1、1第三章 变量之间的关系 知识点梳理及典型例题知识回顾复习 路程、速度、时间之间的关系： ， ， ；知识点一 常量与变量 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为 .数值始终不变的量为 ； 在某一变化过程中，如果有两个变量 x 和 y，当其中一个变量 x 在一定范围内取一个数值时，另一个变量 y 也有唯一一个数值与其对应，那么，通常把前一个变量 x 叫做 ，后一个变量 y 叫做自变量的 ； 注意：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如：s=60t ，速度 60 千米/时是 ，时间 t 和里程 s 为变量.t 是 ，s 是 。知识点二 用表格表示
2、变量之间的关系 表示两个变量之间的关系的表格，一般第一行表示自变量，第二行表示因变量；借助表格，可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况。注意：用表格可以表示两个变量之间的关系时，能准确地指出几组自变量和因变量的值，但不能全面地反映两个变量之间的关系，只能反映其中的一部分，从数据中获取两个变量关系的信息，找出变化规律是解题的关键 .知识点三 用关系式表示两个变量之间的关系 例如，正方形的边长为 x，面积为 y，则 这个关系式就是表示两个变量=2之间的对应关系，其中 x 是 ，y 是 ；一般地，含有两个未知数（变量）的等式就是表示这两个变量的关系式； 【温馨提示】 （1）写关系式的关键是写出一个
3、含有自变量和因变量的等式，将表示因变量的字母单独写在等号的左边，右边是用自变量表示因变量的代数式.（2 ） 自变量的取值必须使式子有意义，实际问题还要有实际意义 .（3 ）实际问题中，有的变量关系不一定能用关系式表示出来.【方法技巧】列关系式的关键是记住一些常见图形的相关公式和弄清两个变量间的量的关系.根据关系式求值实质上是求代数式的值或解方程.知识点四 用图象表示两个变量间的关系 图象法就是用图象来表示两个变量之间的关系的方法；在用图象法表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（横轴）上的点表示 ，用竖直方向的数轴（纵轴）上的点表示 ，用坐标来表示每对自变量和因变量的对应值所在位置； 【温
4、馨提示】图象法能直观、形象地描述两个变量之间的关系，但只是反映两个变量之间的关系的一部分，而不是整体，且由图象确定的数值往往是近似的.【方法技巧】 （1）借助图象，过某点分别向横轴、纵轴作垂线可以知道自变量取某个值时，因变量取什么值.（2）借助图象可判断因变量的变化趋势：图象自左向右是上升的，则说明因变量随着自变量的增大而增大，图象自左向右是上升下降的，则说明因变量随着自变量的增大而增大减小，图象自左向右是与横轴平行的，则说明因变量在自变量的增大的过程中保持不变.知识点五 变量之间的关系的表示方法比较 表示变量之间的关系，可以用 、 和 ；其中表格法一目了然，使用方便，但列出的数值有限，不容易
5、看出因变量与自变量的变化规律；关系式法简单明了，能准确反映出整个变化过程中因变量与自变量之间的相互关系，但是求对应值时，要经过比较复杂的计算，而且在实际问题中，有的变量之间的关系不一定能用关系式表示出来；图象法的特点是形象、直观，可以形象地反映出变量之间的变化趋势和某些性质，是研究变量性质的好工具，其不足是由图象法往往难以得到准确的对应值；专题一 能从表格中获取两个变量之间关系的信息1 有一个水箱，它的容积是500 L，现要将水箱注满，下面是注水的情况表（1 ） 在这个注水过程中，反映的是两个变量 与 之间的关系，注 水 时 间 /min 0 5 10 15 20 25 30注水量/L 200
6、 250 300 350 400 450 5002其中变量 是自变量，变量 是因变量；（2 ） 这个水箱原有水 L；（3 ） min时水箱注满水；（4 ） 由表中的数据可以看出，水箱的注水过程是均匀的，那么平均每分钟注水 L.2 一根合金棒在不同的温度下，其长度也不同，合金棒的长度和温度之间有如下关系：（1 ）上表反映了温度与长度两个变量之间的关系，其中 自变量， 是因变量.（2）当温度是 10 时，合金棒的长度是 cm（3）如果合金棒的长度大于 10.05 cm 小于 10.15 cm，根据表中的数据推测，此时的温度应在 的范围内（4 ）当温度为-20 和 100 ，合金棒的长度分别为 cm
7、 和 cm专题二 根据表格确定自变量、因变量及变化规律3 七年级（1 ）班第一小组的同学星期天去郊外爬山，得到如下数据：（1 ）当爬到100 m 时，所花的时间是多少？（2 ）当爬到每增加10 m 时，所花的时间相同吗？（3 ）从表中数据的变化中，你能得到什么变化趋势？4 一辆小汽车在高速公路上从静止到启动 10 秒之间的速度经测量如下表：（1 ）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个变量是自变量？哪个变量是因变量？（2 ） 如果用 t 表示时间，v 表示速度，那么随着 t 的变化，v 的变化趋势是什么？（3 ） 当 t 每增加1 s 时，v 的变化情况相同吗？在哪一秒钟,v 的增加量最大？（4
8、 ） 若在高速公路上小汽车行驶速度的上限为120 km/h，试估计还需几秒这辆小汽车的速度就达到这个上限?专题三 用关系式表示两个变量之间的关系5某水果批发市场香蕉的价格如下表： 购买香蕉数x（千克）x20 2040每千克价格 8 元 7 元 6 元若小强购买香蕉 x 千克（x 大于 40 千克）付了 y 元，则 y 关于 x 的关系式为 .温度（）-5 0 5 10 15长度（cm）9.995 10 10.005 10.01 10.015爬 坡 长 度 x/m 30 50 80 100 150 200爬坡时间 y/min 2 3.7 6.5 9 14 20时 间 （ s ） 0 1 2 3
9、4 5 6 7 8 9 10速度（m/s） 0 0.3 1.3 2.8 4.9 7.6 11.0 14.1 18.4 24.2 28.936.（1）某礼堂共有 25 排座位，第一排有 20 个座位，后面每一排都比前一排多 1 个座位，写出每排的座位数 m 与这排的排数 n 的关系式，并写出自变量 n 的取值范围（2 ）在其他条件不变的情况下，请探究下列问题：当后面每一排都比前一排多 2个座位时，则每排的座位数 m 与这排的排数 n 的关系式是 （1 n25，且 n 是正整数）；当后面每一排都比前一排多 3 个座位、4 个座位时，则每排的座位数 m与这排的排数 n 的关系式分别是 ， （1n 2
10、5，且 n 是正整数）；某礼堂共有 p 排座位，第一排有 a 个座位，后面每一排都比前一排多 b 个座位，试写出每排的座位数 m 与这排的排数 n 的关系式专题四 用关系式求值7一棵树苗，栽种时高度约为 80 厘米，为研究它的生长情况，测得数据如下表：（1 ）此变化过程中 是自变量， 是因变量；（2 ）树苗高度 h 与栽种的年数 n 之间的关系式为 ；（3 ）栽种后 后，树苗能长到 280 厘米8某市为了鼓励市民节约用水，规定自来水的收费标准如下表：（1 ）现已知小伟家四月份用水 18 吨，则应缴纳水费多少元？（2 ）写出每月每户的水费 y（元）与用水量 x（吨）之间的函数关系式（3）若已知小
11、伟家五月份的水费为 17 元，则他家五月份用水多少吨？专题五 曲线型图象9 温度的变化是人们经常谈论的话题请你根据图象，讨论某地某天温度变化的情况如图所示：（1 ）上午 10 时的温度是 度，14 时的温度是 度；（2 ）这一天最高温度是 度，是在 时达到的；最低温度是 度，是在 时达到的；（3 ）这一天从最低温度到最高温度经过了 小时；（4 ）温度上升的时间范围为 ，温度下降的时间范围为 ；（5 ）你预测次日凌晨 1 时的温度是 10如图，水以恒速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中.（1 ）请分别找出与各容器对应的水的高度 h 和时间 t 的变化关系的图象，用直线
12、段连接起来；（2 ）当容器中的水恰好达到一半高度时，请在关系图的 t 轴上标出此时 t 值对应栽种以后的年数 n/年 高度 h/厘米1 1052 1303 1554 180 每月每户用水量 每吨价（元）不超过 10 吨部分 0.50超过 10 吨而不超过 20 吨部分 0.75超过 20 吨部分 1.504点 T 的位置专题六 折线型图象11.如图，表现了一辆汽车在行驶途中的速度随时间的变化情况（1 ） A、B 两点分别表示汽车是什么状态？（2 ）请你分段描写汽车在第 0 分钟到第 19 分钟的行驶状况（3 ）司机休息 5 分钟后继续上路，加速 1 分钟后开始以 60 km/h 的速度匀速行驶
13、，5 分钟后减速，用了 2 分钟汽车停止，请在原图上画出这段时间内汽车的速度与时间的关系图5第三章 变量之间的关系复习题1一名同学在用弹簧做实验，在弹簧上挂不同质量的物体后，弹簧的长度就会发生变化，实验数据如下表：(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？(2)弹簧不挂物体时的长度是多少？如果用 x 表示弹性限度内物体的质量，用 y 表示弹簧的长度，那么随着 x 的变化，y 的变化趋势如何？(3)如果此时弹簧最大挂重量为 15 千克，你能预测当挂重为 10 千克时，弹簧的长度是多少？2如图：将边长为 20cm 的正方形纸片的四个角截去相同的小正方形，然后将截好的材料围成
14、一个无盖的长方体。(1)这个情境反映了哪两个变量之间的关系？其中自变量是什么？因变量是什么？(2)在以上问题中，若设截去的小正方形的边长是 xcm，围成的无盖长方体的体积是 ycm3,则 y 与 x 之间的关系式是_；(3)若小正方形的边长是 5cm，那么长方体的体积是多少 cm3？当 x=2.5cm 体积是多少 cm3(4)根据以上关系式填下表：(5)当 x 在什么范围变化时，y 随 x 的增大而增大，当 x 在什么范围变化时，y 随x 的增大而减小？你又是根据哪种表示法得到的？(6)请你估计 x 取何值时，制成的无盖长方体的体积最大？3小红与小兰从学校出发到距学校 5 千米的书店买书，下图
15、反应了他们两人离开学校的路程与时间的关系。根据图形尝试解决你们提出的问题。（1）小红与小兰谁先出发？谁先达到？（2）描述小兰离学校的路程与时间的变化关系。（3）小兰前 20 分钟的速度和最后 10 分钟的速度是多少？怎样从图像上直观地反映速度的大小？（4）小红与小兰从学校到书店的平均速度各是多少？4一辆汽车以每小时 50 千米的速度行驶了 t 小时，行驶的路程为 s 千米.（1）这个情境中，有哪些变量？其中自变量是什么？因变量是什么？(2)你能用哪种方式表示路程与时间之间的关系？具体做一做。（3）该汽车行驶 2.5 小时的路程是多少千米？（4）一段公路全长 350 千米，这辆汽车行驶完全程需要
16、多少小时？所挂物体的质量/千克 0 1 2 3 4 5弹簧的长度/cm 12 12.5 13 13.5 14 14.5x/cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9y/cm3312450 10 20 30 40 50 60 t/分钟s/千米实线-小兰虚线-小红65. 2012 年 6 月份某一天沈阳的气温随时间变化的情况如图所示，回答下列问题：(1)这天的最高气温约是 ；(2)这天一共有 个小时的气温在24以上；(3)这天在 范围内温度在上升；这天在 范围内温度在下降；(4)请你预测一下，次日凌晨 1 点的气温大约多少度。6.果子成熟从树上落到地面，它落下的高度与经过的时间有如下的关系：时间 t
17、/秒 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 高度 h/米 50.25 50.36 50.49 50.64 50.81 51 (1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？(2)如果果子经过 2 秒落到地上，那么请估计这果子开始落下时离地面的高度是多少米？(3)请你列出果子落下的高度 h（米）与时间 t（秒）之间的关系式。7某种油箱容量为 60 升的汽车，加满汽油后，汽车行驶时油箱的油量 Q（升）随汽车行驶时间 t（时）变化的关系式如下：Q606t (1)请完成下表汽车行驶时间 t/小时 0 1 2.5 4油箱的油量 Q/升 60(2)汽车行驶 5 小时后，油箱中油量是
18、 升(3)若汽车行驶过程中，油箱的油量为 12 升，则汽车行驶了 小时(4)贮满 60 升汽油的汽车，最多行驶 小时(5)下面哪个图像能够反映变量 Q 与 t 的关系的是（ ）情景创设：分析下面反映变量之间关系的图，想象一个适合它的实际情境.（1）可以把 x 和 y 分别代表时间和距离，那么这个图可以描述为：小华骑车从学校回家，一段后，停下来修车，然后又开始往家走，直到回家； （2）可以把 x 和 y 分别代表时间和速度，那么这个图可以描述为：一辆汽车，减速行驶一段时间后，匀速行驶了一段时间，然后逐渐减速，到了目的地停下来.（3）可以把 x 和 y 分别代表时间和蓄水量，那么这个图可以描述为：一个水池先放水，一段后，停止，随后，又接着放水直到放完. （4）可以把 x 和 y 分别代表时间和高度，那么这个图就可以描述为：一架飞Qt（A）Qt（B）Qt（C ）温度/2022242628时间0 3 6 9 12 15 18 21 247机从一定的飞行高度慢慢下降一个高度，然后在这一高度飞行了一段时间后，快到机场时，开始降落，最后降落在机场.
