1、概 率 总 复 习,可以在相同的条件下重复地进行;,每次试验的可能结果不止一个, 并且能 事先明确试验的所有可能结果;,进行一次试验之前不能确定哪一个结果 会出现.,在概率论中，把具有以下三个特征的试 验称为随机试验.,随机试验,在一定条件下可能出现也可能不出现的现象称为随机现象.,随机现象,样本空间的元素, 即试验E 的每一个结果, 称为样本点.,随机试验 E 的所有可能结果组成的集合 称为样本空间, 记为.,随机试验 E 的样本空间的子集称为 E 的随机事件, 简称事件.,随机事件,不可能事件 随机试验中不可能出现的结果.,必然事件与不可能事件,互称为对立事件.,基本事件 由一个样本点组成
2、的单点集.,必然事件 随机试验中必然会出现的结果.,重要的随机事件,复合事件 若干个基本事件的并集.,事件的关系和运算,(1) 包含关系(子事件),若事件 A 出现，必然导致事件 B 出现，,则称事件 B 包含事件 A，记作,图示 B 包含 A .,B,(2) 事件相等,(3) 事件A与B的并(和事件),图示事件A与B 的并.,A,若事件A 包含事件B , 而且事件B 包含事件A, 则称事件A 与事件B 相等, 记作 A=B.,(4) 事件A与B的交(积事件),图示事件A与B 的交.,A,(5) 事件A与B互不相容 (互斥),若事件 A 的出现必然导致事件 B 不出现 , B 出现也必然导致
3、A 不出现, 则称事件 A 与 B互不 相容, 即,图示 A 与 B 互不相容(互斥).,(6) 事件A与B的差,事件A出现而事件B不出现所成的事件称为事件A对B的差. 记作 A-B.,图示 A 与 B 的差.,A,B,设A表示“事件A出现”, 则“事件A不出现”称 为事件A的对立事件或逆事件. 记作,图示 A与 B 对立 .,B,若 A与 B 互逆, 则有,(7) 事件A的对立事件,说明 对立事件与互斥事件的区别,B,A，B 对立,A，B 互斥,互斥,对立,事件运算的性质,(1)频率的定义,频率,设 A 是随机试验 E 的任一事件, 则,(2)频率的性质,概率的定义,概率的性质,n 个事件和
4、的情况,定义,古典概型,设试验E的样本空间由n个样本点构成, A为 E的任意一个事件,且包含m个样本点, 则事件 A出现的概率为:,概率的计算公式,几何概型,当随机试验的样本空间是某个可度量区域, 并且任意一点落在度量 (长度, 面积, 体积) 相同 的子区域是等可能的, 则事件A的概率可定义为,条件概率,同理可得,为在事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率.,(1) 条件概率的定义,(2) 条件概率的性质,乘法公式,完备事件组,全概率公式与贝叶斯公式,全概率公式,说明 全概率公式的主要用处在于它可以将 一个复杂事件的概率计算问题分解为若干个简单 事件的概率计算问题, 最后应用概率的可
5、加性求出 最终结果.,贝叶斯公式,称为贝叶斯公式.,事件 A 与 B 相互独立是指事件 A 出现的 概率与事件 B 是否出现无关.,说明,事件的相互独立性,(1)两事件相互独立,(2)三事件的独立性,三个事件相互独立,三个事件两两相互独立,n 个事件相互独立,n个事件两两相互独立,重要定理及结论,若试验只有两个结果(成功与失败； 黑与白；正与反)，且在相同的条件下可重复进行，则称该试验为n重伯努利试验(n重伯努利概型).,n 重伯努利试验,n重伯努利概型的计算公式设n重伯努利试验中，事件A发生的概率为 p，则A出现k次的概率为：,随机变量是一个函数, 但它与普通的函数 有着本质的差别, 普通函
6、数是定义在实数域上, 而随机变量是定义在样本空间上 (样本空间的 元素不一定是实数).,(1)随机变量与普通的函数不同,随机变量,随机变量随着试验的结果不同而取不同的 值, 由于试验的各个结果的出现具有一定的概率, 因此随机变量的取值也有一定的概率规律.,(2)随机变量的取值具有一定的概率规律,(3)随机变量与随机事件的关系,随机事件包容在随机变量这个范围更广的 概念之内. 或者说, 随机事件是从静态的观点来 研究随机现象, 而随机变量则是从动态的观点来 研究随机现象.,随机变量的分类,若随机变量所取的可能值是有限个或至多可列个, 称为离散型随机变量.,连续型随机变量所取的可能值可以连续地 充
7、满某个区间.,离散型随机变量的分布律,(1)定义,(2)性质,称这样的分布为二项分布.记为,二项分布,两点分布,二项分布,两点分布的分布列为,泊松分布,则称X 服从超几何分布，记为 X h(n, N, M).,超几何分布,若随机变量X 的分布列为,称X为几何分布. 记为 X Ge(p).,P(X=k)=(1-p)k-1p, (k =1,2,.),几何分布,若随机变量X 的分布列为,若X为n次试验中成功的次数，则X是二项分布.,在伯努利试验中，记成功的概率为p(0p1),P(X=k)=(1-p)k-1p, (k =1,2,.),二项分布、几何分布与负二项分布的特征,若X为“第r 次成功”时的试验
8、次数，则X 服从负二项分布.,若X为首次成功时的试验次数，则X是几何分布.,(2)说明,随机变量的分布函数,(1)定义,分布函数主要研究随机变量在某一区间内取 值的概率情况.,即任一分布函数处处右连续.,(3)性质,离散型随机变量的分布函数,(4)重要公式,连续型随机变量的概率密度,(1)定义,(2)性质,40 F(x)是(-,+)上的连续函数.,若X是连续型随机变量，则,若 X 为离散型随机变量，则有,(3)注意,均匀分布,(1)定义,(2)分布函数,分布函数,指数分布,正态分布,(1)定义,(2)分布函数,标准正态分布的概率密度为,标准正态分布的分布函数为,(3)标准正态分布,标准正态分布
9、的图形,密度函数,分布函数,(4)重要公式,连续型随机变量的函数的分布,定理,二维随机变量,(1) 定义,二维随机变量的分布函数,且有,(2) 性质,二维离散型随机变量的分布律,离散型随机变量 ( X,Y ) 的分布函数为,二维随机变量 ( X,Y ) 的分布律也可表示为:,二维连续型随机变量及概率密度函数,(1) 定义,表示介于 f (x, y)和 xoy 平面之间的空间区域的全部体积等于1.,(3) 说明,(4) 两个常用的分布,设 D 是平面上的有界区域, 其面积为 S, 若二 维随机变量 ( X, Y ) 具有概率密度,则称( X,Y )在D上服从均匀分布.,若二维随机变量 ( X,Y
10、 ) 具有概率密度,二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布.,边缘分布函数,称为随机变量 ( X,Y ) 关于 Y 的边缘分布函数.,离散型随机变量的边缘分布函数分别为,离散型随机变量的边缘分布律,连续型随机变量的边缘密度函数,同理得 Y 的边缘密度函数为,联合分布,边缘分布,随机变量的相互独立性,重要结论,(1) 若离散型随机变量 ( X,Y )的联合分布律为,离散型随机变量的数学期望,连续型随机变量的数学期望,随机变量函数的数学期望,离散型随机变量函数的数学期望为,则有,则有,数学期望的性质,1. 设C是常数, 则有,2. 设X是一个随机变量, C是常数, 则有,3. 设X, Y 是两个随机变量, 则有,4. 设X, Y 是相互独立的随机变量, 则有,二维随机变量的数学期望,同理,则,则,方差的定义,离散型随机变量的方差,方差的计算公式,连续型随机变量的方差,方差的性质,1. 设 C 是常数, 则有,2. 设 X 是一个随机变量, C 是常数, 则有,协方差与相关系数的定义,协方差的性质,相关系数的性质,
