1、北京理工大学理学院力学系 韩斌,( 10-2),42/III,工程力学A（下）,2,21.4 动静法及应用,（1）根据所求,明确研究对象,取分离体；,（2）受力分析,画出各分离体上所有主动力和约束力；,（3）正确画出达朗贝尔惯性力系的等效力系；,（4）根据刚化公理,把研究对象刚化在该瞬时位置上；,（5）应用静力学平衡条件列出研究对象在此位置上的动态“平衡”方程（动态的含义是因为这些方程实质上是含运动学特征量如加速度,角加速度的动力学方程）；,（6）解“平衡”方程。,用动静法求解系统的动力学问题的一般步骤(类比于刚体系统静力学问题)：,利用达朗贝尔原理,按照静力学平衡问题的求解方法求解动力学问题
2、动静法。,动静法适于动力学中求加速度,角加速度及约束力的问题,3,例 题 21-2,21 达朗贝尔原理, 例题,OA杆长 l ，质量为 m ，AB为一刚度系数为 k 的弹簧，系统从图示初始位置由静止进入运动，设初始位置弹簧的伸长量为 l ，不计弹簧的质量和各处的摩擦，求杆OA转至水平位置的瞬时，杆OA的角速度、角加速度及O处的约束力。,4,例 题 21-2,21 达朗贝尔原理, 例题,OA杆长 l ，质量为 m ，AB为一刚度系数为 k 的弹簧，系统从图示初始位置由静止进入运动，设初始位置弹簧的伸长量为 l ，不计弹簧的质量和各处的摩擦，求杆OA转至水平位置的瞬时，杆OA的角速度、角加速度及O
3、处的约束力。,解：,机械能守恒：,系统仅重力、弹性力作功，,取O点为重力势能零点，弹簧原始长度为弹性势能零点。,初始：,5,例 题 21-2,21 达朗贝尔原理, 例题,杆OA定轴转动，设杆 转到水平时角速度为 ，则：,初始：,OA杆长 l ，质量为 m ，AB为一刚度系数为 k 的弹簧，系统从图示初始位置由静止进入运动，设初始位置弹簧的伸长量为 l ，不计弹簧的质量和各处的摩擦，求杆OA转至水平位置的瞬时，杆OA的角速度、角加速度及O处的约束力。,6,例 题 21-2,21 达朗贝尔原理, 例题,代入机械能守恒式中，得：,(),设杆水平时的角加速度为,杆OA此瞬时的达朗贝尔惯性力向质心C简化
4、：,7,例 题 21-2,21 达朗贝尔原理, 例题,取杆OA为分离体，画出受力图,对杆OA,其中弹簧力,8,例 题 21-2,21 达朗贝尔原理, 例题,其中弹簧力,对杆OA,9,例 题 21-2,21 达朗贝尔原理, 例题,其中弹簧力,负号表示(),(),对OA列x，y方向的平衡方程：,10,例 题 21-3,21 达朗贝尔原理, 例题,杆AB长 l ，质量为m，圆轮半径为r，质量为m，地面光滑，杆AB从水平位置无初速释放，且圆轮始终与地面接触, 求杆AB运动到铅垂位置时:（1）A点的速度和AB杆的角速度;（2）A点的加速度和AB杆的角加速度;（3）地面对圆轮的支持力。,求解时仍首先考虑各
5、守恒律 (机械能,动量,动量矩是否满足守恒条件),11,例 题 21-3,21 达朗贝尔原理, 例题,解：,画出整体受力图和圆轮的受力图,分析圆轮的受力,圆轮外力均过轮质心A,故圆轮对质心动量矩守恒：,圆轮为平动!,（2）当AB杆运动到铅垂时，,设杆的角速度为 ，圆轮A点的速度为 ，,由C，A两点速度关系,12,例 题 21-3,21 达朗贝尔原理, 例题,由C，A两点速度关系,系统整体仅受铅垂方向外力，故水平方向动量守恒：,13,例 题 21-3,21 达朗贝尔原理, 例题,(3)系统仅受重力，机械能守恒,设点A处为势能零点，则：,初始位置：,杆铅垂位置：,14,例 题 21-3,21 达朗
6、贝尔原理, 例题,初始位置：,杆铅垂位置：,(),15,例 题 21-3,21 达朗贝尔原理, 例题,(4) 取整体为对象画出受力图：,由两点加速度关系：,在x，y方向投影：,杆,轮的惯性力简化结果：,16,例 题 21-3,21 达朗贝尔原理, 例题,(5) 对整体列达朗贝尔平衡方程：,(),(3),17,例 题 21-4,21 达朗贝尔原理, 例题,质量m，长度 l 的两相同均质细杆AB，BD在B处光滑铰接，A端用光滑铰链固定，D端放于光滑水平地面上，在图示位置（A，D为铅垂线）系统无初速释放，求释放的瞬时两杆的角加速度及水平地面对杆BD的约束力。,18,例 题 21-4,21 达朗贝尔原
7、理, 例题,解：,释放瞬时两杆角速度均为0，,设此时两杆角加速度分为 (),设AB质心为C：,BD质心为E，由B，D两点加速度关系：,由B，E两点加速度关系：,上式在y方向投影：,杆AB定轴转动，杆BD一般平面运动，,19,例 题 21-4,21 达朗贝尔原理, 例题,以整体为对象画受力图：,惯性力简化结果为：,AB杆:,BD杆:,即:,20,例 题 21-4,21 达朗贝尔原理, 例题,对整体列达朗贝尔平衡方程：,21,例 题 21-4,21 达朗贝尔原理, 例题,对BD杆取分离体,列达朗贝尔平衡方程：,22,例 题 21-5,21 达朗贝尔原理, 例题,23,若系统在铅垂面内匀角速度转动，
8、主动力偶M(t)应随时间变化。,例 题 21-5,21 达朗贝尔原理, 例题,当销钉B突然拔去后的瞬间，主动力偶和两刚体的角速度都与拔去前的瞬间相同，但两刚体均有角加速度。,（1）在未拔销钉B时求M(t),在拔去销钉B前的瞬间，整体为定轴转动，画出整体受力图。,由达朗贝尔原理列平衡方程：,建立坐标系Oxy，,24,例 题 21-5,21 达朗贝尔原理, 例题,(2)拔去销钉B后的瞬间,(轮仍定轴转动,杆一般平面运动):,设圆盘和杆的角加速度分别为 ， ，转向均为顺时针。,先取整体为研究对象，画出受力图，将此瞬时达朗贝尔惯性力系向各刚体质心简化。,为求杆质心C的加速度，由A，C两点加速度关系：,
9、？,(1),25,例 题 21-5,21 达朗贝尔原理, 例题,达朗贝尔惯性力的简化结果为：,杆AD的惯性力：,轮O的惯性力：,(1),26,例 题 21-5,21 达朗贝尔原理, 例题,由达朗贝尔原理列整体平衡方程(3个独立方程)：,(2),(3),(4),(1),27,例 题 21-5,21 达朗贝尔原理, 例题,(1),再取杆AD为研究对象，画受力图，,由达朗贝尔原理列平衡方程：,(5),联立(2)-(5)，得：,3个方程， 4个未知量,28,21.5 定轴转动刚体的轴承附加动约束力,用动静法求刚体以匀角速度定轴转动时的轴承动约束力；建立动坐标系 与刚体固结。将此定轴转动刚体的惯性力系向
10、A点简化：,注意,工程实际中高速运转的机械,在轴承处除有主动力 引起的约束反力外，由于刚体质量分布不均衡，还可因转动引起附加动约束力。,29,达朗贝尔惯性力系简化结果,列达朗贝尔平衡方程可求出轴承支座A,B处的约束力：,30,该动约束力为周期变化的,引起轴承和基座的强烈振动，造成疲劳破坏和噪声污染。,消除动约束力的根本方法：,刚体的转轴必须通过其质心 转轴必须是刚体的惯量主轴,静平衡调整,动平衡调整,31,22 变形固体的动力失效问题,22 .1 概述,构件所受载 荷的分类：,(1)构件运动（有加速度）(2)载荷随时间变化,从零缓慢增至终值,胡克定律仍成立，弹性模量 E 也基本不变,32,构件
11、运动(有加速度),特别注意：构件在动载荷下的内力、应力、变形均不同于静载荷下的内力、应力、变形 原因：冲击载荷的时间效应周期载荷的载荷作用积累效应等。,相同点：线弹性、小变形假设和材料常数(弹性模量、 切变模量、泊松比、屈服极限、强度极限等)不变。,33,22 .2 惯性力问题,构件作有加速度的运动时，,根据21达朗贝尔原理，在构件上加上相应惯性力在形式上可转化为静力学问题求解。,构件作有加速度的运动时的强度、刚度、稳定性,按变形体静力学 的相应问题求解,工程中常见例子：,构件作匀加速（匀减速）直线运动,：吊车起吊重物,构件作匀速转动,构件作匀加速（匀减速）转动：,：传动轴飞轮,传动轴正常的启
12、动和刹车,34,均质杆OA质量m，长 l ，由铅垂位置受扰动倒下。试求杆中的动弯矩分布，最大动弯矩及位置。,例 题 22-1,22 变形固体的动力失效问题, 例题,解：,以A为原点，沿杆轴方向任一部位B处切开，以AB为研究对象。截面B上的内力为动轴力 ,动剪力 ，动弯矩,35,例 题 22-4,22 变形固体的动力失效问题, 例题,1求,对杆OA：,画出受力图,对OA：,OA杆的惯性力系向O点简化:,36,例 题 22-4,22 变形固体的动力失效问题, 例题,2.列B截面的内力方程,对AB部分：,37,例 题 22-4,22 变形固体的动力失效问题, 例题,3.求动弯矩最大的危险截面,令,得
13、：,即危险截面距O点 处,38,例 题 22-4,22 变形固体的动力失效问题, 例题,危险截面距O点 处,讨论：用定向爆破法拆除旧烟囱，在根部定向爆破后，根部开始断裂，烟囱倒下。当倾斜角度 增大时，烟囱横截面上的弯矩也增大。当弯矩 最大值所在截面（距根部 处）的最大拉应力达到强度极限时（砖石结构），烟囱就产生第二次断裂。第二次断裂由惯性力引起。断裂从面向地面一侧开始。（若静载应在背向地面一侧有最大拉应力）。,39,例 题 22-4,22 变形固体的动力失效问题, 例题,危险截面距O点 处,40,例 题 22-5,22 变形固体的动力失效问题, 例题,传动轴的正常刹车：,传动轴上的飞轮转动惯量
14、很大，A端有一刹车离合器，轴的转速为n转/分，轴的直径为d，剪切弹性模量为G，刹车时，A端施加一与轴的转动方向相反的常阻力偶，使飞轮在 的时间间隔内完全停止转动。求刹车时轴中的动应力。,41,例 题 22-5,22 变形固体的动力失效问题, 例题,解：,A端刹车时施加一与 方向相反的阻力偶矩 ，飞轮和传动轴匀减速，角加速度为 ：,(负号表示与角速度方向相反),惯性力偶矩,对系统：,对轴的任意横截面，扭矩为：,故轴内最大动应力：,42,例 题 22-5,22 变形固体的动力失效问题, 例题,故轴内最大动应力：,因此：飞轮的转动惯量越大，刹车时间越短，轴内的动应力就越大。,所以，高速传动轴都规定了严格的刹车时间。,若规定刹车时间 :,
