1、4 最大公因式,5 因式分解,6 重因式,3 整除的概念,2 一元多项式,1 数域,7 多项式函数,9 有理系数多项式,8 复、实系数多项式 的因式分解,第一章 多项式,一、带余除法,二、整除,1.3 整除的概念,对,一、带余除法,定理,称 为 除 的商， 为 除,的余式, 若,则令,结论成立, 若,证：,当 时，,结论成立,下面讨论 的情形，,假设对次数小于n的 ，,结论已成立,先证存在性,次数为时结论显然成立,设 的首项为,的首项为,则 与 首项相同，,因而，多项式,的次数小于n或 f1为0,若,若,由归纳假设，存在,使得,现在来看次数为n的情形,其中,或者,于是,成立,的存在性得证,由归
2、纳法原理，对,再证唯一性,若同时有,其中,其中,和,则,即,但,矛盾,所以,从而,唯一性得证,附：,综合除法,可按下列计算格式求得：,这里，,的形式,说明：,综合除法一般用于,例1求 除 的商式和余式,解: 由,), ,有,4,解: ,1 ,=,2,3,2,3,4,5=,1,3,6,3,6,1,4,4,1,10=,5=,10=,二、整除,1定义,设,记作,即,区别：,零多项式整除零多项式，有意义,除数为零，无意义,所得的商可表成,定理1,2整除的判定,3整除的性质,1) 对,有,对,有,即，任一多项式整除它自身；零多项式能被任一多项式整除；零次多项式整除任一多项式,时， 与 有相同的因式和倍式,2) 若 ，则,证：,使得,使得,若,则,皆为非空常数,4) 若,（整除关系的传递性）,5) 若,注：反之不然如,但,6) 整除不变性：,两多项式的整除关系不因系数域的扩大而改变,例3求实数 满足什么条件时多项式,整除多项式,附：整数上的带余除法,对任意整数a、b（b0）都存在唯一的整数q、r，,使 aqbr，,其中,作业,P44 1. 2) 2. 2) 3. 2) 4. 2),
