1、3.6 数列的综合问题课前回顾一、知识要点与能力要求1掌握解决数列与方程、函数、不等式、三角、解析几何等知识综合问题的解法2掌握数列模型应用题的解法二、要点梳理及基础解说数列的综合应用是每年高考的必考内容之一，高考对其考查主要有以下三个方面：（1）直接考查等差与等比数列的综合应用；（2）以数列为载体，考查与函数、不等式等有关知识的综合应用；（3）以数列为工具解决实际应用问题三、基础自测1 （2005 年辽宁）一给定函数 的图象在下列图中，并且对任意 ，由)(xfy(0,1)na关系式 得到的数列 满足 ，则该函数的图象是)(1nnafna*1()naN（） （） （） （）【解答】由 ， ，得
2、 ，即 ，故选 A )(1nnafn1naf)(xf)(2已知数列 的通项为 ,且 对所有正整数 均成立，则实011n数 的取值范围是（B）aA B C D(0,)e(,)2(,)e,)23如果函数 满足：对于任意的实数 ，都有 ，且 ，fxab、 ()(fabf(1)2f则 (2)5(9)14(274)13605ffff解析：由 ，得 ，且 ()()fabf()fafb(1)(2fnf (2)5(9)14(274)13605ffff11yxO 11yxO 11yxO 11yxO(1)2(3)4(9)fff 5024若一次函数 中 为不等于的常数，且1bxf 1,(0),(),1.ngnf设
3、，则数列 为（ B ）()(nagn*NnaA等差数列 B等比数列 C递增数列 D递减数列5方程 的根称为函数 的不动点若函数 有唯一不动xf)()(xf )2()xaf点，且 ， ， ，则 2005 10)1(nnxf,322016一个用十进制表示的正整数 ，它的个位数是 ，若 ，则)(nf )(2nffan8 9321aa7某林厂年初有森林木材存量 m3，木材以每年 25%的增长率生长，而每年末要砍伐固S定的木材量 m3，为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加 50%，则 的值是（）x xA B C D2S436S38S解析：一次砍伐后木材的存量为 S（1+25%）x；二次砍伐后木材存量为S
4、（1+25%）x （1+25%）x.由题意知（ ） 2S xx =S（1+50%） ，解得 x= .4536S8从 2005 年 1 月 2 日起，每年 1 月 2 日到银行存入一万元定期储蓄，若年利率为 p，且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新一年的定期存款，到 2011 年 1 月 1 日将所有存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数为_万元解析：存款从后向前考虑= 26(1)(1)pp p1)(67()()p课上探究题型一：数列与函数综合问题一、典型例题例 1设 是函数 的反函数图象上不PxayQxRay(,)(,),)123fxa()2同的三点，如果使 成等差数列的实数 有且仅有一
5、个，求实数 a 的取值范围23解：由 ，fx()(log)(21xxf 又 成等差数列，12log),(log,l 3221 yaxyxy y123, ，即1)(og )0,(xa，令 ，022xax 22)(x若使 成等差数列的实数 有且仅有一个，只需 ，或 ，y123, 0)(ag即 ，或 214)(a)1(22 a当 时，满足题意的实数 有且仅有一个02a或 x例 2 （10 年湖南 21）数列 中， ， 是函数n11n的极小值点 3221()()3nnfxxa（）当 时，求通项 ；0an（）是否存在 ，使数列 是等比数列？若存在，求 的取值范围；若不存在，a请说明理由 【 解析】易知
6、2222()(3)(3)nnnnfxaxax令 ()0, nf得 ， (1) 23a若 ()()nnxfxf当 时 ， ， 单 调 递 增 ；2,0x当 时 ， 单 调 递 减 ；()()nnxfxf当 时 ， 单 调 递 增 ；故 在()nf2, 时 取 得 极 小 值 。（2） 31()3nnafxa若 仿 （ ） 可 得 ， 在 取 得 极 小 值 。（3） 2,()0nfx若 ， 无 极 值 。二、拓展练习1设 ，定义 ，其中 nN*xf12)(1 (0)1()(),2nnnffxfa （1）求数列a n的通项公式；（2）求 2132n nTa解：（1） 2， ， ，)0(1f 411
7、a1(0)()(0)nnnfff nnnnn affffa 21)(2)0(2)0(12)0(1 ，数列a n上首项为 ，公比为 的等比数列，1n 411)2(4a（2） ,2321 nn aaT,2)1(3)1()()(12 na两式相减得： ,)2(421)(43122 nnnT )213(92nT2 （06 浙江）已知函数 ，数列 ( )的第一项 ，以后各项按3()fxnx01x如下方式取定：曲线 在 处的切线与经过 和 两()yfx)(,1nxf (0,),()nxf点的直线平行（如图）.求证：当 时，*N() ；2213nnxx（） 2)(n证明：（I）因为 3,fx所以曲线 在 处
8、的切线斜率()y1()nfx 123.nkx因为过 和 两点的直线斜率是0,x2,n所以 .22113nnn（II）因为函数 当 时单调递增，()hx0x而 ，2211nnn214n211()nnx所以 ，即 因此1nx,nx1211().nnn又因为 令 则122(),nn 2,nnyx.ny因为 所以211,yx12().n因此 故2()nn)nx三、方法归纳数列与函数综合问题一般有两种类型：（1）由于数列是特殊的函数，是定义域为正整数集或其子集 ，且自变量1,23.,n从小到大变化时函数值的序列，通项公式 ，递推公式 .依次构造数()naf()naf列，根据函数的性质来研究数列的性质；（
9、2）在函数图象上选取一系列满足某一条件的点，研究这些点的横、纵坐标构成的数列研究这些问题，都需要熟练掌握函数和数列的性质题型二：数列与不等式综合问题一、典型例题例 3已知数列 中， an )2(183,61 nan（1）求证： ； 02（2）求证： 对于 都成立；n1N*（3）求函数 的值域 （ ） fxanx()xR（1）证明：当 时， ， 163210a假设当 时，有 成立，即 ()kN*k 8102ka则当 时， 1n88021ka当 时，也有 成立kn对一切 ，总有 成立N*2（2） ， ，即 012an 1na21)(8na，0)(8321 对于 都成立nN*（3） ， ， 02a2
10、31naxna)1(函数 的值域是： fxx(),例 4在数列 中， n111,30(2)nn（1）求数列 的通项公式；a（2）若 对任意 的整数恒成立，求实数 的取值范围；1n2n（3）设数列 ， 的前 项和为 ，求证： nbannT2(31)n解：（1）将 整理得： 110(2)nn1na所以 ，即 3()na32n时，上式也成立，所以， 1n132na（2）若 恒成立，即 恒成立1na整理得： 令 (3)2n(31)2nc1(4)1()()34n nc因为 ，所以上式 ，即 为单调递增数列，所以 最小， ，20nc2c283所以 的取值范围为 28(,3（3） nba12(312)3 n
11、nn所以， 12nTb(474312)3 (31)n二、拓展练习3 （10 年全国18）已知数列 na的前 项和 2()nnSA（）求 limnS；（）证明： 1223naa 4设数列 满足 （ ） ，前 项的和 ，且na21,ta0tnnS（ ） 2()0nnStS*N（1）证明数列 为等比数列，并求 的通项公式；na（2）当 时，比较 与 的大小；2t2nt（3）若 ， ，求证 1t21nab212nnbb解：（1）由 （ ） ，得2()0nnSttS*N（ ） ，211n*即 （ ） ，而 （ ） ，21nat*N21,at0t数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列， nat（2） ，
12、又 ，nt(2)(1(2)nnntt2t ， ，又 ， ，0nt()10nt()0nt()(10nntt nt2n（3） ，1()nntb 2312312()()()n nn ，11)n nn 212nbb三、方法归纳有关数列不等式的证明，除用证明不等式的一般方法外，常用以下方法：（1）如果已知递推公式，可以考虑用数学归纳法证明有关不等式；（2）关于前 项和的不等式，如果较易求和，一般先求和，再放缩；如果求和不方便，n一般先将通项放缩，再求和证明题型三：数列与解析几何综合问题一、典型例题例 5 （10 年安徽文 21） 设 是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都12,nC 在 轴的正半轴上，且都与
13、直线 相切，对每一个正整数 ，圆 都与圆 相x3yxnnC1n互外切，以 表示 的半径，已知 为递增数列nrnr（）证明： 为等比数列；（）设 ，求数列 的前 项和. 1rnrnnn n+1+1n+1n n11nn n12331,si,2r1r22rr3qrr3*3r.rxC解 ： （ ） 将 直 线 y=的 倾 斜 角 记 为 ,则 有 ta=设 的 圆 心 为 （ ， 0） ， 则 由 题 意 得 知 ， 得 ； 同 理， 从 而 ， 将 代 入 ，解 得故 为 公 比 的 等 比 数 列 .（ ） 由 于 ， ， 故 ， 从 而 ，记 S1n12121n11,r3.3().333(),2
14、992()44nnnnnnnS则 有 ,得二、拓展练习5在直角坐标平面上有一点列 ，对一切正整数 ， ),(,),(),(21 nyxPyxP n点 位于函数 的图象上，且 的横坐标构成以 为首项， 为公差nP43xyn251的等差数列 n（）求点 的坐标；（）设抛物线列 中的每一条的对称轴都垂直于 轴，第 条抛123,nC xn物线 的顶点为 ，且过点 ，记与抛物线 相切于 的直线的斜nnP)1,0(2DnCD率为 ，求： ；nknkk1321（）设 ，等差数列|,|4,1n nSxTyNNna的任一项 ，其中 是 中的最大数， ，求naT1aS252610a的通项公式解：（1） 23)(2
15、5nxn13535,(,)424n nyxP（2） 的对称轴垂直于 轴，且顶点为 . 设 的方程为：CxnC,2)(a把 代入上式，得 ， 的方程为： 1,02nD1an 1)32(2nxxy，3|ykx 1)32(1 nkn321 )32(975= 6410)5(nn（3） ，|(,1SxN5,Ty|2(61)3,1ynnN中最大数 .,7a设 公差为 ，则 ，由此得nad5,910d*248, 2()9724().nnTmdN又三、方法归纳数列与解析几何综合问题，一般是由点的坐标构造数列，求解时要充分利用数列、解析几何的概念、性质，并结合图形求解题型四：数列的实际应用问题一、典型例题例 6
16、 （07 年安徽理 21）某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为 a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加 d（d0） ，因此，历年所交纳的储备金数目 a1，a 2，是一个公差为 d 的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定年利率为 r（r0） ，那么，在第 n年末，第一年所交纳的储备金就变为 a1（1r） n1 ，第二年所交纳的储备金就变为a2（1r） n2 ，以 Tn 表示到第 n 年末所累计的储备金总额.（）写出 Tn 与 （n2）的递推关系式；1（）求证：T nA nB n，其中A n是一个等比数列， B
17、 n是一个等差数列.解：（）我们有 1()(2)ra（） ，对 反复使用上述关系式，得1a221()()()nnnnTrTrra， 12121()()()nnnnarrar在式两端同乘 ，得12121()()()()()nnn nnrTrrrar ，得 1nad1()()nnrar即 122nrdT如果记 ， ，()naAr1rdBn则 nnB其中 是以 为首项，以 为公比的等比数列； 是以12()rd1(0)rnB为首项， 为公差的等差数列12ard二、拓展练习6 （05 湖南卷）自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用
18、xn 表示某鱼群在第 n 年年初的总量，nN *，且 x10.不考虑其它因素，设在第 n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与 xn 成正比，死亡量与 xn2 成正比，这些比例系数依次为正常数 a，b，c.（）求 xn+1 与 xn 的关系式；（）猜测：当且仅当 x1，a，b，c 满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）（）设 a2，b1，为保证对任意 x1（0,2） ，都有 xn0，nN *，则捕捞强度 b的最大允许值是多少？证明你的结论.解（I）从第 n 年初到第 n+1 年初，鱼群的繁殖量为 axn，被捕捞量为 bxn，死亡量为.(*),1( .(,1 22 Nncxbaxcn
19、即 因 此（II）若每年年初鱼群总量保持不变，则 xn 恒等于 x1， nN*，从而由（*）式得0,0)( 1cbacbann 即所 以恒 等 于因为 x10，所以 ab.猜测：当且仅当 ab，且 时，每年年初鱼群的总量保持不变.cx1（）若 b 的值使得 xn0，nN* 由 xn+1=xn(3bx n), nN*, 知00.又因为 xk+1=xk(2x k)=(x k1) 2+110， nN*，则捕捞强度 b 的最大允许值是 1.三、方法归纳解答应用题的关键是建立数学模型一般涉及到平均增长率的问题用等比数列；涉及到等值增减等实际问题用等差数列，这是两种常见的数列模型在有关数列的实际问题中，往
20、往较易得到数列的递推公式课下巩固一、基础训练1已知 是递增的数列，且对于任意 ，都有 成立，则实数 的取na*nN2na值范围是（D）A B C D0003解析：由题意知对于任意 ， 恒成立，即 恒成立，*n1na210得 32设 是从 这三个整数中取值的数列，若 ，且1250,a 1,12509a，则 中 0 的个数为（B）2250()()()17a 125,A10 B11 C12 D13解析：将已知的等式展开整理得 ，故此 50 个数中有 11 个数为2215039a03 （10 江西 5）等比数列 中， ， =4，函数na18，则 （ C）128()()fxx fA B C D62921
21、5【解析】考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法。考虑到求导中，含有 x 项均取 0，则 只与函数 的一次ffx项有关；得： 41212381()aa4一批花盆堆成三角形垛，顶层一个，以下各层排成正三角形，逐层每边增加一个花盆，若第 n 层与第 n+1 层花盆总数分别为 f（n）和 f（n+1） ，则 f（n）与 f（n+1）的关系为（A）A.f（n+1）f（n）= n+1 Bf （n+1）f（n）=nCf（n+1）=f（n）+2n Df（n+1）f（n）=15某工厂去年产值为 a，计划在今后 5 年内每年比上年产值增加 10%，则从今年起到
22、第5 年，这个厂的总产值为_解析：每年的总产值构成以 a（1+10%）=1.1a 为首项，公比为 1.1 的等比数列，S 5= 551.(.)1(.)二、能力提高6 （10 年湖北文 19）已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为 （单位：m 2） ，其中有a部分旧住房需要拆除当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的 10%建设新住房，同事也拆除面积为 （单位：m 2）的旧住房b（）分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式；（）如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了 30%，则每年拆除的旧住房面积 是多少？（计算时取 1.15=1.6）解：（1）第 1 年末的住房面积
23、，1ab.am0A2（ ）第 2 年末的住房面积，21ab=ab0A 2（ ） （ ） （ +） .-.（ ）（）第 3 年末的住房面积，2 22111()a()()000bA第 4 年末的住房面积，2a()1()1bA第 5 年末的住房面积24a()()()100055-1.6ba依题意可知， ，解得 ，320ab所以每年拆除的旧房面积为 2()0m7 (10 年浙江文 21)已知函数 （ ） ()fxax,baR（I）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；1,2abyf2(f（II）设 是 的两个极值点， 是 的一个零点，且 ， 12,x()f3x()f31x32x证明：存在实数 ，使得 按
24、某种顺序排列后构成等差数列，并4124,求 4x()解：当 a=1,b=2 时，因为 f(x)=(x-1)(3x-5)，故 f(2)=1又 f(2)=0，所以 f(x)在点（2,0）处的切线方程为 y=x-2（）证明：因为 f（x ）3（xa） （x ） ，23ab由于 ab， 故 a .2b所以 f（x）的两个极值点为 xa，x .不妨设 x1a，x 2 ，3因为 x3x 1，x 3x 2，且 x3 是 f（x）的零点， 故 x3b.又因为 a2（b ） ，bx4 （a ） ，3此时 a， ， ，b 依次成等差数列，所以存在实数 x4 满足题意，且 x4 .23ab8 （08 年全国22）设
25、函数 数列 满足 ， ()lnfn10a1()nnfa（）证明：函数 在区间 是增函数；x01，（）证明： ；1na（）设 ，整数 证明： 1()b， 1lnabk 1kab（）证明： ， ，lfxx,0,ln0fxfx当 时 ，故函数 在区间(0,1)上是增函数；（）证明：（用数学归纳法） （i）当 n=1 时， ， ，1a1l2111()lnafa由函数 在区间 是增函数，且函数 在 处连续，则 在区间()fx(01)， ()fx1()fx是增函数， ，即 成立；(01， 21lnafa12a（）假设当 时， 成立，即(*)xkNk110ka那么当 时，由 在区间 是增函数， 得1n(fx
26、(0， .而 ，则 ，()kkfaf1)nnaf121(),()kkkaff，也就是说当 时， 也成立；12 kn根据（） 、 （）可得对任意的正整数 ， 恒成立.1（）证明：由 可得()lnfxx1()nafkkkbal1 11lkiiba1， 若存在某 满足 ，则由知：i ia 1kib 02， 若对任意 都有 bi，则 kk aaln1k bl1111lnkiiaba11lnkia11()lkibl1)(1b0，即 成立.k9 （08 年湖南卷 18）数列 ， ，12,naa满 足 222(cos)sinna,23n()求 并求数列 的通项公式；4an()设 证明：当 2112, .nn
27、bSb 162nS时 ，解： () 因为 所以12,a22311(cos)i,aa422(cos)in4.一般地，当 时，*Nnk2121()cssink ka ，即21ka21.ka所以数列 是首项为 1、公差为 1 的等差数列，因此21ka 21.ka当 时，*(N)n222(cos)sink k所以数列 是首项为 2、公比为 2 的等比数列，因此2k 2.k故数列 的通项公式为na *21,(N),.nka()由( )知， 21,nb23,nnS24112n n-得， 2311.n nS11().212nn所以 2.nnnS要证明当 时， 成立，只需证明当 时， 成立.6S6n(2)1n
28、证法一(1)当 n = 6 时， 成立.6(2)4831(2)假设当 时不等式成立，即k(2)1.k则当 n=k+1 时， 1()33()31.2()2kk k A由(1)、(2)所述，当 n6 时， .即当 n6 时，2()1.nS证法二令 ，则2()6nc 21121()3()30.nnnc所以当 时， .因此当 时，1n668.4nc于是当 时，62()综上所述，当 时，6n12.nS10设 = 为奇函数，且 ，数列 与 满足xf2(0)abcmin2fxnab如下关系： ， ， 12a2)(1nnaf 1nb（1）求 的解析表达式；()fx（2）证明：当 时，有 n*N()3nb解：（
29、1）由 是奇函数，得 ，()fx0c由 ，得 ，故 min2f2a21()xf(2) = ，1()2nnfa221nna= ，12121 nnnn aaab 2nnb而 ， ， ，103b1lglnnb 是以为 首项，为 公比的等比数列，lgn1l32 ， 12l2lg()nnb 1()nb当 时， ，命题成立113当 时，2 1 （11） 1 1 1+ = ，n 121nnCC 1n ，即 ，命题成立1()3nn()3nb综上，当 时，有 n*N1()3nb11 （08 年广东卷 21）设 为实数， 是方程 的两个实根数列pq， ， 20xpq满足 ， ， （ ） nx12x12nnxq34
30、， ，（1）证明： ， ；（2）求数列 的通项公式；nx（3）若 ， ，求 的前 项和 p14qnxnS解：（1）由求根公式，不妨设 ，得2244,pqpq，2244pqpq22（2）设 ，则 ，由 得112()nnxstxs12()nnxststx12nnpxq，stpq消去 ，得 ， 是方程 的根，由题意可知，t20sqs20xpq12,s当 时，此时方程组 的解记为stq12stt或112(),nnxx112(),nnxx即 、 分别是公比为 、 的等比数列，tts由等比数列性质可得 , ,2121()nnxx 2121()nnxx两式相减，得 2()()， ，21,xpqx21x，22()Ann 222()Ann，即 ，1()nx1nx1nx当 时，即方程 有重根， ，20pq240pq即 ，得 ，不妨设 ，由可知2()40st(),ststst， ，2121(nnxx2121()nnxx即 ，等式两边同时除以 ，得 ，即n n1nx数列 是以 1 为公差的等差数列， ,1()nnx综上所述，1,()n（3）把 ， 代入 ，得 ，解得1p4q20xpq2104x12()2Annx3 23111().()()().()22n nnS AA31()().()2n nA1122nnnn
