1、错位相减法尝试!,注:等差、等比数列的证明须用定义证明 .,例1 已知an是公比为q的等比数列，且a6，a4，a2成等差数列，则q( ),2倒序相加法 如果一个数列an，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的 3错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和可用“乘公比，错位相减”法进行如等比数列的前n项和就是用此法推导的,4裂项相消法 如果数列的通项可以表达成两项之差，各项随n的变化而变化，前后项相加可以相互抵消就用裂项相加相消法 5分组求和法
2、当一个数列的通项由几个项构成，各个项构成等差或等比数列时，可分为几个数列分别求和再相加,已知数列an的前n项和Snn29n，第k项满足5ak8，则k( ) A9 B8 C7 D6 解析：a1S18， n2时，anSnSn1102n(n1也满足) an2n10，由5ak8， 得52k108，又kN*，k8.,已知数列an的通项公式是ann2kn2，若对任意nN*，都有an1an成立，则实数k的取值范围是( ) Ak0 Bk1 Ck2 Dk3,答案：D,点评：本题主要考查数列的概念，通项公式的求法，及错位相减法求和,第 7 讲 要点热点探究, 探究点一 数列求和,第 7 讲 江苏真题剖析,第 7
3、讲 课本挖掘提升,第 7 讲 课本挖掘提升,第 7 讲 课本挖掘提升,已知数列an满足a1=1,an=3n-1+an-1(n2). (1)求a2,a3; (2)证明：an= .,题型二 利用数列前n项和公式求通项,例2,已知数列an的前n项和为Sn，分别求其通项公式.(1)Sn=3n-2；(2)Sn= (an+2)2(an0).,(1)当n=1时，a1=S1=1; 当n2时，an=Sn-Sn-1=3n-2-（3n-1-2）=23n-1. 由于a1=1不适合上式，因此数列an的通项公式为1 （n=1）23n-1 （nN*，且n2）.,an=,(2)当n=1时，a1=S1= (a1+2)2，解得a
4、1=2. 当n2时,Sn=Sn-Sn-1= (an+2)2- (an-1+2)2, 所以(an-2)2-(an-1+2)2=0， 所以(an+an-1)(an-an-1-4)=0， 又an0，所以an-an-1=4， 可知an为等差数列，公差为4, 所以an=a1+(n-1)d=2+(n-1)4=4n-2, a1=2也适合上式，故an=4n-2.,题型三 利用递推公式求数列的通项,例3,根据下列条件,写出数列的通项公式： （1）a1=2，an+1=an+n； （2）a1=1，an-1=2n-1an.,（1）将递推关系写成n-1个等式累加，即“累加法”. （2）将递推关系写成n-1个等式相乘，即
5、“累积法”或用逐项迭代法.,(1)(方法一)an+1=an+n， 所以a2=a1+1，a3=a2+2，a4=a3+3，, an=an-1+(n-1), 所以a2+a3+an =(a1+a2+an-1)+1+2+3+(n-1)， 所以an= +2= .,(方法二)因为an+1-an=n， 所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a3-a2)+(a2-a1)+a1 =(n-1)+(n-2)+1+2 = +2 = .,(2)(方法一)因为an= , 所a2= ,a3= ,a4= ,an= , 相乘得a2a3an= an= = . (方法二)因为 = ， 所以an= a1 = 1= .
6、,1.一是要熟练掌握常见的递推数列的通项公式的求法.如迭加型，累乘型等.二是会将问题转化为等差、等比数列，而转化的方法在于合理构造，常用的手段有： (1)构造an+x,x为常数； (2)构造an+1-xan，x为常数；,(3)构造 ; (4)构造 ; (5)构造an+f(n). 2.不等式与递推关系综合问题，方法与相等关系中类似，常有放缩法化归为等比数列求和或易求和型，从而证得不等式.,1.等差数列的判定方法. 定义法：对于数列an,若an+1-an=d(常数)，则数列an是等差数列； 等差中项法：对于数列an,若2an+1=an+an+2，则数列an是等差数列. 2.在熟练应用基本公式的同时
7、，还要会用变通的公式，如在等差数列中，am=an+(m-n)d.,3.已知三个或四个数成等差数列这类问题，要善于设元，目的仍在于减少运算量，如三个数成等差数列时，除了设a,a+d,a+2d外，还可设a-d,a,a+d，四个数成等差数列时，可设为a-3m,a-m,a+m,a+3m.,1.方程思想的应用.在等比数列的五个基本量a1,an,q,n,Sn中，“知三求二”，一般是运用通项公式和前n项和公式列方程，通过解方程求解. 2.等比数列的判定常用定义法和等比中项法；而证明不是等比数列时，只需举反例（常从前几项入手）.,在数列an中，a1=1,a2=2,且an+1=(1+q)an-qan-1(n2,
8、q0).(1)设bn=an+1-an(nN*),证明：bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式；(3)若a3是a6与a9的等差中项，求q的值，并证明：对任意的nN*,an是an+3与an+6的等差中项.,(1)证明:由题设an+1=(1+q)an-qan-1(n2), 得an+1-an=q(an-an-1),即bn=qbn-1,n2. 又b1=a2-a1=1,q0， 所以bn是首项为1,公比为q的等比数列.,(2)由(1)知，a2-a1=1, a3-a2=q, an-an-1=qn-2(n). 将以上各式相加,得an-a1=1+q+qn-2(n2).1+ (q1)n (q=1). 上式对n=
9、1显然成立.,所以当n2时, an=,(3)由(2)知，当q=1时，显然a3不是a6与a9的等差中项，故q1. 由a3-a6=a9-a3，可得q5-q2=q2-q8, 由q0，得q3-1=1-q6, 整理得(q3)2+q3-2=0,解得q3=-2或q3=1(舍去). 于是q=- . 另一方面,an-an+3= = (q3-1), an+6-an= = (1-q6). 由可得an-an+3=an+6-an(nN*). 所以对任意的nN*,an是an+3与an+6的等差中项.,3,课堂互动讲练,(2009年高考全国卷)设数列an的前n项和为Sn，已知a11，Sn14an2. (1)设bnan12a
10、n，证明数列bn是等比数列； (2)求数列an的通项公式,【思路点拨】 由已知条件，用an1，an表示出bn1，bn，从而可以得出证明 【解】 (1)证明：由已知有a1a24a12， 解得a23a125， 故b1a22a13. 又an2Sn2Sn1 4an12(4an2)4an14an， 于是an22an12(an12an)， 即bn12bn. 因此数列bn是首项为3，公比为2的等比数列，,课堂互动讲练,证明一个数列是等比数列的主要方法有两种：一是利用等比数列的定义，即证明即证明an12anan20(nN*)在解题中，要注意根据欲证明的问题，对给出的条件式进行合理地变形整理，构造出符合等比数列
11、定义式的形式，从而证明结论,课堂互动讲练,课堂互动讲练,(2009年高考全国卷)设数列an的前n项和为Sn，已知a11，Sn14an2. (1)设bnan12an，证明数列bn是等比数列； (2)求数列an的通项公式,【思路点拨】 由已知条件，用an1，an表示出bn1，bn，从而可以得出证明 【解】 (1)证明：由已知有a1a24a12， 解得a23a125， 故b1a22a13. 又an2Sn2Sn1 4an12(4an2)4an14an， 于是an22an12(an12an)， 即bn12bn. 因此数列bn是首项为3，公比为2的等比数列，,课堂互动讲练,(2)由(1)知等比数列bn中b
12、13，公比q2， 所以an12an32n1，,课堂互动讲练,等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)所求问题可迎刃而解解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式，并灵活运用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算的过程,课堂互动讲练,(2)等比数列的单调性 若a10，q1或a10,0q1，则数列an是递增数列 若a10,0q1或a10，q1，则数列an是递减数列 若q1，则数列an是常数列 若q0，则数列an是摆动数列且各项的正负号间隔,规律方法总结,分组转化求和就是从通项入手，若无通项，则先求通
13、项，然后通过对通项变形，转化为等差或等比或可求数列前n项和的数列来求之,课堂互动讲练,【规律小结】 分组转化求和常见类型及方法 (1)anknb，利用等差数列前n项和公式直接求解； (2)anaqn1，利用等比数列前n项和公式直接求解； (3)anbncn，数列bn，cn是等比数列或等差数列，采用分组求和法求an的前n项和 提醒：应用等比数列前n项和公式时，要注意公比q的取值,课堂互动讲练,课堂互动讲练,互动探究,课堂互动讲练,课堂互动讲练,1利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,1如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法 2用乘公比错位相减法求和时，应注意,课堂互动讲练,(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式,课堂互动讲练,对于由递推关系给出的数列，常借助于Sn1Snan1转换为an与an1的关系式或Sn与Sn1的关系式，进而求出an或Sn使问题得以解决,课堂互动讲练,
