1、久期和凸性 上次内容 债券定价 剩余息票支付次数为整数 剩余息票支付次数不为整数 应付利息 零息债券 收益率的测量 价格和收益率的关系 本次主要内容 债券价格风险的测量 一个基点的价格值（ price value of a basis point or PVBP） 久期（ Macaulay duration） 修正久期 (modified duration) 凸性 简介 债券的价格风险（或者等价的称为利率风险）指的是由于市场中利率的变化所引起的价格的变化。 PVBP or DV01 DV01 (PVBP)测量的是当收益率变化一个基点（ 0.01%）时债券价格的变化。 假设 P为债券的价格， y
2、为债券的收益率，一阶导数 dP/dy测量了当收益率变化时价格的变化。 PVBP or DV01 例子： 某债券还有一年到期，半年付息，年息票率为 8%，面值为 $100,到期收益率为 6%，如何计算其 PVBP？ 首先计算债券的价格 P为： 2)206.01(104)206.01(4PPVBP or DV01 如果收益率上升了一个基点， 6.01%，那么债券的价格为： 当面值为 1百万美元时，价格的变动为： 9 0 3 7 6 4.1 0 1)20 6 0 1.01(1 0 4)20 6 0 1.01(42P0 5 3.971 0 0 0 0)9 0 3 7 6 4.1 0 19 1 3 4
3、7.1 0 1( PPPVBP or DV01 更精确的估计，让收益率在 6%的基础上各增加和减少 0.5个基点。 当收益率下降 0.005%时，价格为： 当收益率上升 0.005%时，价格为： 因此如果面值为 1百万美元，则其 PVBP为： 9 1 8 3 2.1 0 1)20 5 9 9 5.01(1 0 4)20 5 9 9 5.01(42P9 0 8 6 2.1 0 1)20 6 0 0 5.01(1 0 4)20 6 0 0 5.01(42P0 5 9 9 2.971 0 0 0 0)9 0 8 6 2.1 0 19 1 8 3 2.1 0 1( PPPVBP or DV01 PVB
4、P的值越大，说明债权的利率风险越大。 第二种方法算的 PVBP较第一种方法算的大，这是由于价格收益率曲线的凸性决定的。 缺陷：在计算 PVBP的过程中，需要多次计算债券在不同收益率下的价格，计算任务较重。 久期（ Duration） 久期是另外一个较常用的测量风险的工具 久期克服了需要重复计算价格的缺陷 债券价格公式： 将价格对收益率直接求导来测量价格对收益率的变动 一阶导数即切线斜率 NyCyCyCP)1(100)1(1 2 久期（ duration） 对 y求导： 两侧同时除以 P得： )1(1 0 0)1()1(21111)1(1 0 0)()1()()1()2()1()1(21132N
5、NNNyNyNCyCyCyyNyCNyCyCdydPPyNyNCyCyCyPdydPNN1)1(1 0 0)1()1(2111112 久期（ duration） 在此基础上稍微变形得到 : 此即麦考利久期 D（ Macaulay Duration）的公式 负号是为了保证 D为整数，因为价格和收益之间是负相关的。 PyNyNCyCyCydyPdPDNN1)1(1 0 0)1()1(211)1/(/2 久期（ Duration） 对麦考利久期的解释： 1，价格弹性（ price elasticity）：表示了收益率的百分比变化带来的价格的百分比变化 久期越大，风险越大。 y iel db o n
6、dinp r ic eb o n dinydyPdPydyPdPyPdydPD%)1/(/)1(/)1(1久期（ Duration） 2，久期是以贴现现金流为权重的时间除以债券价格 从这个意义上说，久期以贴现的方法度量了证券还原原始投资所花的平均时间；久期越长，风险越长。 久期（ Duration） 例：一个债券还有 3年到期，其息票率为 5%，收益率为 5%，则其久期？ 息票率等于收益率，因此债券的价格等于其面值 100； 计算 3年的折现因子分别为： 因此其麦考利久期为： 8 6 3 8 3 8.005.1,9 0 7 0 2 9.005.1,9 5 2 3 8 1.005.1 321 8
7、 5 9.21 0 08 6 3 8 3 8.01 0 539 0 7 0 2 9.0529 5 2 3 8 1.051D久期（ Duration） 对于 3年的零息债券，如果其息票率仍为 5%，则其久期？ 首先其价格为 100*0.863838 久期为 对于零息债券来说，其麦考利久期等于其到期期限。 00.38 6 3 8 3 8.01 0 0 8 6 3 8 3 8.01 0 03 D久期（ Duration） 麦考利久期测量了利率的百分比变化所引起的价格的百分比变化，为使其更直观，修正久期MD（ modified duration）对此进行了修正。 修正久期是指收益率的变化引起的价格的百
8、分比变化。 经过这样的修正，人们可将债券收益率的变动直接与修正久期相乘，从而得到债券价格百分率的变动： dyPdPMD /dyMDPdP 久期（ Duration） 修正久期比麦考利久期小 修正久期越长，债券风险越大 yDMD 1久期（ Duration） 久期的性质： 1，债券的期限： 到期期限越长，久期越长，但是两者非线性关系 期限越短，投资者收回投资的时间就越短 2，息票率： 息票率越低，投资者期望的回报中有更多的部分集中在到期收回的本金之中，而不是包括在到期之前支付的各次息票之中，因此久期就越长。 久期（ Duration） 3，到期收益率 投资者用来对未来现金流进行贴现的贴现率的高低
9、对债券价格的波动也有影响。债券的到期收益率越高，久期越短。 久期（ Duration） 4，即使是永久年金，其久期也有限： 永久年金的价格： 将 P对 y求导： ycP 100yPdydPMDycdydP 111 0 02 久期（ Duration） 5，组合的 PVBP和久期 组合的 PVBP是组合中各单个证券的面值加权的 PVBP 其中 为证券 i的面值 组合的久期为组合中各单个证券久期的加权和，权重为该证券的市场价值在组合的市场价值中所占的比例。 Niiip P V B PnP V B P1inNiiip MDxMD1久期（ Duration） 例 4-12 （ page148） 例 4
10、-13 组合风险管理 假设一投资经理有一笔债务， 4年后到期，他想通过购买债券的方式对冲该笔债务的利率风险。但是市面上没有 4年的零息债券，只有 2年期（息票率为 8%）和 10年期（息票率为 6% ）的债券，均为半年付息。收益率为 7%。 问：该投资经理应该买多少 2年期债券，多少 10年期债券？（债券的票面价值均为$100000） 组合风险管理 如果要对冲利率风险的话，需要满足两个条件： （ 1）资产的价值等于负债的价值 （ 2）资产的久期等于负债的久期 其中 PPDDxDxVPnPn101022101022Piii VPnx /组合风险管理 对于负债来说，其久期为 4，其价格为： 因此
11、如果已知 则方程组为关于 的二元一次方程组。 7 5 9 4 1 1 6)2/07.01( 1 0 0 0 0 0 0 0 8 7594116,4 PP VD9 2 8 9 3,5 5 9.71 0 1 8 3 6,8 8 9.1101022PDPD102 ,nn组合风险管理 解此方程组可得： %37%,634.30,8.46102102xxnn久期的局限性 例子： 考虑一个债券，其息票利率为 7.25%，到期日为 2022年 2月 15日，交割日为 1992年 9月10日，报价为 100.40695，如果收益率增加200个基点，则其价格变动多少？（该债券的修正久期为 12.12） 久期的局限性 根据修正久期的公式： 当收益率增加 200个基点时： 因此价格的实际变化为： yMDPP %24.241 0 0 0 02 0 012.12 PP3 3 8 6 5.24%24.244 0 6 9 5.100 P久期的局限性 当然，我们也可以利用价格 收益率曲线计算新的收益率 7.216%+200个基点下的债券价格为 80.16387，因此其价格的实际变化为： 100.40695-80.16387=20.24308 ?,33865.2424308.20
