M，N，P，Q分别为BC，AC，OA，OB的中点，若AB=OC，求证：PMQN,证明：,练习9,练习11,八、向量的直角坐标运算,新课,1.距离公式,（1）向量的长度（模）公式,注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。,九、距离与夹角,在空间直角坐标系中，已知 、，则,（2）空间两点间的距离公式,2.两个向量夹角公式,注意：（1）当 时， 同向；（2）当 时， 反向；（3）当 时， 。,例5已知,解:,解：设正方体的棱长为1，如图建 立空间直角坐标系 ，则,例6 如图, 在正方体 中， ，求 与 所成的角的余弦值.,例8. 在正方体,
