1、第 40 章 操作探究一、选择题1. （2011 广东广州市，8，3 分）如图 1 所示，将矩形纸片先沿虚线 AB 按箭头方向向右对折，接着将对折后的纸片沿虚线 CD 向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是（ ）C DB(A)ABABC D图 1A B C D【答案】D2. （2011 安徽芜湖，9,4 分）如图，从边长为（a4）cm 的正方形纸片中剪去一个边长为cm 的正方形 ，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），1a(0)则矩形的面积为（ ）.A B C D22(5)cm2(315)cma2(69)cma61a【答案】D二、填空题三、解答题1. （20
2、11 江西南昌，25，10 分）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设BAC= （0 90）.现把小棒依次摆放在两射线 AB，AC 之间，并使小棒两端分别落在两射线上.活动一：如图甲所示，从点 A1 开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在两端点处互相垂直，A 1A2为第 1 根小棒.数学思考：（1）小棒能无限摆下去吗？答： .（填“能”或“不能”）（2）设 AA1=A1A2=A2A3=1. = 度；若记小棒 A2n-1A2n 的长度为 an（n 为正整数，如 A1A2=a1,A3A4=a2,）,求此时 a2，a 3 的值，并直接写出 an（用含 n 的式子表示）.图甲活动二：如图乙所示，从
3、点 A1 开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中 A1A2 为第 1 根小棒，且A1A2= AA1.数学思考：（3）若已经向右摆放了 3 根小棒，则 = ， = ， = 123；（用含 的式子表示）（4）若只能摆放 4 根小棒，求 的范围.图乙【答案】解：（1）能（2）22.5方法一：AA 1=A1A2=A2A3=1， A1A2A 2A3，A 1A3= ，AA 3=1+ .22又A 2A3A 3A4，A 1A2A 3A4.同理：A3A4A 5A6，A=AA 2A1=AA 4A3=AA 6A5，AA 3=A3A4，AA 5=A5A6，a 2= A3A4=AA3=1+ ,a3=AA3+A3A5=a2
4、+A3A5.A 3A5= a2,2a 3=A5A6=AA5=a2+ a2=( +1)2.方法二：AA 1=A1A2=A2A3=1， A1A2A 2A3，A 1A3= ，AA 3=1+ .22又A 2A3A 3A4，A 1A2A 3A4.同理：A3A4A 5A6，A=AA 2A1=AA 4A3=AA 6A5，a 2=A3A4=AA3=1+ ,又A 2A3A4=A 4A5A6=90， A2A4A3=A 4A6A5，A2A3A4A 4A5A6， ，a 3= =( +1)2.2112an=( +1)n-1.(3) 4321(4)由题意得 ，15 18.90562. （2011 福建福州，21，12 分
5、）已知,矩形 中, , , 的垂直平ABCD4cm8BCcA分线 分别交 、 于点 、 ,垂足为 .EFADBCEFO(1)如图 10-1,连接 、 .求证四边形 为菱形 ,并求 的长；AF(2)如图 10-2,动点 、 分别从 、 两点同时出发,沿 和 各边匀速运动一PQABDE周.即点 自 停止,点 自 停止.在运动过程中,AFBQC已知点 的速度为每秒 5 ,点 的速度为每秒 4 ,运动时间为 秒,当 、 、PcmQcmtAC、 四点为顶点的四边形是平行四边形时,求 的值.Qt若点 、 的运动路程分别为 、 (单位: , ),已知 、 、 、 四点abc0abPQ为顶点的四边形是平行四边
6、形,求 与 满足的数量关系式.ABCDEF图 10-1O图 10-2ABCDEFPQ备用图ABCDEFPQ【答案】(1)证明: 四边形 是矩形AD BC ,EFC 垂直平分 ,垂足为EFAO O EF四边形 为平行四边形AC又 四边形 为菱形FE设菱形的边长 ,则 ACxcm(8)BFxcm在 中,RtB4由勾股定理得 ,解得22(8)x5x 5AFc(2)显然当 点在 上时, 点在 上,此时 、 、 、 四点不可能构成平行四PQCDAPQ边形;同理 点在 上时, 点在 或 上,也不能构成平行四边形.因此只有BE当 点在 上、 点在 上时,才能构成平行四边形F以 、 、 、 四点为顶点的四边形
7、是平行四边形时,ACPQPCQA点 的速度为每秒 5 ,点 的速度为每秒 4 ,运动时间为 秒PcmQcmt ,5Ct124QAt ,解得tt3t以 、 、 、 四点为顶点的四边形是平行四边形时, 秒.AP43tABCDEFPQ由题意得,以 、 、 、 四点为顶点的四边形是平行四边形时,点 、 在互ACQPQ相平行的对应边上.分三种情况:i)如图 1,当 点在 上、 点在 上时, ,即 ,得PAFCEAPQ12ab12aii)如图 2,当 点在 上、 点在 上时, , 即 ,得BQDiii)如图 3,当 点在 上、 点在 上时, ,即 ,得12ab12综上所述, 与 满足的数量关系式是ab12
8、ab(0)ABCDEFPQABDEFPQCABCDEFPQ图 1 图 2 图 33. （2011 浙江衢州，23,10 分） 是一张等腰直角三角形纸板，A.Rt2CBC，要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图 1），比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积更大？请说明理由. （第 23 题）（第 23 题图1）PNDFEBAC CABQM图 1 中甲种剪法称为第 1 次剪取，记所得的正方形面积为 ；按照甲种剪法，在余下的1S中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第 2 次剪取，并记这ADEB和两个正方形面积和为 (如图 2)，则 ；再在余下的四个三角形中，用
9、同样的方2S2=S法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第 3 次剪取，并记这四个正方形的面积和为 (如图 3)；继续操作下去则第 10 次剪取时， . 3S 10S求第 10 次剪取后，余下的所有小三角形的面积和.【答案】(1)解法 1：如图甲，由题意得 .如图乙，,1CFDEAEDC正 方 形即设 ，则由题意，得MNxMQPNBMx232,38()9PNMQS正 方 形 解 得又 819甲种剪法所得的正方形的面积更大说明：图甲可另解为：由题意得点 D、E、F 分别为 的中点，ABC、 、12ABCCFDESS正 方 形解法 2：如图甲，由题意得 ， 即 =1如图乙，设 ,MNxMQP
10、NBMx则 由 题 意 得232,31,xEC解 得又 即甲种剪法所得的正方形的面积更大(2) 21S(3) 109(3)解法 1：探索规律可知： 12nS剩余三角形的面积和为： 110 911242S 解法 2：由题意可知，第一次剪取后剩余三角形面积和为 12=第二次剪取后剩余三角形面积和为 2SS第三次剪取后剩余三角形面积和为 2334第十次剪取后剩余三角形面积和为 9109=2S4. (2011 浙江绍兴，23，12 分 )数学课上，李老师出示了如下框中的题目 . 三三ABC三E三AB三DCB D=C，.AED三. EABCD小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论
11、当点 为 的中点时，如图 1，确定线段 与 的大小关系，请你直接写出结EABAEB论：（填“”,“”,“”或“=”）.理由如下：如图AEAE2，过点 作 ，交 于点 ./FBCF（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形 中，点 在直线 上，点 在直线 上，且 .若AEADBCED的边长为 1， ，求 的长（请你直接写出结果）. BC2C【答案】（1）= .（2）=.方法一：如图，等边三角形 中，ABEABCD60,ABCACA，/,EF,B是等边三角形，A,EF,BCBEF即又 60AD，E第 25 题图 1 第 25 题图 2.,.EDCBFAE方法二：在等边三角形 中，ABC60120, ,/,60,18120,BCDEBACEEDAFBCBACEEFABDD，是 正 三 角 形 ，而由 是正三角形可得AF.A.EB(3)1 或
