1、2.2 初等函数,2.2.1 指数函数,2.2.0 整幂函数,2.2.3 双曲函数,2.2.4 小结与思考,2.2.2 三角函数,2,2.2.0 (整)幂函数,Def：称,为幂函数,性质,(1). z=xR时,zn=xn,(2). 令z=rei=r(cos +isin ),zn= rnein=rn(cos(n) +isin(n) ),3,这里的ex是实指数函数,2.2.1指数函数,1.指数函数的定义:,定义2.4 对于任何复数z=x+iy,规定,实的正 余弦函数,4,2 指数函数的性质,复指数函数与实指数函数保持一致.,(4). 加法定理,(5) ez是以2 i为基本周期的周期函数,5,(1)
2、 证明加法定理,证,几点说明：,加法定理不能利用实数中的同底数幂的乘法法则予以证明,6,因为：当z沿实轴趋于+时ez;当z沿实轴趋于-时, ez0.,2 i是ez的周期,2 i是ez的基本周期,7,例1,解,8,例2,解,求出下列复数的辐角主值:,9,10,11,例3,解,12,2.2.3 三角函数,1. 三角正弦与余弦函数,将两式相加与相减, 得,现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变数取复值的情况.,13,定义2.5,对任意的复数z,规定z的,性质:,(2) 正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数.,14,遵循通常的三角恒等式，如,15,16,例9,解,17,(注意：这是与实变函数完全
3、不同的),sinz的零点(i.e. sinz=0的根)为z=n,cosz的零点(i.e. cosz=0的根)为z=(n+1/2),n=0,1, 2,n,(5),(6),18,2. 其他复变数三角函数的定义,1.都是相应实函数的推广 2.定义域：tanz,secz的定义域为z(k+1/2)cotz,cscz的定义域为zk,3.它们都在自己的定义域内解析。(tanz)=sec2z, (cotz)=-csc2z (secz)=tanzsecz (cscz)=-cotzcscz,4. tanz cotz的周期是 secz cscz的周期是2,5 secz是偶函数 tanz cotz, cscz是奇函数
4、,19,例10,解,20,例11,解,21,例12,解,22,23,1. 双曲函数的定义,2.2.4 双曲函数,2. 双曲函数的性质,24,它们的导数分别为,并有如下公式:,它们都是以 为周期的周期函数,25,例13,解,26,2.2.5 小结与思考,复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的自然推广, 它既保持了后者的某些基本性质, 又有一些与后者不同的特性. 如:,1. 指数函数具有周期性,2. 三角正弦与余弦不再具有有界性,3. 双曲正弦与余弦都是周期函数,27,思考题,实变三角函数与复变三角函数在性质上有哪些异同?,28,思考题答案,两者在函数的奇偶性、周期性、可导性上是类似的, 而且导数的形式、加法定理、正余弦函数的平方和等公式也有相同的形式.,最大的区别是, 实变三角函数中, 正余弦函数都是有界函数, 但在复变三角函数中,放映结束，按Esc退出.,
