1、微积分,第二版 朱来义 编著高等教育出版社, 课程 名称：微积分 学分：3 性质：基础课程 2. 教师 教师： 毛瑞华 电话： 85413996 QQ: 459519390 QQ群：13606494 E-mail: 公用邮箱: 公用邮箱密码: 123456,3 参考资料,(1) 朱来义 主编, 微积分典型例题分析与习题，高等教育出版社。 (2) 同济大学应用数学系 主编, 高等数学(第五版).高等教育出版社。 (3) 同济大学应用数学系 主编, 高等数学习题全解指南(第五版), 高等教育出版社。 (4) 赵树嫄 编 微积分,中国人民大学出版社。,1.1 预备知识,一、实数与数轴,二、实数的
2、绝对值及其基本性质,三、区间与邻域,有理数和无理数统称为实数.,全体实数所组成的集合称为实数系.,数轴是一条有原点、正方向和长度单位的直线.,一一对应,一、实数与数轴,二、实数的绝对值及其基本性质,定义1.1,绝对值有以下一些基本性质：,性质4 证明：,性质5 证明：,由性质4 可得,因此,这等价于,即,从而证得,即,三、区间与邻域,常用数集的表示法:,自然数的集,整数集,有理数集,实数集,区间的表示及含：,端点为无限的区间表示及其含义：,邻域的概念,例,解,1.2 函数概念,一、变量与函数,二、函数的表示法,三、函数定义域,一、变量与函数,在某一变化过程中始终保持不变的量称为常量,在某一过程
3、中不断变化的量称为变量.,例如，,自由落体运动,复利问题,圆的面积,变量的取值范围称为该变量的变域,变量的变域是区间，称这种变量为连续取值变量，,变量的变域不是区间，称这种变量为离散取值变量.,定义1.2,两个函数相同：定义域和对应法则都相同,二、函数的表示法,函数的表示法：,例1,表格法、图示法和解析法.,例2,例3,解,有些函数在它的定义域的不同部分,其表达式不同，亦即用多个解析式表示函数，这类函数称为分段函数.,例如，绝对值函数,例如,注意,1. 分段函数的定义域是其各段定义域的并集；,2. 分段函数在其整个定义域上是一个函数，而不是几个函数.,三、函数定义域,定义域是使函数表达式有意义
4、的自变量取值的全体,由解析式表示的函数的定义域称为函数的自然定义域,常用函数表达式有意义的条件：,负数不能开偶次方根，,分式的分母不能为零，,对数的真数必须为正数，等等,例4,解,例5,解,注意,1.3 函数的几何特征,一、单调性,二、有界性,三、奇偶性,四、周期性,定义1.3,一、单调性,例1,解,例2,二、有界性,定义1.4,定义1.5,反之，既有上界又有下界的函数必是有界函数.,注意,几何特征,定义1.6,三、奇偶性,奇函数,偶函数,几何特征,例3,解,定义1.7,四、周期性,1.4 反函数,定义1.8,求反函数的过程,几何特征,例1,注意,例2,解之得,解,整理得,于是,故所求反函数为
5、,1.5 复合函数,定义1.9,例1,解,于是,所以,注意,可以由多个函数复合构成复合函数.,例2,解,例3,解,即,于是,1.6 初等函数,一、基本初等函数,二、初等函数,三、隐函数,一、基本初等函数,基本初等函数 常数函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数,1常数函数,一、基本初等函数,常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数称为基本初等函数.,2幂函数,特征：,3指数函数,4对数函数,5三角函数,正弦函数,余弦函数,正切函数,余切函数,正割函数,余割函数,6反三角函数,二、 初等函数,由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合，并且在其定义域内具有统一
6、的解析表达式，这样的函数统称为初等函数.,都是初等函数,所以幂指函数也是初等函数,三、隐函数,解方程得,解方程得,注意,并不是任一方程都能确定隐函数,不能确定隐函数,1.7 简单函数关系的建立,一、简单函数关系的建立,二、经济学中常见的函数关系,一、简单函数关系的建立,例1,解,例2,解,因此总收入为,二、经济学中常见的函数关系,1.总成本函数、总收入函数和总利润函数,生产和经营活动中，人们所关心的问题是产品的成本、销售收入（又称为收益）和利润,产品的成本就是生产产品的总投入，它包括固定成本（又称为不变成本）和可变成本,销售收入是指产品出售后所得的收入，而利润就是收入扣去成本后的余额,例3,解,2.需求函数与供给函数,例4,解,设该产品的线性需求函数为,
