1、高二数学 4 月月考试题（文科）阮晓锋一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、抛物线 的焦点坐标为 ( D ) 2yxA B C D ,010,1,0410,42、已知命题 P：所有有理数都是实数，命题 q：正数的对数都是正数，则下列命题中为真命题的是( D )A B C Dqpp)(p)(qp3、人造地球卫星的运行轨迹是以地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为 ，卫星近地点、R远地点离地面距离分别为 、 ，则卫星轨迹的长轴长为( A ) 2R5A B C D 5R43R24某保险公司的广告词为：“幸福的人们都拥有”
2、，初听起来，这似乎只是普通的赞美说词，然而实际反映的效果并不是很好，原来这句话的等价命题是（ D）A不幸福的人们都不拥有 B不拥有的人们可能幸福C拥有的人们不一定幸福 D不拥有的人们不幸福5、 “方程 表示双曲线”的一个充分不必要条件是(D )221xymA B 或 C D2m10m6 下列命题中，真命题是（ B ）0A ，使函数 是奇函数R2()()fxxRB ，使函数 是偶函数mC ，使函数 是奇函数2()()fxmxD ，使函数 是偶函数RR7设 是函数 的导函数， 的图象如右图所示，()fx()fx()yfx则 的图象最有可能为下面的（ C）y8 是定义在 上的可导函数，且满足 ，对任
3、意正数 ，()fx(0,)()0xff,ab若则必有（ D）abA B()ffa()bfafC Db9 A、 B 是双曲线 1542yx右支上的两点，若弦 AB 的中点到 y 轴的距离是4，则 AB 的最大值是（ A ）A. 8 B. 12 C. 5 D. 1010、设 F为抛物线 24yx的焦点， ABC， ， 为该抛物线上三点，若 FABC0， 则 ABC( B ) A9 B6 C4 D3二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 35 分.11、若命题 :pxR，使得 1sinx，则 ：p,sin1xR12、双曲线 的渐近线与圆 没有公共点，则双曲线离心率的范21yab22()1
4、y围是 (1,)13已知 ，则 等于 -2 2()fxf(0)f14 椭圆两焦点为 14,F， 2, ，P 在椭圆上，若 12PF的面积的最大值为 12，则椭圆方程为- 159xy15、已知圆 的半径为定长 ， 是圆所在平面内一定点， 是圆上任意一点，线段OrAP的垂直平分线 与直线 相交于点 ，当 在圆上运动时，点 的轨迹可能是下列APlPQQ图形中的：（填写所有可能图形的序号）点；直线；圆；抛物线；椭圆；双曲线；双曲线的一支16 已知 ，若非 p 是 q 的充分而不必要条件，则实22:46,:10()Pxqxa数 a 的取值范围为_ _.(0,317 若椭圆过点 P（2，1）引一弦，使弦在
5、这点被 平分，则此弦所在直线 l的方程为.x+2y-4=03、解答题：本大题共 5 小题, 共 65 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18(本小题满分 12 分)某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量 （吨）与每吨产品的价格 （元/ 吨）xp之间的关系式为： ,且生产 吨的成本为 （元） 问21405px502Rx该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入成本）18解：每月生产 x 吨时的利润为)205()1240()2xxf 6 分3 ()5x212()400,()f x由 解 得 舍 去， ), xfxf 使内 只 有 一 个 点在因故它就是最大
6、值点，且最大值为：11 分)(3150204)20(51)(3 元f答：每月生产 200 吨产品时利润达到最大，最大利润为 315 万元. 12 分19、 （本题 13 分）已知双曲线 和定点 .2:14xCy12,P（1）求过点 且与双曲线 只有一个公共点的直线方程；P（2）双曲线 上是否存在 两点，使得 成立？若存在，求出直线,AB()2OAB的方程；若不存在，说明理由.AB19、 （1） （6 分） 210,230,5860,2xyxyxyx（2） （7 分）法一：设存在 两点符合题意，则12()()AB1124,xy同（1）知 是方程 的两根,x2 2(4)(64)(185)0kxkx
7、k， ，22(6)1k21而用判别式判定知 不符合题意，所以符合题意的直线 不存在。AB法二：设 若 为中点，则12(,)(,)AxyB,P12124,xy由 21121212124()4()0xyxy，又渐近线斜率 ， ，12124()ABkykABk故直线 要与双曲线相交，必与其同一支交于两点，此时弦 的中点必在双曲线某支开口内侧，而易知 在双曲线两支之间（开口外侧） ，两者相互矛盾，所以符2,P合题意的直线 不存在。AB20 （本小题满分 13 分）设函数 ，21()3ln()fxaxaR（）若 在 处有极值，求 ；)(xf（）若 在 上为增函数，求 的取值范围.2,3（）当 时，函数
8、)(xf图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂1a直？试证明你的结论；20.解：（）由已知可得 的定义域为 ，f0,又 ，233axfxa由已知 .经验证得 符合题意-4 分10,11a（） 对 恒成立，2fx 2,x对 恒成立，23,ax,3因为 ，所以 的最大值为 ，所以 ；-9 分2x38a（）当 时，假设图象上存在两点 ),(1yxA、 ),(2yB使1 1212,)xx得过此两点处的切线互相垂直，则由 知两点处的切线斜率分别23f为 ， ，则213xk23xk120k()当 时，020fx故 与 式矛盾，故假设不成立，12k()当 时，图象上不存在这样的两点使结论成立； 13
9、 分a21.（本小题满分 13 分）已知函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 .3()fxb()yfx1,()f 2yx（1）求函数 的解析式；（2）过点 能作几条直线与曲线 相切？说明理由.(,2) ()yfx21 解（1） ，由题知（1 分）2()3fxab()210f a （5 分）3()fx（2）设过点（2,2）的直线与曲线 相切于点 ，则切线方程为：()yfx(,)tf()()yfttx即 （7 分）231由切线过点（2,2）得： 23(31)tt过点（2,2）可作曲线 的切线条数就是方程 的实根个数（9 分）yfx320t令 ，则32()gtt()32)gt由 得012,当 t 变化
10、时， 、 的变化如下表()gttt ,0 (0,2) 2 (2,)()+ 0 - 0 +gt 极大值 2 极小值-2 由 知，故 有三个不同实根可作三条切线（13 分）(0)240()gt22（本小题满分 14 分）已知椭圆21xyab的离心率 ，连接椭圆的(0)a32e四个顶点得到的菱形的面积为 4.（）求椭圆的方程；（）设直线 与椭圆相交于不同的两点 A、B，已知点 A 的坐标为 .l (,0)a（i）若 42AB5|=，求直线 的倾斜角；l（ii）若点 Q y0（ ， ） 在线段 AB 的垂直平分线上，且 QB=4A.求 y0的值.22、 （）解：由 e= 32ca，得 24ac.再由
11、22ab，解得 a=2b.由题意可知 1b，即 ab=2.解方程组 ,2a得 a=2，b=1. 所以椭圆的方程为214xy.4 分()(i)解：由（）可知点 A 的坐标是（-2,0）.设点 B 的坐标为 1(,)xy，直线 l 的斜率为 k.则直线 l 的方程为 y=k（x+2）.于是 A、B 两点的坐标满足方程组 2(),1.4kxy消去 y 并整理，得222(14)6(14)0kxk.由 2164kx，得 2184kx.从而12y.所以2228| 4ABkkk.由 4|5，得2145.整理得 423930k，即 22(1)3)0k，解得 k= 1.所以直线 l 的倾斜角为 或 4.8 分（ii）解：设线段 AB 的中点为 M，由（i）得到 M 的坐标为228,14k.以下分两种情况：（1）当 k=0 时，点 B 的坐标是（2,0） ，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，于是002,2,.QAyy由 4QAB，得 20。10 分（2）当 k时，线段 AB 的垂直平分线方程为22184kkyx。令 0x，解得 02614ky。由 02,， 10,y，00222286462kkQAB 4216514k，整理得 7。故 17。所以 0145y。综上， 0y或 05y14 分
