1、罗素Bertrand Russell 1872-1970纯数学是这样一门学科，在其中我们并不知道我们在谈论什么，或者我们不知道我们所谈论者是否是真的 。 希尔伯特纲领 梦想的破灭梦想与悖论笛卡尔Ren Descartes 1596-1650 1596年 3月 31日生于法国的图伦 1619年 11月 10 日 Ausonius: Quod vitae sectabor iter 在我的一生中，我该走哪条路？ 1650年 2月 11日在斯德哥尔摩去世 科学中正确运用理性和追求真理的 方法论 1637年 6月 8日折光学气象学 几何学 寻求知识的途径寻求知识的途径仅接纳自己理解并可以排除疑问的东西
2、把大的困难拆分成小的困难从简单到复杂的推理进行检验 笛卡尔之梦现实问题数学问题（几何问题）代数问题（解析几何）多项式方程组一元高次方程 笛卡尔的梦想：将世界数学化 人类的所有问题，都可以通过逻辑计算，理性地、系统地加以解决。数学真理 = 数学定理莱布尼兹 （德国）Gottfried Leibniz (1646-1716) 笛卡尔计划的一个具体的实现方案 : 将思维演算化、计算化，以至于可以计算机化。解析几何如同一台庞大的绞肉机，你把问题塞进去，只要摇动曲柄，就可以得到答案。沙勒 (法国）Michel Chasles17931880为几何大厦添砖加瓦，从此就用不着天才那样的人物了。 几何方法的起
3、源和发展的历史概述1900年前后，逻辑悖论的出现 罗素：日常语言和逻辑中可以出现悖论 理发师悖论 村中的理发师只给本村那些不给自己理发的人理发。 谁给理发师理发？庞伽莱 （法国）Henri Poincar （ 1854-1912）为了防备狼，羊群已用篱笆圈了起来，但却不知道圈里有没有狼 。数学的完备性 completeness 一个数学系统是完备的，那么这个系统中的所有命题都是可以被证明的，每一个数学真理都对应着一个数学定理。 1930年之前 : 两个基本问题 I 每一个明确的数学问题都应该关联一个明确的判断，或者是给出答案，或者是证明它不可解。数学的一致性 consistency 1930年
4、之前： 两个基本问题 II 一致性（相容性、无矛盾、协调性） 如果说一个数学系统是一致的，不可能得出 00的结果。 不能出现这个系统中的一个命题与它的否定命题都是对的，即不能出现悖论。如果一个系统是不一致的，则可以按照我们的喜好来证明一个论断是真的，或者假的，那样的话，我们的知识就不会建立在一个可靠的基础之上了。 罗素 : 我是教皇如果我们承认 2+2=5，则有 2=3或者 2=1因为教皇和罗素是两个人，且 2=1于是 1=2所以，罗素就是教皇。 梦想与悖论 梦想的破灭 希尔伯特纲领 1900年巴黎国际数学家大会 希尔伯特 23问题 第二个问题 “算术公理的一致性 ” 数学推理的可靠性：只要按
5、照数学推理的规则，就不应该得出相互矛盾的陈述。 希尔伯特：一致性是任何类型的公理化系统的必要条件 为什么希尔伯特要操心这样的事情呢？ 2+2=5 真的可以发生吗？ 三角形的内角和 180吗？ 几何原本 1482年 威尼斯罗巴切夫斯基 （俄国）Nikolai Lobachevski （ 1792-1856）波约 （匈牙利）Janos Bolyai （ 1802-1860） 存在着完全一致的、关于点和线的数学系统，他们不同于欧几里得的系统。 三角形的内角和可以大于 180 椭圆几何 三角形的内角和可以小于 180 双曲几何 三种几何平面 双曲 (马鞍） 椭圆 （球）1条 平行线 许多平行线 没有平
6、行线= 180 180平面宇宙 开放宇宙 封闭宇宙冷寂 冷寂 大挤压欧几里得 罗巴切夫斯基 黎曼希尔伯特David Hilbert1862年 1月 23日生于哥尼斯堡1943年 2月 14日死于哥廷根 希尔伯特纲领建立的动机 罗素悖论产生的原因：自然陈述中语义的含糊性 铲除悖论：为全部数学构建一种纯句法的、实质上 “无意义 ”的框架，在其中可以谈论数学的真或假。 将每一个数学真理都形式化，从而永远排除在数学中出现悖论陈述的可能性。也不会产生不可判定的命题。 形式系统：形式化了的公理系统。系统中的符号与符号串（公式）完全不含意义。 形式系统 公式：按照一定的形式规则排列的符号串 公理：一个公式
7、推理规则：由有限个确定的公式（规则的假设）得到某一个确定的公式（规则的结论） 定理：公理； 若规则的假设是定理，其结论也是 形式系统的公式是否定理，可以机械地验证 希尔伯特纲领 第一步，建立形式系统 第二步，考虑数学结构将数学对象与形式系统中的符号、公式相匹配，用不含意义的形式语言来解释含有意义的数学对象。 不使用那些有争议的推论 1920年 1930年 希尔伯特、阿克曼 、 伯奈斯 、 冯诺伊曼 元数学（或称证明论） 用矛盾去证明存在 超限归纳 实无穷集 非断言性的定义 选择公理 存在性的证明也必须是构造性的 元数学证明的概念与方法是有限性的 希尔伯特（ 1928年）： 利用这种新的数学基础 人们完全可以称之为证明理论，我将可以解决世界上所有的基础问题。 所有有意义的论述都将被证明或证伪，那样就不存在悬而未决的命题了。 希尔伯特的梦想 构造一个形式系统，它既是完备的，又是一致的。 在数学结构的真理与形式系统的定理之间建立一种完美的一一对应的关系。 把整个数学真理全部形式化，以防止悖论跨越自然语言与数学语言的界限而侵入纯洁的数学世界。定理陈述证明机器结果：真 假 希尔伯特的形式系统 证明机器希尔伯特1900年 1928年 9月波伦亚国际数学家大会 “数学基础问题 ”（四个问题） 基本问题：可否证明每一个真的数学陈述。
