1、电 磁 学,第11章 电磁感应,第9章 静电场,第12章 电磁场和电磁波,第10章 稳恒磁场,第9章 静电场和稳恒电场,9.1 电场 电场强度,9.2 电通量 高斯定理,9.3 电场力的功 电势,9.4 场强与电势的关系,9.8 电场的能量,9.5 静电场中的导体,9.6 静电场中的电介质,9.7 电容电容器,9.1.1电荷,1. 正负性,2. 量子性,3. 守恒性,在一个孤立系统中总电荷量是不变的。即在任何时刻系统中的正电荷与负电荷的代数和保持不变。,4. 相对论不变性,电荷的电量与它的运动状态无关。,电荷守恒定律,9.1 电场 电场强度,9.1.2库仑定律,在真空中， 两个静止点电荷之间的
2、相互作用力大小，与它们的电量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比；作用力的方向沿着它们的联线，同号电荷相斥，异号电荷相吸。,当带电体的大小、形状与带电体间的距离相比可以忽略时，就可把带电体视为一个带电的几何点。,1. 点电荷,2. 库仑定律,3. 关于k 的取值一般情况下根据单位制来处理k的取值问题：,库仑定律中的k有两种取法 第一种 国际单位制中,第二种 高斯制中令 K = 1 库仑定律的形式简单,4. SI中库仑定律的常用形式,令,真空中的介电常数或真空电容率,(1) 库仑定律适用于真空中的点电荷；,(2) 库仑力满足牛顿第三定律；,(3) 一般,作用于某电荷上的总静电力等于其他点电荷
3、单独存在时作用于该电荷的静电力的矢量和。,电荷连续分布的带电体：,5. 静电力的叠加原理,一、电场二、电场强度三、电场强度的计算,9.1.3 电场 电场强度,后来: 法拉第提出近距作用并提出力线和场的概念,一、电场 (electric field) 电荷周围存在电场 电场的宏观表现：对放其内的任何电荷都有作用力电场力对移动电荷作功,（电场强度） （电势）,早期：电磁理论是超距作用理论,电荷,电荷,电场,二、电场强度,电量为Q的带电体在空间产生电场。,电场强度：描述场中各点电场强弱的物理量,P点：试验电荷,试验电荷受力为,带电量足够小,点电荷,试验表明：确定点 比值,与试验电荷无关,为什么试验电
4、荷必须电量充分地小？线度足够地小？,=,1),2) 矢量场 3) SI中单位,4) 点电荷在外场中受的电场力,或,一般带电体在外场中受力,电场中某点的电场强度的大小等于单位电荷在该点受力的大小，其方向为正电荷在该点受力的方向。,定义：,9.1.4 场强叠加原理,1. 点电荷Q的场强公式,1) 球对称,2)场强方向：正试验电荷受力方向,2. 场强叠加原理,1）点电荷系,任意带电体的场强,点电荷系在某点P 产生的电场强度等于各点电荷单独在该 点产生的电场强度的矢量和。这称为电场强度叠加原理。,2）带电体电荷连续分布 (如图),把带电体看做是由许多个电荷元组成,P, : 线密度, : 面密度, :
5、体密度,线分布,面分布,体分布,Q,求电偶极子在延长线上和中垂线上一点产生的电场强度。,解,例1,令：电偶极矩,P,r,在中垂线上,P,它在空间一点P产生的电场强度（P点到杆的垂直距离为a),解,dq,r,由图上的几何关系,2,1,例2,长为L的均匀带电直杆，电荷线密度为,求,(1) a L 杆可以看成点电荷,讨论,(2) 无限长直导线,电荷线密度为,求：如图所示 点的电场强度,解：在坐标 x 处取一小段线元dx,该点电荷在 p 点的场强方向如图所示 大小为, 各电荷元在 p 点的场强方向一致 场强大小直接相加,例3 长为 均匀带电直线，,圆环轴线上任一点P 的电场强度。,R,P,解,dq,r
6、,例4,半径为R 的均匀带电细圆环，带电量为q。,求,圆环上电荷分布关于x 轴对称,(1) 当 x = 0（即P点在圆环中心处）时，,(2) 当 xR 时,讨论1,相当一个点电荷q所产生的电场,r,R,P,推广：面密度为 的圆板在轴线上任一点的电场强度,讨论2,(2) 均匀无限大平板,p,(1) 带圆孔的均匀无限大平板,（R2）,（R1=0，R2）,例5,解,相对于O点的力矩,(1),力偶矩最大；,力偶矩为零,(电偶极子处于稳定平衡)；,(2),(3),力偶矩为零,(电偶极子处于非稳定平衡)。,求电偶极子在均匀电场中受到的力偶矩。,讨论,一、电场线二、电通量三、静电场的高斯定理四、高斯定理在解
7、场方面的应用,9.2 电通量 高斯定理,9.2.1 电场线（电力线）,定义：在电场中描绘一系列的曲线，使曲线上每一点的切线方向都与该点处场强 的方向一致，这些曲线称为电场线。,规定：使穿过垂直于场强方向的面元 的电场线条数 与该面元的比值 （即电场线密度），与该面元上的场强大小成正比。,电场线的疏密程度表示场强大小的分布，其上任一点的切线方向就是该点处的场强方向。,电场线上每一点的切线方向反映该点的场强方向 ,电场线的疏密反映场强大小。,(1) 由正电荷指向负电荷或无穷远处。,(2) 反映电场强度的分布。,(3) 电场线是非闭合曲线。,(4) 电场线不相交。,静电场中的电场线性质：,En,8.
8、2.2 电通量,在电场中穿过任意曲面S 的电场线条数称为穿过该面的电通量。,1. 均匀场中,定义,En,即场强的大小 与 在垂直于场强方向上的投影面积 的乘积，就是面元 的电通量。,2. 非均匀场中,称为通过该面积的电通量。,对闭合曲面,几何含义：通过闭合曲面的电场线的净条数。,非闭合曲面,凸为正，凹为负,闭合曲面,向外为正，向内为负,(2) 电通量是代数量,为正,为负,方向的规定：,(1),讨论,电场线穿入 电场线穿出,9.2.3静电场的高斯定理 1. 表述在真空中的静电场内，任一闭合面的电通量 等于这闭合面所包围的电量的代数和除以0，即,如图所示。在S上取面元dS ，其法线n0与面元处的场
9、强E的方向相同。所以通过dS的电通量,通过整个闭合球面S的电通量,高斯定理的简单证明：（以点电荷电场为例。）,1）闭合球面S：以点电荷为中心，取任意长度r为半径作闭合球面S包围点电荷,从 q 发出的电力线穿出球面,因为只有与S 相切的锥体内的电力线才通过S，但每一条电力线一进一出闭合曲面、正负通量相互抵消，如下图。,2）任意闭合曲面S：,在该曲面外作一个以点电荷q为中心的球面S,3）曲面S不包围q,由于电力线的连续性、同前例,场电荷仍是点电荷，但高斯面不包围电荷，通量为零,当存在多个电荷时：,（内部电荷）,（外部电荷）,通过高斯球面的电通量,等于高斯面内电量代数和除以0,当连续分布的源电荷,真
10、空中的任何静电场中，穿过任一闭合曲面的电通量，在数值上等于该曲面内包围的电量的代数和乘以 。,1)闭合面内、外电荷,3)是静电场性质的基本方程,4)源于库仑定律 高于库仑定律,2） 对电通量,的贡献有差别,只有闭合面内的电量对电通量有贡献,有源场,四、高斯定理在解场方面的应用,常见的电量分布的对称性： 球对称 柱对称 面对称,均匀带电,球体 球面 球壳 (点电荷),无限长的： 柱体 柱面 带电线,无限大的： 厚平板 平面,对电量的分布具有某种对称性的情况下,举例目的： 1)清晰用高斯定理解题的步骤 2)通过解题明确用高斯定理解题的条件 3)简单的解作为基本结论记住并且能熟练使用。,例1 求均匀
11、带正电球壳内外的场强分布。设球壳半径为 ，带电荷总量为 。,根据电荷分布的对称性 选取合适的高斯面(闭合面),取过场点P的以球心 O 为心的球面。,取过场点 P 的同心球面为高斯面,1) 对球面外一点P :,根据高斯定理,2) 对球面内一点:,E = 0,电场分布曲线,例2,已知球体半径为R，带电量为q（电荷体密度为）。,解,球外,均匀带电球体的电场强度分布,求,R,r,r,球内( ),电场分布曲线,R,例3 均匀带电的无限长的直线,线密度,求其场强分布.,无限长均匀带电圆柱面的电场（设电荷线密度为）,同前分析可知，柱面内各点E内=0，电场以中心轴线为对称。,横截面上的电场分布,设P为柱面外之
12、一点，过P作与带电柱面同轴的柱形高斯面，则高斯面的侧面S上的各点E值相同，而上、下两底E的方向与S1、 S3的法线方向垂直，所以通过该高斯面的电通量为：,可见，无限长均匀带电圆柱面外各点的电场，等同于将全部电荷集中在轴线上的无限长直带电线的电场。,解,电场强度分布具有面对称性 。,选取一个圆柱形高斯面,已知“无限大”均匀带电平面上电荷面密度为,电场强度分布。,求,例4,根据高斯定理有,* 带等量异号电荷的两块无限大均匀带电平面的电场分布：,由图可知：,9.3.1 电场力的功,移动试验电荷q0 ，,电场力做功：,P2,P1,L,q0,O, 对点电荷：,9.3 电场力的功 电势, 只与P1、P2位
13、置有关，而与路径L无关。, 对点电荷系：,P2,P1,L,q0,O,电场力作功只与始末位置有关，与路径无关，所以静电力是保守力，静电场是保守力场。,9.3.2 静电场的环流定理,P2,P1,静电场的环路定理,静电场的环路定理,称为静电场的“环流”（circulation）。,静电场的环路定理说明静电场为保守场,静电场是无旋场,(1) 环路定理是静电场的另一重要定理，可用环路定理检验一个电场是不是静电场。,(2) 环路定理要求电力线不能闭合。,(3) 静电场是有源、无旋场，可引进电势能。,不是静电场,电场线平行但不均匀分布是否可能？,思考,9.3.3 电势能,、电势能,选q0在电场中a点的电势能
14、为Wa ；b处的电势能为Wb,选b处的电势能为零,静电场是保守场，可引进电势能的概念。,2、电势能的性质,1）电势能是系统所共有，故又称相互作用能。,2） 电势能是一个相对量。,对于有限大小带电体，通常定义W0，这时电场中某点电势能为,即电荷在电场中某点所具有的电势能等于将电荷从该处移至无穷远处的过程中，电场力做的功。,电荷在电场中某点所具有的电势能等于将电荷从该(a)处移至电势能为零的参考点(b)的过程中电场力做的功。,一、电势差（electric potential difference）,定义P1对P2的电势差：,U12为移动单位正电荷由P1P2电场力做的功。,与积分路径无关，可引入电势
15、差的概念。,9.3.4 电势 电势差,二、电势（electric potential）,设P0为电势参考点，即U0 = 0，,P1处电势为：,表明 P0点的不同选择，不影响电势差。,则任一点,则任意两点 间的电势差,理论中：对有限电荷分布，选,对无限大电荷分布，选有限区域中,的某适当点为电势零点。,实际中：选大地或机壳、公共线为电势零点。,1）点电荷,利用电势定义可以求得如下结果：,2）均匀带电球壳,例 半径为R ，带电量为q 的均匀带电球面。,解,根据高斯定律可得,求,带电球体的电势分布,对球外一点P,对球内一点P1,E = 0,例 半径为R ，带电量为q 的均匀带电球体。,解,根据高斯定律
16、可得,求,带电球体的电势分布,对球外一点P,对球内一点P1,例 无限长均匀带电直线,选 处电势为0,路径是沿着电场线积分,对n 个点电荷,注意：电势零点P0必须是共同的。,一、 点电荷系的电势,9.3.5 电势叠加原理,推广到N个离散带电体的电势,三、 电势的计算,方法,(1) 已知电荷分布,(2) 已知场强分布,二、 连续分布的带电体的电势,带电体的电荷元,在点电荷系产生的电场中，某点的电势是各点电荷单独存在时在该点产生的电势的代数和。这称为电势叠加原理。,均匀带电圆环半径为R，电荷线密度为。,解,建立如图坐标系，选取电荷元 dq,例,圆环轴线上一点的电势,求,9.4.1 等势面,电场中电势
17、相等的点连成的面称为等势面。,点电荷,电偶极子,电场线,等势面,电场线,等势面,9.4 场强与电势的关系,等势面的性质,(1) 电场线与等势面处处正交。,沿等势面移动电荷时，电场力所作的功为零。,(2) 规定相邻两等势面间的电势差都相同,等势面密,大,等势面疏,小,(3) 电场强度的方向总是指向电势降落的方向。,带电平板电容器内部,示波管内部的电场,电场线,等势面,电场线,等势面,9.4.2 场强与电势梯度的关系,场强与电势的微分关系：,U+dU,U, U 的方向导数,U,U+dU,数学上，若某一标量函数对某一方向有最大变化率（方向导数最大），则定义此方向上的导数为该标量函数的梯度（ gradient）。,电势梯度：,在直角坐标中：,例1 从点电荷的电势表达式 求 点电荷的场强。,解,例2 求距离电偶极子远处的电势分布。已知电偶极子两电荷 和 之间的距离为 。,例,求,(2，3，0) 点的电场强度。,已知,解,真空中静电场小结提纲,一、线索（基本定律、定理）,还有电荷守恒定律，它时刻都起作用。,从受力的角度描述,从功能的角度描述,定量描述,形象描述,二、基本物理量之间的关系,三、求场的方法,四、几种典型电荷分布的场强和电势,点电荷；,均匀带电长圆筒。,均匀带电长直线；,均匀带电大平板；,均匀带电薄球壳；均匀带电球体；,（自己总结）,
