1、第三章 条件概率与事件的独立性,第一节 条件概率 第二节 全概率公式 第三节 贝叶斯公式 第四节 事件的独立性 第五节 贝努利试验与二项概率,第一节 条件概率,定义 设A、B为两事件，且P(A)0，称已知事件A发生条件下事件B发生的概率为B的条件概率，记为P(B|A)。,例1.1 抛一颗骰子，观察出现的点数，令A=单，B=小，则知样本=1,2,3,4,5,6，而A=1,3,5，B=1,2,3。由古典概型计算公式可得P(A)=1/2，P(B)=1/2，那么在事件A发生条件下，B事件发生的条件概率P(B|A)是多少呢？,可以肯定，P(B|A)应为2/3，即A已发生，样本空间缩减为1,3,5，此时只
2、当1,3发生时，B事件才发生，故有P(B|A)=2/3。,而分析P(B|A)=2/3=(1/3)/(1/2)=P(AB)/P(A)，再检查，对古典概型而言，上式均成立，故上式可作为条件概率的具体描述公式。,设A、B为两事件，且P(A)0，则事件A发生条件下事件B发生的条件概率为,条件概率的计算公式,既然P(B|A)谓之条件概率，则可以验证P(B|A)满足概率的三条公理：,例1.2 设某种动物活到20岁以上的概率为0.7，活到25岁以上的概率为0.4，求现龄为20的这种动物能活到25岁以上的概率？,解：设这种动物活到20岁以上的事件为A，活到25岁以上的事件为B，则AB=B，P(A)=0.7，即
3、P(AB)=P(B)=0.4 故,乘法定理：设P(A)0，则有P(AB)=P(A)P(B|A),乘法定理的推广：,特别地，当n=2时，即为乘法定理。,例1.3(抓阄问题) 1995年全国足球甲A联赛的最后一轮，四川全兴队与解放军八一队的比赛在成都市进行，这场比赛是关系到四川全兴队是否降级的命运之战。肯定会异常精彩，可西南交大某班30位同学仅购得一张票，大家都想去看，只好采取抓阄的办法抽签决定，每个人依次从30个阄中地抽取一阄，试问，每人抽得此票的机会是否相等？,解：设Ai=第i个人抽得球票, i=1,2,30,同理，第i个人要抽得球票，必须在他抽取之前的i1个人都没有抽到此票的事件一起出现，即
4、,故每个人抽到概率都是1/30，即机会均等。,第二节 全概率公式,定义2.1 设是试验E的样本空间，B1,B2,Bn为E的一组事件，若满足条件 1)B1,B2,Bn两两互不相容 2)B1B2Bn= 则称B1,B2,Bn为的一个划分。,定理 设试验E的样本空间为, A为E的事件, 若B1, B2, Bn为的一个划分，且P(Bi)0, i=1, 2, n, 则上式称为全概率公式。,图示,化整为零 各个击破,说明 全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题, 分解为若干个简单事件的概率计算问题, 最后应用概率的可加性求出最终结果.,例2.1 设甲袋中有n只白球，m只红球，乙袋中N只白
5、球，M只红球。现从甲袋任取一只放入乙袋，然后从乙袋中取一只，问取到白球的概率是多少?,例2.2 一商店出售的电子管是甲、乙、丙三家工厂生产的，其中甲、乙、丙三厂产品分别占总数的20%、50%、30%，三厂产品次品率分别为0.01、0.02、0.03，试求任取一只电子管出售，这只电子管是次品的概率。,解：设A=抽出的电子管为次品, B1, B2, B3分别为所取电子管由甲、乙、丙厂生产。,显然, B1, B2, B3为=任抽一电子管为由甲、乙、丙厂生产的一个划分。,第三节 贝叶斯公式,定理 设试验E的样本空间为，A为E的事件，存在一个划分B1,B2,Bn。且P(A)0，P(Bi)0，i=1,2,
6、3,n。则上式是18世纪英国哲学家Thomas Bayes首先总结出来的，所以称为贝叶斯公式。,可以这样说, P(B1), P(B2), P(Bn)是人们对B1, B2, Bn发生的可能性大小的经验认识, 即先验概率。当发生新信息(知道A)之后, 人们对B1, B2, Bn又有了新的认识, 即后验概率P(B1|A), P(B2|A), P(Bn|A), 贝叶斯公式正是描述了这种认识的变化过程。,例3.1 对以往的数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为90%，而当机器发生某一故障时，其合格率为30%，每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为75%，试求某日早上第一件产品是合格品时，
7、机器调整得良好的概率是多少?,例3.2 假定患肺结核的人通过接受胸部透视，被诊断出的概率为0.95，而未患肺结核的人通过透视，被诊断有病的概率为0.002，又设某城市居民患肺结核的概率为0.1%。若从该城市居民中随机选出一人来，通过透视被诊有肺结核，求此人确实有肺结核的概率？,第四节 事件的独立性,了解条件概率P(B|A)之后，是否能肯定成立 P(B|A)P(B) 或 P(B|A)P(B),一、两个事件的相互独立性,对4）设P(A)=0.4，P(B)=0.5，P(AB)取不同值时可有下述结果 即当AB，且A,B无相互包含关系时，上述三种情况之一都有可能发生，即事件A发生条件下，事件B发生的条件
8、概率与无条件概率没有必然的大小对应关系。,相互独立性定义,例4.1 设n件产品有k(n)件次品，每次任取一件，试验证放回抽样的两次抽取是独立的，而不放回抽样的两次抽取是不独立的。,定义 设A、B是两事件，如果满足P(AB)=P(A)P(B) 则称A、B相互独立。,证：设第一、二次抽到次品的事件分别为A, B, 则,定理 若四对事件A与B， 中有一对是相互独立的事件，则另外各对事件也是相互独立的事件。,证：不妨设A, B相互独立，去证其它各对亦为相互独立的事件。,例4.2 设事件A、B相互独立，已知P(A)=0.4，,答：1、(1) 2、(2),练习：,例4.3 若P(A)0，P(B)0，P(A
9、|B)=P(A)，则( )不成立。,注：相互独立和互不相容是两个不同的概念。,两事件相互独立,两事件互斥,二者之间没有必然联系,二、多事件相互独立性,定义,三个事件间的相互独立性,定义 设A、B、C为三事件，如果具有等式P(AB)=P(A)P(B)P(BC)=P(B)P(C) （1）P(CA)=P(C)P(A) 则称三事件A、B、C为两两独立的事件。一般事件A、B、C为两两独立时，等式P(ABC)=P(A)P(B)P(C) （2） 不一定成立。只有(1)(2)同时成立，事件A、B、C才相互独立。,例4.4 在四张标有数字1，2，3，4的卡片中等可能的任取一张，设事件A=取到数字1或2的卡片，B
10、=取到数字1或3的卡片，C=取到数字1或4的卡片，试验证A、B、C两两独立。,例4.5 若有一均匀正八面体，其第1,2,3,4面染上红色，第1,2,3,5面染上白色，第1,6,7,8面染上黑色，现令： A=抛一次正八面体朝下的一面出现红色； B=抛一次正八面体朝下的一面出现白色； C=抛一次正八面体朝下的一面出现黑色； 试验证（2）式成立，但P(AB)P(A)P(B),例4.6(下赌注问题) 17世纪末，法国的De Mere爵士与人打赌在“连掷4次一颗色子至少出现一次6点”的情况下他赢了钱，可是“连掷24次两颗色子至少出现一次双6点”的情况下却输了钱，这是为什么？,此概率大于0.5，故赢钱的可
11、能性大。,此概率小于0.5，故输钱的可能性大。,例4.7 设甲、乙、丙三人同时向一敌机射击，射中的概率分别为0.4，0.5，0.7，且知若只有一人射中，飞机坠落的概率为0.2，若二人射中，飞机坠落的概率为0.6，若三人射中，飞机必坠落，求飞机坠落的概率。,解：设A=飞机坠落, Bi=有i人击中, i=0, 1, 2, 3. 显然, B0, B1, B2, B3为=三人射击飞机时有若干人击中飞机的一个划分。,例4.8 设有电路如下图所示，其中1,2,3,4为继电器接点。设各继电器接点闭合与否相互独立，且每一继电器接点闭合的概率均为p，求L至R为通路的概率。,解: 设A=L至R为通路, Ai=第i
12、个继电器接点闭合, i=1, 2, 3, 4.,由概率加法公式及A1, A2, A3, A4的独立性知,第五节 贝努利试验和二项概率,定义5.1 若在同样条件下，将试验E重复进行n次，若各次试验的结果互不影响，即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果，则称这n次试验是独立重复试验，n称为重数。,例5.1 在同样条件下，抛掷一均匀硬币n次，易见每次投掷的结果，即不管出现“正面”或“反面”，均不会影响其它各次投掷结果，即此为n次独立重复试验。,例5.2 从一批灯泡中，任取n只作寿命试验，而每只灯泡的寿命结果不会影响其它灯泡的寿命结果，故此亦为n次独立重复试验。,贝努利概型是一种很重要的
13、数学模型，有着非常广泛的运用。在n重贝努利概型中事件A恰恰出现k次的概率是实际中常遇到的，这个概率常称为二项概率，记为Pn(k)。,二项概率公式Pn(k)的推导：,推广: n重贝努利概型中A恰出现k次的概率,例5.3 某织布车间有30台自动织布机，由于检修、上纱等各种工艺上的原因，每台布机时常停机。设各台布机的停或开相互独立，且每台布机在任一时刻停机的概率为1/3，试求在任一指定的时刻里有10台布机停机的概率。,解：显然本例为30重贝努利试验，p=P布机停机 =1/3，故30台布机中有10台布机停机的概率为,由此可见，虽然每台布机有1/3的可能时常停机，但并不能说明在任一时刻所有的布机都有1/3的台数停机。本例计算表明，10台停机只有15.3%的可能。,
