1、,结构动力学,2007.8,structural dynamics,2.单自由度体系的振动分析,2.1 不计阻尼自由振动,自由振动-由初位移、初速度引起的,在振动中无动荷载作用的振动。,分析自由振动的目的-确定体系的动力特性：频率、周期。,一.运动方程及其解,阻尼-耗散能量的作用。,m,令,二阶线性齐次常微分方程,其通解为,由初始条件,可得,令,其中,二.振动分析,单自由度体系不计阻尼时的自由振动是简谐振动.,自振周期,自振园频率(自振频率),三.自振频率和周期的计算,1.计算方法,(1)利用计算公式,(2)利用机械能守恒,(3)利用振动规律,位移与惯性力同频同步.,幅值方程,其中是沿质点振动
2、方向的结构柔度系数，它表示在质 点上沿振动方向加单位荷载使质点沿振动方向所产生的位移。k使质点沿振动方向发生单位位移时，须在质点上沿振动方向施加的力。st=W在质点上沿振动方向施加数值为W的荷载时质 点沿振动方向所产生的位移。 计算时可根据体系的具体情况，视、 k、 st 三参数中哪一个最便于计算来选用。,自振周期计算公式：,频率计算公式：,一些重要性质： （1）自振周期与且只与结构的质量和结构的刚度有关，与外界的干扰因素无关。干扰力只影响振幅a。 （2）自振周期与质量的平方根成正比，质量越大，周期越大（频率越小）；自振周期与刚度的平方根成反比，刚度越大，周期越小（频率越大）；要改变结构的自振
3、周期，只有从改变结构的质量或刚度着手。 （3）两个外形相似的结构，如果周期相差悬殊，则动力性能相差很大。反之，两个外形看来并不相同的结构，如果其自振周期相近，则在动荷载作用下的动力性能基本一致。,三.自振频率和周期的计算,2.算例,例一.求图示体系的自振频率和周期.,解:,例二.求图示体系的自振频率和周期.,解:,例三.质点重W,求体系的频率和周期.,解:,例四.求图示体系的自振频率和周期.,解:,1.能量法,2.列幅值方程,A,求图示体系的频率,解：单自由度体系,例：图a所示结构频率为i，求图b所示结构频率。,解：图b体系为并联弹簧，其刚度系数k等于各弹簧刚度系数ki之和.,k=k1+k2+
4、k3,例：图a 所示结构周期为Ti，求 图b所示体系周期。,解：图b体系为串联弹簧，其柔度（刚度系数k的倒数）等于各弹柔度i（簧刚度系数ki的倒数）之和。,例：图a所示体系中，已知横梁B端侧移刚度为k1，弹簧刚度为k2，求竖向振动频率。,解：体系可简化为图b所示的串联弹簧体系，竖向振动频率为,例、图示三根单跨梁，EI为常数，在梁中点有集中质量m， 不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。,解：1）求,3l/16,5l/32,l/2,据此可得：1 2 3= 1 1.512 2,结构约束越强,其刚度越大,刚度越大,其自振动频率也越大。,2.2 简谐荷载作用下的受迫振动(不计阻尼),一.运动方程及其解
5、,二阶线性非齐次常微分方程,受迫振动-动荷载引起的振动.,P -荷载幅值,-荷载频率,运动方程,或,通解,其中,设,代入方程,可得,通解为,二.纯受迫振动分析,-荷载幅值作为静荷载所引起的静位移,-动力系数,-稳态振幅,-频比,-共振,增函数,减函数,为避开共振 一般应大于1.25 或小于0.75.,共振区,若要使振幅降低,应采取何种措施?,通过改变频比可增加或减小振幅.,应使频比减小.,增加结构自频.,增加刚度、减小质量.,应使频比增大.,减小结构自频.,减小刚度、增大质量.,例1 求图示体系振幅和动弯矩幅值图，已知,三.动位移、动内力幅值计算,计算步骤:,1.计算荷载幅值作为静荷载所引起的
6、位移、内力；,2.计算动力系数；,3.将得到的位移、内力乘以动力系数即得动位移幅值、动内力幅值。,解.,例2 求图示梁中最大弯矩和跨中点最大位移已知:,解.,重力引起的弯矩,重力引起的位移,振幅,动弯矩幅值,跨中最大弯矩,跨中最大位移,当动荷载作用在单自由度体系的质点上时，由于体系上各截面的内力、位移都与质点处的位移成正比，故各截面的最大动内力和最大动位移可采用统一的动力系数，只需将干扰力幅值乘以动力系数按静力方法来计算即可。,动荷载不作用于质点时的计算,令,仍是位移动力系数,是内力动力系数吗?,运动方程,稳态解,振幅,列幅值方程求内力幅值,解:,例:求图示体系振幅、动弯矩幅值图.已知,动弯矩
7、幅值图,解:,例:求图示体系右端的质点振幅,o,例：图示梁跨中有一集中质量，不计 梁得质量，右端作用一力偶，试求B 点的最大动位移。,解：用柔度法求解,假设位移向下为正，列位移方程有：,分别作对应的弯矩图，求系数,将系数代入方程：,整理得：,其中,在平稳阶段，任一时刻B点的位移为：,B点的最大动位移为,作业:,一.阻尼与阻尼力,阻尼:使振动衰减的作用.,阻尼产生原因:,材料的内摩擦,连接点、支承面等处的外摩擦及介质阻力等.,c-阻尼系数,2.3 阻尼对振动的影响,阻尼力：,在振动分析当中用于代替阻尼作用的阻碍振动的力。,粘滞阻尼理论假定阻尼力的大小与速度成正比，方向与速度相反。,二.计阻尼自由
8、振动,1.运动方程及其解,令,运动方程,设,特征方程,根为,令,方程的通解为,由初始条件,不振动,-临界阻尼系数,-阻尼比,不振动,小阻尼情况,临界阻尼情况,超阻尼情况,2.振动分析,周期延长,计算频率和周期可不计阻尼,振动是衰减的,对数衰减率,利用此式,通过实验可确定 体系的阻尼比.上式也可写成,例: 对图示体系作自由振动试验.用钢丝绳将上端拉离平衡位置2cm,用力16.4kN,将绳突然切断,开始作自由振动.经4周期,用时2秒,振幅 降为1cm.求,1.阻尼比 2.刚度系数 3.无阻尼周期 4.重量 5.阻尼系数,6.若质量增加800kg体系 的周期和阻尼比为多少,解:,1.阻尼比,2.刚度
9、系数,3.无阻尼周期,4.重量,5.阻尼系数,6.若质量增加800kg,体系的周期和阻尼比为多少,三.计阻尼简谐荷载受迫振动,1.运动方程及其解,设,或,通解,初位移、初速度引起的自由振动分量,动荷载激起的按结构自振频率振动的分量,称为伴随自由振动,纯受迫振动,2.阻尼对振幅的影响,在平稳阶段,随 增大而减小,阻尼在共振区内影响显著, 在共振区外可不计阻尼.,的最大值并不发生在,位移滞后于荷载,3.动内力、动位移计算,除动力系数计算式不同外， 其它过程与无阻尼类似。,例.图示为块式基础.机器与基础的质量为 ;地基竖向刚度为 ;竖向振动时的阻尼比为 机器转速为N=800r/min,其偏心质量引起的离心力为P=30kN.求竖向振动时的振幅。,解：,将荷载看成是连续作用的一系 列冲量，求出每个冲量引起的 位移后将这些位移相加即为动 荷载引起的位移。,2.4 一般动荷载作用时的受迫振动分析,一.瞬时冲量的反应,1.t=0 时作用瞬时冲量,2. 时刻作用瞬时冲量,2.4 一般动荷载作用时的受迫振动分析,二.动荷载的位移反应,-杜哈美积分,计阻尼时,若t=0 时体系有初位移、初速度,例.求突加荷载作用下的位移，开始时静止，不计阻尼。,解：,动力系数为 2,作业,谢 谢 大 家,
