1、概率论与数理统计,李念伟,概率论与数理统计,概率论与数理统计是从十七世纪中叶发展起来的数学学科。十七世纪中叶，欧洲贵族阶层盛行掷骰子游戏，当时有一个法国贵族名叫德 梅尔，他在掷骰子时遇到一些不解的问题，于是他请教法国数学家帕斯卡，帕斯卡邀请另一位法国数学家费马共同研究，后来荷兰科学家惠更斯得知后，也开始了研究，并于1657年写出了论掷骰子游戏中的计算，这是研究概率问题的最早的论著。,十八世纪初，瑞士数学家伯努利发现了“大数定律”，这是概率中的一个重要结果。从十八世纪到十九世纪，英国数学家棣莫弗、法国数学家拉普拉斯、俄国数学家李亚普诺夫等在“中心极限定理”的研究方面都取得了出色的进展。1900年
2、英国数学家皮尔逊发表了著名的2 统计量，在1900年至1940年间，概率论的研究一方面是极限理论的发展、随机过程理论的建立，另一方面是系统的研究概率的基本概念，特别是俄国数学家柯尔默哥洛夫于1933年发表的“概率的公理化结构”为概率理论奠定了严格的逻辑基础。,概率论与数理统计的研究对象,第1章 随机事件与概率,非确定性现象： 某人射击一次, 考察命中情况; 掷一枚硬币, 观察向上的面; 从一批产品中抽取一件, 考察其质量;,确定性现象： 一物体从 h 高度垂直落下, 观察落地时间; 导体通电, 考察温度; 异性电荷放置一起, 观察其现象;,1.1 随机事件及其运算,1.1.1 随机试验在相同的
3、条件下，若某类现象时而出现时而不出现，呈现出不确定性，称这类现象为随机现象.随机现象的统计规律性 在相同条件下重复观测某一随机现象时，可以发现其各种结果的出现会表现出一定的量的规律性，这种规律性称之为统计规律性. 我们将对随机现象的观测称为随机试验. 随机试验用 E 表示.随机试验的特点：(1) 在相同的条件下可重复进行； (2) 试验结果不止一个，但明确知道所有可能的结果； (3) 每次试验有且仅有一个结果，每次试验结果不能事先预知.,现在我们了解到，随机现象有其偶然性的一面，也有其必然性的一面，这种必然性表现在大量重复试验或观察中呈现出的固有规律性，即随机现象的统计规律性. 概率论就是研究
4、随机现象统计规律性的一门学科. 现在就让我们步入这充满随机性的世界，开始第一步的探索和研究.,研究随机现象，首先要对研究对象进行观察试验. 这里的试验，指的是随机试验.,随机试验的每一个可能结果称为随机试验的一个样本点，所有样本点组成的集合称为随机试验的样本空间，记作.,（1）样本空间：,样本点是样本空间的最基本单元，记作.,样本点,如果试验是将一枚硬币抛掷两次，则样本空间由如下四个样本点组成：,=(H,H), (H,T), (T,H), (T,T),样本空间在如下 意义上提供了一个理 想试验的模型：,在每次试验中必有一个样本点出现且仅有一个样本点出现 .,如果试验是测试某灯泡的寿命：,则样本
5、点是一非负数，由于不 能确知寿命的上界，所以可以认为 任一非负实数都是一个可能结果，,= t ：t 0,样本空间:,记录某公共汽车站某日上午某时刻的等车人数.,样本空间:,在n 件产品中有次品m 件(n m 3), 现从 中任选3件, 写出次品出现次数的样本空间.,考察某地区10月份的平均气温.,（2）随机事件：,随机试验的结果组成的集合称为随机事件，简称事件.,在随机试验中，我们往往会关心某个或 某些结果是否会出现.,例如在掷骰子试验中发生的事件：,“掷出1点”,“掷出2点”,“掷出奇数点”,事件,基本事件,复合事件,（仅一次试验的结果构成的事件）,（两个或两个以上基本事件构成一个复合事件）
6、,复合事件 B=掷出奇数点 包含三个基本事件.,在掷骰子试验中，观察掷出的点数 .,基本事件 Ai =掷出i点， i =1,2,3,4,5,6,两个特殊的事件：,必,件,然,事,例如，将一颗骰子投掷一次，“掷出点数小于7”是必然事件;,即在试验中必定发生的事件，常用表示;,不,件,可,事,能,即在一次试验中不可能发生的事件，常用表示 .,而“掷出点数7”则是不可能事件.,随机事件为样本空间的子集 .,例如，掷一颗骰子出现点数的样本空间：, = 1,2,3,4,5,6 ,事件A=1, B = 1,3,5, C=1,2,3 均为的一个子集.,“某事件发生” 当且仅当 “该事件中的样本点出现”.,课
7、堂练习:写出下列各个试验的样本空间 1. 掷一枚硬币连抛三次，观察正面(H)反面(T)出现的情况； 2. 将一枚硬币连抛三次，观察正面出现的次数； 3. 某袋子中装有 5 个球，其中 3个红球，有 2个黄球，现从中任取一个球，观察颜色.,4. 袋中有编号为 1，2，3，n 的球,从中任取一个，观察球的号码； 5. 连续进行n次射击, 记录命中次数；若是记录n次射击中命中的总环数呢？ 6. 观察某条交通干线中某天交通事故的次数.,（1）包含关系,若事件 A 的所有样本点都属于，则称事件 B 包含事件 A，记作,也称事件 A 为事件B 的子事件.,B,1.1.3 随机事件间的关系,（2）相等关系
8、若事件A 的样本点都属于 B， 且事件B 的样本点都属于A，则称事件A 与事件B 相等，记作 A=B.,（3）互不相容 (互斥关系 ),若事件 A与B 没有相同的样本点, 则称事件 A与B 互不相容. 即事件A与B 不能同时出现 .,1.1. 随机事件的运算,（1）事件的并 (和事件),B,B,（2）事件的交 (积事件),A,B,AB,（3）事件的差,属于事件 A 而不属于事件 B 的样本点所构成的事件称为 A 对 B 的差. 记作： AB.,即 AB 表示事件A 发生且事件B 不发生.,（4）对立事件,若事件A与B 的积事件为不可能事件，且A与B 的和事件为必然事件, 则称事件 A与B为对立
9、事件或互逆事件.,B,（5）随机事件的运算律,例1 设A,B,C 表示三个随机事件,试将下列事件用A,B,C 表示出来.,(1) A 出现 , B, C 不出现;,(5) 三个事件都不出现;,(2) A 或 B 出现, C 不出现;,(3) 三个事件都出现;,(4) 至少有一个事件出现;,(6) 至多有一个事件出现;,(9) 至少有两个事件出现;,(10) A, B, C 中恰好有两个出现.,(7) 恰好有一个事件出现;,(8) 至多有两个事件出现;,(1)没有一个是次品;,(2)至少有一个是次品;,(3)只有一个是次品;,(4)至多有一个是次品.,解,课堂练习,1. 若A是B的子事件，则AB
10、=( )，AB=( ) 2. 设当事件A与B同时出现时C也出现, 则( )(1) AB是C的子事件； (2) C是AB的子事件；(3) AB是C的子事件； (4) C是AB的子事件.,A,3,B,3. 设事件A=甲种产品畅销，乙种产品滞销， 则A的对立事件为( )(1) 甲种产品滞销，乙种产品畅销；(2) 甲、乙两种产品均畅销；(3) 甲种产品滞销；(4) 甲种产品滞销或者乙种产品畅销.,4,4.设x表示一个沿数轴做随机运动的质点位置，试说明下列各对事件间的关系(1) A= |x -a|0 )(2) A= x 20 ，B= x20 (3) A= x 22 ，B= x 19 ,事件在一次试验中是
11、否发生具有随机性，它发生的可能性大小是其本身所固有的性质，这一节我们将研究“度量事件发生可能性大小 的一种数量指标” - 事件的概率.,在上一节中，我们介绍了,随机试验,样本空间,随机事件,事件的关系与运算,1.2 概 率,研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是事件的概率.,什么是随机事件的概率？,事件发生的可能性越大，概率就 越大！,概率是随机事件发生可能性大小的度量.,预备知识,一、排列与组合,3. 重复排列：从 n个不同元素中,依次有放回取出k个元素排成一列，称为重复排列. 其排列数：,1. 选排列：从 n个不同元素中,取出 k(k n)
12、个不同的元素排成一列，称为选排列. 其排列数：,2. 组合：从n个不同的元素中,取出k(k n)个不同的元素（与元素的顺序无关）组成一组，称为组合. 其组合数：,二、加法原理:,完成某件事情有n类办法, 在第一类办法中有m1种方法, 在第二类办法中有m2种方法,依次类推, 在第n类办法中有mn种方法, 则完成这件事共有m1+m2+mn种不同的方法. 其中各类办法彼此独立.,三、乘法原理:,完成某件事情需n个步骤, 作第一步有m1种方法, 作第二步有m2 种方法, 依次类推, 作第n步有mn种方 法,则完成这件事共有m1m2mn种不同的方法. 其中各个步骤缺一不可.,例：两批产品各50件,其中次
13、品各5件, 从这两批产品中各抽取1件,(1) 两件都不是次品的选法有多少种?(2) 只有一件次品的选法有多少种?,解: (1) 用乘法原理，结果为,(2) 结合加法原理和乘法原理，得选法为:,1.2.1 概率的定义,定义1: 设随机试验E 的样本空间为，A为E 的事件，在n次重复试验中， A发生的次数n(A) 称为A的频数，称 fn(A)= n (A) / n 为事件 A发生的频率.fn(A)具有下列基本性质：1、fn(A)02、fn()=13、若可列个事件A1，A2，An互不相容，有,定义2: 在n次重复试验中，事件A发生的频率为fn(A)，当试验次数逐渐增大时， fn(A)稳定地在某数值
14、p 附近摆动，且摆动幅度越来越小，则称 p 为事件A 发生的概率，记作 P(A)=p.P(A)满足频率的基本性质：1(非负性) P(A)02(正则性) P()=13(可列可加性) 若可列个事件A1，A2An互不相容，有,1933年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率的公理化定义.,概率的公理化定义:,设随机试验E 的样本空间为， 如果E 中的任一个事件A都有一个 实数P(A) 与之对应，且 P(A) 满足：,公理3 若可列个事件 A1, A2 , An , 互不相容，有,公理1 P(A) 0,公理2 P()=1,则称P(A)为事件A的概率.,由概率的三条公理，我们可以推导出概率的若干性质. 下
15、面我们就来给出概率的一些简单性质.,在说明这些性质时，为了便于理解，我们 常常借助于维恩图.,公理1说明，任一事件的概率大于0；,公理2说明，必然事件的概率为100%；,公理3说明，对于任何互不相容(互斥)的事件序列，这些事件和的概率正好等于它们各自概率 的和.,性质1,即不可能事件的概率为0 ，反之不成立.,再利用公理2及公理3即得.,1.2.2 概率的性质,性质2 若事件A1, A2 ,An 互不相容，则有,性质3 对任一事件A, 有 .,性质3 的作用是在计算某事件 的概率时, 可转化为计算其对 立事件的概率.,性质4 对任何事件、B ，则有,(由可加性),性质5 对任意两个事件A、B，
16、有,该性质称为加法公式 , 可推广到有限个事件的情形.,推论 设是B的子事件，则有 且,得 P(B)=P(AB)- P(A)=0.8-0.6=0.2，,解：由A, B互斥，则 P(AB)=P(A)+P(B),思考：在以上条件下，P(A-B)=？,例1 AB=，P(A)=0.6，P(AB)=0.8，求 的概率.,所以，P( )=1-0.2=0.8,P(A-B)=P(A),例2 设事件A发生的概率是0.6，A与 B都发生的概 率是0.1，A与B都不发生的概率为 0.15 , 求A发生B 不发生的概率； A与B至少有一个发生的概率; B发生 A不发生的概率.,则 P(A-B)=P(A-AB)=P(A
17、)-P(AB)=0.5,又由 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)，,有 P(B)=P(AB)-P(A)+P(AB)=0.85-0.6+0.1=0.35,即 P(B-A)=P(B)-P(AB)=0.35-0.1=0.25,解：由已知得 P(A)=0.6，P(AB)=0.1，P( )=0.15，,P(AB)=1-P( )=1-P( )=0.85,课堂练习,(1) P(A)=0.4, P(B)=0.3, P(AB)=0.6, 求P(A-B). (2) P(A)=0.7，P(A-B)=0.3，求P( ) (3) P(A) =P(B) = P(C) =1/3， P(AC)=P(BC)=1/8，
18、P(AB)=0，求A、B、C都不出现的概率. (4) A、B都出现的概率与 A、B 都不出现的概率相等，P(A)=p，求P(B).,解：(1) P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) =0.1,P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.3,(2) P( )=1-P(AB)=1-P(A)-P(A-B)=1-0.7+0.3=0.6,(4) P(AB)=P( )=P( )=1-P(AB)=1-P(A)-P(B)+P(AB), 所以, P(B)=1-P(A)=1-p,(3) P( )=P( )=1-P(ABC)=1/4,古典概型 设为随机试验E的样本空间，若 (1) 只含有限个样本点(有限性)， (
19、2) 每个样本点出现的可能性相同(等概性)， 则称E为古典概型(或等可能概型).,古典概型的概率 设E为古典概型，为E的样本空间，A为 任意一个事件，则事件A的概率为：,1.2.3 古典概型,古典概型概率的计算步骤： (1)确定样本空间所含样本点的总数；(2)确定随机事件所含样本点的个数；(3)列式进行计算.,例3 有r 个人，设每个人的生日是365天的任何 一天是等可能的，试求事件“至少有两人同生日”的概率.,解：令A=至少有两人同生日,样本点的总数为,事件 所含样本点数为,用前面的公式可以计算此事出现的概率为=1-0.524=0.476,美国数学家伯格米尼曾经做过一 个别开生面的试验，在一
20、个盛况空前、 人山人海的世界杯足球赛赛场上，他 随机地在某号看台上召唤了22个球迷， 请他们分别写下自己的生日，结果竟发现其中有 两人生日相同（同月同日）.,即22个球迷中至少有两人同生日的概率为0.476.,人数 至少有两人同 生日的概率20 0.41121 0.44422 0.47623 0.50724 0.53830 0.70640 0.89150 0.97060 0.994,这些概率是在假定被调查人群中一个人的生日在 365 天的任何一天是等可能的前提下，根据前面的公式计算出来的. 在实际调查中, 相关的概率比计算出的数值还要大.,经计算得到：,解：设A = 取到的两个都是次品，B =
21、取到的两个中正、次品各一个, C =取到的两个中至少有一个正品.,所以P(A)=4/36=1/9,所以P(B)=16/36=4/9,例4 箱中有6个灯泡，其中2个次品4个正品，有 放回地从中任取两次，每次取一个，试求下列事 件的概率：(1)取到两个次品; (2)取到一个正品一 个次品; (3)取到的两个中至少有一个正品.,样本点的总数为,(2)事件B所含样本点数为 ，,(1)事件A所含样本点数为 ，,即P(C)=32/36=8/9,问题一、改为不放回依次抽取两个.,所以P(A)=2/30=1/15,所以P(B)=16/30=8/15,所以P(C)=28/30=14/15,样本点的总数为,(1)
22、事件A所含样本点数为,(2)事件B所含样本点数为,(3)事件C所含样本点数为,(3)事件C所含样本点数为 ，,或P(C)=1-P(A),或P(C)=1-P(A),所以P(A)=1/15,所以P(B)=8/15,所以P(C)=14/15,问题二、改为一次性抽取两个.,样本点的总数为,(1)事件A所含样本点数为,(2)事件B所含样本点数为,(3)事件C所含样本点数为,以上两个问题的答案一致，不是巧合而是规律. 即“不放回依次抽取”可视为“一次性抽取”.,或P(C)=1-P(A),例6 n 个人聚会，每人带来一件礼物装入相同 的袋子，每人随机拿一件，求至少一个人拿到 自己礼物的概率.,解：记 Ai
23、= 第 i 个人拿到自己的礼物，i=1, , n求 P(A1A2An)利用加法公式：,例7 n 张彩票中有一张能中奖，从中不放回地 摸取，记 Ai=第 i 次摸到中奖彩票，,n 张彩票中有 k 张能中奖，从中不放回地摸 取，记 Ai =第 i 次摸到中奖彩票，则,结论：不论抽取先后，中彩机会是一样的.,则,1.2.4 几何概型,如果在一个面积为S()的区域中等可能的任意 投点，若点落入的任意子区域A中的可能性大小 与A的面积S(A)成正比，而与其位置和形状无关， 则称为几何概型. 其概率为：P(A)=S(A)/S(),例9（会面问题）甲、乙两人相约在中午12点到1点 之间在某地会面，先到者等候
24、20分钟若对方不到就 离去. 求两人相遇的概率.,解：设x，y为甲、乙两人到达的时间（以分为单位）样本空间 = (x,y) | 0x60,0y60 ,事件 A=两人相遇= (x,y) | |x- y|20 ,即,解:设Ai =取得i 副手套 i = 0，1，2即A0，A1，A2互斥.,或,课堂练习,注意以下的错误解法,上述解法中出现了“重复”情况，若将5副手套编号(1,2);(3,4);(5,6);(7,8);(9,10). 当选定(1,2)时，包含了(3,4)出现的情况， 而选定(3,4)时，又包含了(1,2)出现的情况.,(2) 甲、乙两船都要停靠在同一码头,它们可能在一昼夜的任意时刻到达
25、码头,停靠的时间分别为1小时和 2 小时. 求两船在码头相遇的概率.,解：以x表示甲船到达码头的时间，y表示乙船到达码头的时间.,则,设A=甲乙两船相遇,1.3.1 条件概率,定义: 对于随机试验E 的两个事件A、B， 若P(A)0，则称 P(B|A)=P(AB) / P(A) 为事件A发生的条件下事件B出现的条件概率.,1.3 条件概率,例1 在12个产品中有9个正品，3个次品，现不放 回抽取两次，每次抽一个. 求(1)两次都取到次品 的概率; (2)第二次取到次品的概率； (3)已知第 一次取到次品，第二次又取到次品的概率.,解：设A=第一次取到次品，B=第二次取到次品，,实际上(3)是在
26、11个产品(取出1个次品后) 中取到一个次品，即,(3) P( |A)=1-P(B|A),P(B|A)0;,(2)条件概率P(B|A)满足概率的三条公理.,(1)P(B|A)的样本空间缩小为A 注意与P(AB) 区别.,若B1, B2, 互不相容, 则有:P(B1B2 )|A=P(B1|A) + P(B2|A) + ,注意,P(|A)=1;,例3 设事件A是B的子事件 0P(A|B) (4)P(A)P(A|B),例2 已知 0P(B)1，且P(A1A2)|B=P(A1|B)+P(A2|B)则下列选项成立的是( )(1)P(A1A2)| =P(A1| )+P(A2| )(2)P(A1BA2B)=
27、P(A1B)+P(A2B)(3)P(A1A2)=P(A1|B)+P(A2|B)(4)P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2),1.3.2 乘法公式,乘法公式：对于两个事件A与B， 若P(A)0, 则有 P(AB)=P(A)P(B|A), 若P(B)0, 则有 P(AB)=P(B)P(A|B),乘法公式可推广为有限个事件的情形， 一般用于计算几个事件同时发生的概率.,对于三个事件A,B,C, 若P(AB)0，则有P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB),例4 P(A)=0.6,P(AB)=0.84,P( |A)=0.4, 求P(B),解 由,例5 一袋中有白、黑球共7
28、个，已知从中任取两 球都是白球的概率为1/ 7. 现有甲、乙两人轮流 从袋中取球，每人每次取一球，谁先取到白球 谁为胜方. 若甲先取球，谁取胜的概率大？,由加法公式,设A=甲取到白球, Ai =甲第i 取到白球，i=1,2,3；B=乙取到白球, Bj =乙第j 取到白球，j=1,2；,例6 在某空战中，甲机先向乙机开火，击落乙机的概率是0.2；若乙机未被击落，进行还击击落甲机的概率为0.3；若甲机也未被击落，再次进攻，击落乙机的概率是0.4，计算这几个回合中甲、乙被击落的概率.,解：设A =甲机被击落， B =乙机被击落， Bi =乙机第i 次被击落，i =1, 2； 则B1，B2互斥，且 B
29、 =B1B2,= 0.80.70.4 = 0.224,P(B) = P(B1)+P(B2) = 0.2+0.224 = 0.424,例7 有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱装有3红球. 现从三箱中任选一箱，从中任意取出一球，求取到红球的概率.,解：记 Ai =球取自i 号箱,i=1,2,3; B =取到一个红球,即 B = A1BA2BA3B,B发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生，,则 P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B),而 A1B、A2B、A3B 两两互斥，,将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算
30、中常用的全概率公式.,对求和中的 每一项, 运用乘 法公式.,P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B),代入数据计算得：,1.3.3 全概率公式,完备事件组：A1, A2, An为样本空间的一组事件，满足： A1, A2, An互不相容且P(Ai) 0 (i=1, ,n);A1A2An= .,全概率公式：若事件组 A1, A2, An为为样本空间的一个完备事件组，则对中的任一事件B，有P(B)=P(A1)P(B|A1) + P(An)P(B|An).,注：,（1）该公式一般用于：所求事件的概率可能由某些原因引发，而这些原因又构成完备事件组； （2）在应用该公式时，必须先找出引发该事件
31、的完备事件组.,在例7中事件A1, A2, A3构成完备事件组.,例8：某工厂有甲、乙两车间生产同一种产品， 已知甲车间的产量比乙车间的产量多一倍，且 两车间的次品率分别为 3% 和 2%，求该厂产 品的合格率.,解：设 A1=甲车间生产的产品，A2=乙车间生产的产品，B =合格品.,所求的概率,A1, A2 构成完备事件组.,练习: 市场上某种商品由三个厂家同时供货,其供应量为:甲厂家占50%, 乙丙两厂家各占25%, 且各厂的次品率依次为 2%, 2%, 4%, 求市场上该种商品的次品率.,问题：若从市场上的商品中随机抽取一 件,发现是次品,求它是甲厂生产的概率?,解：设Ai=第i 个工厂
32、的产品，i=1,2,3, B=取到次品, 由题意得: P(A1)=0.5, P(A2)=P(A3)=0.25, P(B|A1)=0.02, P(B|A2)=0.02, P(B|A3)=0.04由全概率公式得:,=0.025,分析: 这是一个条件概率P(A1|B)=P(A1B)/P(B)，但这个条件概率是将后发生的事件作为条件.,贝叶斯公式：若A1，A2, . , An为样本空间的一个 完备事件组，则对的任一个事件B，P(B)0，有,注:,(1) A1 , A2 , . , An可以看作是导致事件B发生的原因; (2) P(Aj|B) 表示事件B发生后, 反求由“某原因Aj ”引发的可能性大小,
33、 故称“后验概率”，又称“逆概”.,1.3.4 贝叶斯（Bayes）公式,P ( Aj| B ) =,P(Aj B) / P(B),= P(Aj) P(B | Aj ) / P(B),例9 市场上某种商品由三个厂家同时供货, 其供应量为: 甲厂家占50%, 乙丙两个厂家各占25%, 且各厂的次品率依次为2%, 2%, 4%, 若从市场上的商品中随机抽取一件, 发现是次品, 求它是甲厂生产的概率?,解：设 Ai =第i 个工厂产品，i=1,2,3, B=次品,由题意得: P(A1)=0.5, P(A2)=P(A3)=0.25P(B|A1)=0.02, P(B|A2)=0.02, P(B|A3)=
34、0.04由全概率公式得:,由Bayes公式得:,=0.025,练习：设每 100个男性中有 5个色盲, 而每10000 个女性中有 25 个色盲. 今从人群中任选一人，发现其是色盲，求此人是女性的概率(假定人群中男女比例相同).,解：设 A表示“此人是女性”， B表示“此人是色盲”,则,练习：有一批装有黑、白两种颜色球的盒子共分3种, 这3 种盒子中黑、白球数目之比分别为 41, 12, 32, 又知 3 种盒子的数目之比为231, 现随机挑选一个盒子，再从中随机取出一个球，求取到白球的概率. 若已知取到一个白球, 求此球是出自第 2 种盒子的概率.,解: 设,显然 P(B|A)=P(B),这
35、就是说, 事件B 发生的概率, 并没有受到事件A发生的影响, 这时称事件A、B相互独立.,1.4.1 两个事件的独立性,设 A=第一次掷出6点，B=第二次掷出6点，,先看一个例子：,将一颗均匀骰子连掷两次，,1.4 事件的独立性,由乘法公式 P(AB)=P(A)P(B|A)， 若 P(B|A)=P(B)，有 P(AB)=P(A)P(B).,定义：对于任意两个事件A、B，若满足P(AB)= P(A)P(B) 则称A与B相互独立，简称A,B独立.,事件独立性的等价条件为： P(A|B) = P(A) ( P(B) 0 )或 P(B|A) = P(B) ( P(A) 0 ),例1 从一副不含王牌的扑
36、克牌中任取一 张，记 A=抽到K, B=抽到是黑花色的牌,即 P(AB)=P(A)P(B),解：由于 P(A)=4/52=1/13,所以事件A、B独立.,问事件A、B是否独立？,P(AB)=2/52=1/26,P(B)=26/52=1/2,在实际应用中, 往往根据问题的实际意义 去判断两事件是否独立.,例如甲、乙两人同时射击，记 A=甲命中, B=乙命中，则A与B 独立.,又如：一批产品共n件，从中抽取2件，设Ai=第 i 件是合格品 i=1, 2,若是有放回的抽取, 则A1与A2独立.,因为第二次抽取的结果受到第一次抽取的影响.,因为第二次抽取的结果不受第一次抽取的影响.,若是不放回的抽取，
37、则A1与A2不独立.,问题：如图的两个事件是独立的吗？,即: 若A、B互斥，且P(A)0, P(B)0, 则A与B不独立.,反之，若A与B独立，且P(A)0,P(B)0,则A 、B不互斥.,而 P(A) 0, P(B) 0,故 A、B不独立.,我们知道：P(AB)=0,能否在样本空间中找两个事件, 它们既 相互独立又互斥?,不难发现，与任何事件既独立又互斥.,1、设A、B为互斥事件，且P(A)0,P(B)0, 下面四个结论中，正确的是：,1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A) 3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B),2、设A、B为独立事件，且P(A)0,P(B)
38、0, 下面四个结论中，不正确的是：,1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A) 3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B),练习,=P(A)1-P(B)= P(A)P( ),= P(A)-P(AB),P(A )= P(A -B) =P(A-AB),A、B独立,故A与 独立 .,概 率 的 性 质,= P(A)-P(A)P(B),证明: 现证A与 独立，,由此可得 与 ， 与 都独立 .,对于任意三个事件A、B、C，若满足：P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C)， 则称A、B、C为两两独立.若满足：P(ABC)=P(A
39、)P(B)P(C) 则称A、B、C为三三独立.,性质：若A、B、C 相互独立，则AB, AB, AB 都与 C 独立.,若同时满足，则称这三个事件相互独立.,1.4.2 多个事件的独立性,例2 三人独立地去破译一份密码，已知各人能 译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至 少有一人能将密码译出的概率是多少？,解：将三人编号分别为1，2，3，,所求为,记 Ai =第i个人破译出密码， i=1,2,3,已知 P(A1)=1/5, P(A2)=1/3, P(A3)=1/4,例3 下面是一个串并联电路示意图. A、B、C、D、E、F、G、H都是电路中的元件. 它们下方 的数是它们各自正常工作
40、的概率. 求电路正常 工作的概率.,解：将电路正常工作记为W，由于各元件独立工作，,其中,P(W) 0.782,代入得,1.4.3 试验的独立性与伯努利概型,定义1：设有两个试验E1, E2，若试验E1的任一结果(事件)与试验 E2的任一结果(事件)相互独立，则称这两个试验相互独立. 定义2：设有n个试验E1, E2, En，若试验E1的任一结果，试验 E2的任一结果，试验 En的任一结果都相互独立，则称这n个试验相互独立. 定义3：若试验 E只有两个可能结果( )，则称试验E为伯努利试验.n 次重复独立伯努利试验称为n重伯努利试验， 又称为n重伯努利概型.,定理: 在 n重伯努利试验中，若事
41、件A在一次试 验中发生的概率为 p(0p1), 则事件A 发生 k次 的概率为：,例4、有一袋种子，已知种子的发芽率为98.5%,从中有放回抽取100次，每次取一粒.求抽到两次未发芽种子的概率.,解：已知种子的发芽率 p=0.985，以 k 表示取到未发芽种子的次数，,例5 一门大炮向同一目标连续发射三枚炮弹，炮弹击中目标的概率为 0.6，若只有一枚炮弹击中目标时，目标被摧毁的概率为0.5, 若二枚炮弹同时击中目标时，目标被摧毁的概率为 0.8 ，若三枚炮弹同时击中目标时，目标必被摧毁. 求目标中两发炮弹的概率和目标被摧毁概率.,解：设Ai =有 i 发炮弹命中目标 i=1,2,3 B =目标被摧毁即p=0.6, P(B|A1)=0.5, P(B|A2)=0.8, P(B|A3)=1,思考题：一枚深水炸弹击沉潜艇的概率是1/3，击伤潜艇的概率是1/2.已知潜艇若两次被击伤便沉没.求四枚深水炸弹击沉潜艇的概率.,
