动点路径长专题(含答案).doc

1、1动点路径长专题一选择题（共 2 小题）1如图，抛物线 y=x2 x 与直线 y=x2 交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，动点 P 从 A 点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点 E，再到达 x 轴上的某点 F，最后运动到点 B若使点 P 运动的总路径最短，则点 P 运动的总路径的长为（ ）AB C D图 1 图 22如图，半径为 4 的O 中，CD 为直径，弦 ABCD 且过半径 OD 的中点，点 E 为O 上一动点，CFAE 于点F当点 E 从点 B 出发顺时针运动到点 D 时，点 F 所经过的路径长为（ ）AB C D二填空题（共 9 小题）3 （2013鄂尔多斯）如图，直

2、线 y=x+4 与两坐标轴交 A、B 两点，点 P 为线段 OA 上的动点，连接 BP，过点 A作 AM 垂直于直线 BP，垂足为 M，当点 P 从点 O 运动到点 A 时，则点 M 运动路径的长为 _ 图 3 图 4 图 54如图，半径为 2cm，圆心角为 90的扇形 OAB 的 上有一运动的点 P从点 P 向半径 OA 引垂线 PH 交 OA 于点 H设OPH 的内心为 I，当点 P 在 上从点 A 运动到点 B 时，内心 I 所经过的路径长为 _ 5 （2011江西模拟）已知扇形的圆心角为 60，半径为 1，将它沿着箭头方向无滑动滚动到 OAB位置，点 O 到 O的路径是 OO1O1O2

3、O2O；点 O 到 O的路径是 ；点 O 在 O1O2 段上运动路线是线段 O1O2；点 O 到 O的所经过的路径长为 以上命题正确的是 _ 6 （2013宁德）如图，在 RtABC 纸片中，C=90，AC=BC=4，点 P 在 AC 上运动，将纸片沿 PB 折叠，得到点 C 的对应点 D（P 在 C 点时，点 C 的对应点是本身） ，则折叠过程对应点 D 的路径长是 _ 2图 6 图 7 图 87如图，已知 AB=10，P 是线段 AB 上的动点，分别以 AP、PB 为边在线段 AB 的同侧作等边ACP 和 PDB，连接 CD，设 CD 的中点为 G，当点 P 从点 A 运动到点 B 时，则

4、点 G 移动路径的长是 _ 8 （2013湖州）如图，已知点 A 是第一象限内横坐标为 2 的一个定点，AC x 轴于点 M，交直线 y=x 于点N若点 P 是线段 ON 上的一个动点， APB=30，BAPA，则点 P 在线段 ON 上运动时，A 点不变，B 点随之运动求当点 P 从点 O 运动到点 N 时，点 B 运动的路径长是 _ 9 （2013桂林）如图，已知线段 AB=10，AC=BD=2 ，点 P 是 CD 上一动点，分别以 AP、PB 为边向上、向下作正方形 APEF 和 PHKB，设正方形对角线的交点分别为 O1、O 2，当点 P 从点 C 运动到点 D 时，线段 O1O2 中

5、点 G的运动路径的长是 _ 图 9 图 10 图 1110 （2013竹溪县模拟）如图：已知 AB=10，点 C、D 在线段 AB 上且 AC=DB=1； P 是线段 CD 上的动点，分别以 AP、PB 为边在线段 AB 的同侧作等边AEP 和等边PFB，连结 EF，设 EF 的中点为 G；当点 P 从点 C 运动到点 D 时，则点 G 移动路径的长是 _ 11如图，一根长为 2 米的木棒 AB 斜靠在墙角处，此时 BC 为 1 米，当 A 点下滑至 A处并且 AC=1 米时，木棒AB 的中点 P 运动的路径长为 _ 米三解答题（共 1 小题）12 （2012义乌市模拟）如图，边长为 4 的等

6、边 AOB 的顶点 O 在坐标原点，点 A 在 x 轴正半轴上，点 B 在第一象限一动点 P 沿 x 轴以每秒 1 个单位长度的速度由点 O 向点 A 匀速运动，当点 P 到达点 A 时停止运动，设点 P运动的时间是 t 秒在点 P 的运动过程中，线段 BP 的中点为点 E，将线段 PE 绕点 P 按顺时针方向旋转 60得PC （1）当点 P 运动到线段 OA 的中点时，点 C 的坐标为 _ ；（2）在点 P 从点 O 到点 A 的运动过程中，用含 t 的代数式表示点 C 的坐标；（3）在点 P 从点 O 到点 A 的运动过程中，求出点 C 所经过的路径长3动点路径长专题参考答案与试题解析一选

7、择题（共 2 小题）1如图，抛物线 y=x2 x 与直线 y=x2 交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，动点 P从 A 点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点 E，再到达 x 轴上的某点 F，最后运动到点B若使点 P 运动的总路径最短，则点 P 运动的总路径的长为（ ）AB C D考点： 二次函数综合题719606 专题： 压轴题分析： 首先根据题意求得点 A 与 B 的坐标，求得抛物线的对称轴，然后作点 A 关于抛物线的对称轴 x= 的对称点 A，作点 B 关于 x 轴的对称点 B，连接 AB，则直线 AB与直线 x= 的交点是 E，与 x 轴的交点是F，而且易得 AB即是所求的

8、长度解答： 解：如图抛物线 y=x2 x 与直线 y=x2 交于 A、B 两点，x2 x =x2，解得：x=1 或 x= ，当 x=1 时，y=x2= 1，当 x= 时，y=x2= ，点 A 的坐标为（ ， ） ，点 B 的坐标为（1，1） ，抛物线对称轴方程为：x= =作点 A 关于抛物线的对称轴 x= 的对称点 A，作点 B 关于 x 轴的对称点 B，连接 AB，则直线 AB与对称轴（直线 x= ）的交点是 E，与 x 轴的交点是 F，BF=BF，AE=AE，点 P 运动的最短总路径是 AE+EF+FB=AE+EF+FB=AB，延长 BB，AA 相交于 C，AC= + +（1 ）=1，BC

9、=1+ = ，4AB= = 点 P 运动的总路径的长为 故选 A点评： 此题考查了二次函数与一次函数的综合应用注意找到点 P 运动的最短路径是解此题的关键，还要注意数形结合与方程思想的应用2如图，半径为 4 的O 中，CD 为直径，弦 ABCD 且过半径 OD 的中点，点 E 为O 上一动点，CFAE 于点F当点 E 从点 B 出发顺时针运动到点 D 时，点 F 所经过的路径长为（ ）AB C D考点： 圆的综合题719606 专题： 压轴题分析： 连接 AC，AO，由 ABCD，利用垂径定理得到 G 为 AB 的中点，由中点的定义确定出 OG 的长，在直角三角形 AOG 中，由 AO 与 O

10、G 的长，利用勾股定理求出 AG 的长，进而确定出 AB 的长，由 CO+GO 求出CG 的长，在直角三角形 AGC 中，利用勾股定理求出 AC 的长，由 CF 垂直于 AE，得到三角形 ACF 始终为直角三角形，点 F 的运动轨迹为以 AC 为直径的半径，如图中红线所示，当 E 位于点 B 时，CGAE，此时 F 与 G 重合；当 E 位于 D 时，CAAE，此时 F 与 A 重合，可得出当点 E 从点 B 出发顺时针运动到点 D 时，点 F 所经过的路径长 ，在直角三角形 ACG 中，利用锐角三角函数定义求出 ACG 的度数，进而确定出 所对圆心角的度数，再由 AC 的长求出半径，利用弧长

11、公式即可求出 的长，即可求出点 F所经过的路径长解答： 解：连接 AC，AO，ABCD，G 为 AB 的中点，即 AG=BG= AB，O 的半径为 4，弦 ABCD 且过半径 OD 的中点，OG=2，在 RtAOG 中，根据勾股定理得：AG= =2 ，AB=2AG=4 ，又 CG=CO+GO=4+2=6，在 RtAGC 中，根据勾股定理得：AC= =4 ，CFAE，ACF 始终是直角三角形，点 F 的运动轨迹为以 AC 为直径的半圆，当 E 位于点 B 时，CGAE，此时 F 与 G 重合；当 E 位于 D 时，CAAE，此时 F 与 A 重合，当点 E 从点 B 出发顺时针运动到点 D 时，

12、点 F 所经过的路径长 ，在 RtACG 中，tan ACG= = ，ACG=30，5 所对圆心角的度数为 60，直径 AC=4 ， 的长为 = ，则当点 E 从点 B 出发顺时针运动到点 D 时，点 F 所经过的路径长为 故选 C点评： 此题考查了圆的综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，勾股定理，锐角三角函数定义，弧长公式，以及圆周角定理，其中根据题意得到点 E 从点 B 出发顺时针运动到点 D 时，点 F 所经过的路径长 ，是解本题的关键二填空题（共 9 小题）3 （2013鄂尔多斯）如图，直线 y=x+4 与两坐标轴交 A、B 两点，点 P 为线段 OA上的动点，连接 BP，过点 A

13、作 AM 垂直于直线 BP，垂足为 M，当点 P 从点 O 运动到点 A 时，则点 M 运动路径的长为 考点： 一次函数综合题719606 分析： 根据直线与两坐标轴交点坐标的特点可得 A、B 两点坐标，由题意可得点 M 的路径是以 AB 的中点 N 为圆心，AB 长的一半为半径的 ，求出 的长度即可解答： 解： AM 垂直于直线 BP，BMA=90，点 M 的路径是以 AB 的中点 N 为圆心，AB 长的一半为半径的 ，连接 ON，直线 y=x+4 与两坐标轴交 A、B 两点，OA=OB=4，ONAB，ONA=90，AB= =4 ，ON=2 ， = 2 = 故答案为： 点评： 本题考查了二次

14、函数的综合题，涉及了两坐标轴交点坐标及点的运动轨迹，难点在于根据BMC=90 ，判断出点 M 的运动路径是解题的关键，同学们要注意培养自己解答综合题的能力4如图，半径为 2cm，圆心角为 90的扇形 OAB 的 上有一运动的点 P从点 P 向半径 OA 引垂线 PH 交 OA 于点 H设OPH 的内心为 I，当点 P 在 上从点 A 运动到点 B 时，内心 I 所经过的路径长为 考点： 弧长的计算；全等三角形的判定与性质；三角形的内切圆与内心719606 6专题： 计算题分析： 如图，连 OI， PI，AI，由OPH 的内心为 I，可得到 PIO=180IPOIOP=180 （ HOP+OPH

15、）=135，并且易证OPIOAI，得到AIO=PIO=135，所以点 I 在以 OA 为弦，并且所对的圆周角为 135的一段劣弧上；过 A、I、O 三点作O ，如图，连 OA，OO，在优弧 AO 取点 P，连 PA，PO，可得APO=180135=45，得 AOO=90，OO= OA= 2= ，然后利用弧长公式计算弧 OA 的长解答： 解：如图，连 OI，PI，AI，OPH 的内心为 I，IOP=IOA， IPO=IPH，PIO=180IPOIOP=180 （ HOP+OPH） ，而 PHOA，即 PHO=90，PIO=180 （HOP+ OPH）=180 （18090）=135 ，又 OP=

16、OA，OI 公共，而IOP=IOA，OPIOAI，AIO=PIO=135，所以点 I 在以 OA 为弦，并且所对的圆周角为 135的一段劣弧上；过 A、I、O 三点作 O，如图，连 OA，OO，在优弧 AO 取点 P，连 PA， PO，AIO=135，APO=180135=45，AOO=90，而 OA=2cm，OO= OA= 2= ，弧 OA 的长= = （cm ） ，所以内心 I 所经过的路径长为 cm故答案为： cm点评： 本题考查了弧长的计算公式：l= ，其中 l 表示弧长， n 表示弧所对的圆心角的度数同时考查了三角形内心的性质、三角形全等的判定与性质、圆周角定理和圆的内接四边形的性质

17、5 （2011江西模拟）已知扇形的圆心角为 60，半径为 1，将它沿着箭头方向无滑动滚动到 OAB位置，点 O 到 O的路径是 OO1O1O2O2O；点 O 到 O的路径是 ；点 O 在 O1O2 段上运动路线是线段 O1O2；点 O 到 O的所经过的路径长为 以上命题正确的是 考点： 旋转的性质；弧长的计算719606 分析： 圆心 O 由 O 到 O1 的路径是以 A 为圆心，以 OA 为半径的圆弧；由 O1 到 O2 圆心所经过的路线是线段O1O2；由 O2 到 O，圆心经过的路径是：以 B为圆心，以 OB为半径的圆弧据此即可判断7解答： 解：圆心 O 由 O 到 O1 的路径是以 A

18、为圆心，以 OA 为半径的圆弧；由 O1 到 O2 圆心所经过的路线是线段 O1O2；由 O2 到 O，圆心经过的路径是：以 B为圆心，以 OB为半径的圆弧故正确的是：故答案为：点评： 本题主要考查了图形的旋转，正确确定圆心 O 经过的路线是解决本题的关键6 （2013宁德）如图，在 RtABC 纸片中，C=90，AC=BC=4，点 P 在 AC 上运动，将纸片沿 PB 折叠，得到点 C 的对应点 D（P 在 C 点时，点 C 的对应点是本身） ，则折叠过程对应点 D的路径长是 考点： 翻折变换（折叠问题） ；弧长的计算719606 分析： 根据翻折变换的性质以及ABC 是等腰直角三角形判断出

19、点 D 的路径是以点 B 为圆心，以 BC 的长为半径的扇形，然后利用弧长公式列式计算即可得解解答： 解：C=90， AC=BC，ABC 是等腰直角三角形，如图，点 D 的路径是以点 B 为圆心，以 BC 的长为半径的扇形，路径长= =2故答案为：2点评： 本题考查了翻折变换的性质，弧长的计算，判断出点 D 的路径是扇形是解题的关键7如图，已知 AB=10，P 是线段 AB 上的动点，分别以 AP、PB 为边在线段 AB 的同侧作等边ACP 和PDB ，连接 CD，设 CD 的中点为 G，当点 P 从点 A 运动到点 B时，则点 G 移动路径的长是 考点： 三角形中位线定理；等边三角形的性质；

20、平行四边形的判定与性质719606 专题： 压轴题分析： 分别延长 AC、BD 交于点 H，易证四边形 CPDH 为平行四边形，得出 G 为 PH 中点，则 G 的运行轨迹HAB 的中位线 MN，运用中位线的性质求出 MN 的长度即可解答： 解：如图，分别延长 AC、BD 交于点 H，A=DPB=60，AHPD，B=CPA=60，BHPC，四边形 CPDH 为平行四边形，CD 与 HP 互相平分G 为 CD 的中点，G 正好为 PH 中点，即在 P 的运动过程中，G 始终为 PH 的中点，所以 G 的运行轨迹为HAB 的中位线 MN8MN= AB=5，即 G 的移动路径长为 5故答案为：5点评

21、： 本题考查了三角形中位线定理及等边三角形的性质，解答本题的关键是作出辅助线，找到点 G 移动的规律，判断出其运动路径，综合性较强8 （2013湖州）如图，已知点 A 是第一象限内横坐标为 2 的一个定点，ACx 轴于点 M，交直线 y=x 于点 N若点 P 是线段 ON 上的一个动点，APB=30，BAPA ，则点 P 在线段 ON 上运动时，A 点不变，B 点随之运动求当点 P 从点 O 运动到点 N 时，点 B 运动的路径长是 考点： 一次函数综合题719606 专题： 压轴题分析： （1）首先，需要证明线段 B0Bn 就是点 B 运动的路径（或轨迹） ，如答图所示利用相似三角形可以证明

22、；（2）其次，如答图所示，利用相似三角形 AB0BnAON，求出线段 B0Bn 的长度，即点 B 运动的路径长解答： 解：由题意可知，OM= ，点 N 在直线 y=x 上，ACx 轴于点 M，则OMN 为等腰直角三角形，ON=OM= = 如答图所示，设动点 P 在 O 点（起点）时，点 B 的位置为 B0，动点P 在 N 点（终点）时，点 B 的位置为 Bn，连接 B0BnAOAB0，ANAB n，OAC=B 0ABn，又 AB0=AOtan30，AB n=ANtan30，AB 0：AO=AB n：AN=tan30，AB0BnAON，且相似比为 tan30，B0Bn=ONtan30= = 现在

23、来证明线段 B0Bn 就是点 B 运动的路径（或轨迹） 如答图所示，当点 P 运动至 ON 上的任一点时，设其对应的点 B 为 Bi，连接 AP，AB i，B 0BiAOAB0，APAB i，OAP=B 0ABi，又 AB0=AOtan30，AB i=APtan30，AB 0：AO=AB i：AP，AB0BiAOP，AB 0Bi=AOP又AB 0BnAON，AB 0Bn=AOP，AB0Bi=AB0Bn，点 Bi 在线段 B0Bn 上，即线段 B0Bn 就是点 B 运动的路径（或轨迹） 综上所述，点 B 运动的路径（或轨迹）是线段 B0Bn，其长度为 故答案为： 点评： 本题考查坐标平面内由相似

24、关系确定的点的运动轨迹，难度很大本题的要点有两个：首先，确定点 B 的运动路径是本题的核心，这要求考生有很好的空间想象能力和分析问题的能力；其次，由相似关系求出点B 运动路径的长度，可以大幅简化计算，避免陷入坐标关系的复杂运算之中9 （2013桂林）如图，已知线段 AB=10，AC=BD=2 ，点 P 是 CD 上一动点，分别以 AP、PB 为边向上、向下作正方形 APEF 和 PHKB，设正方形对角线的交点分别为 O1、O 2，当点 P 从点 C 运动到点 D 时，线段 O1O2 中点 G 的运动路径的长是 9考点： 正方形的性质；轨迹719606 专题： 压轴题分析： 根据正方形的性质以及

25、勾股定理即可得出正方形对角线的长，进而得出线段 O1O2 中点 G 的运动路径的长解答： 解：如图所示：当 P 移动到 C 点以及 D 点时，得出 G 点移动路线是 直线，利用正方形的性质即线段 O1O2 中点 G 的运动路径的长就是 O2O的长，线段 AB=10，AC=BD=2，当 P 与 C 重合时，以 AP、PB 为边向上、向下作正方形 APEF 和 PHKB，AP=2，BP=8，则 O1P= ，O 2P=4 ，O2P=O2B=4 ，当 P与 D 重合，则 PB=2，则 AP=8，OP=4 ，OP= ，HO=BO= ，O2O=4 =3 故答案为：3 点评： 此题主要考查了正方形的性质以及

26、勾股定理等知识，根据已知得出 G 点移动的路线是解题关键10 （2013竹溪县模拟）如图：已知 AB=10，点 C、D 在线段 AB 上且AC=DB=1； P 是线段 CD 上的动点，分别以 AP、PB 为边在线段 AB 的同侧作等边AEP 和等边PFB，连结 EF，设 EF 的中点为 G；当点 P 从点 C 运动到点 D 时，则点 G 移动路径的长是 考点： 三角形中位线定理；等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质719606 分析： 分别延长 AE、BF 交于点 H，易证四边形 EPFH 为平行四边形，得出 G 为 PH 中点，则 G 的运行轨迹为三角形 HCD 的中位线 MN再求出 C

27、D 的长，运用中位线的性质求出 MN 的长度即可解答： 解：如图，分别延长 AE、BF 交于点 H，A=FPB=60，AHPF，B=EPA=60，BHPE，四边形 EPFH 为平行四边形，EF 与 HP 互相平分G 为 EF 的中点，G 正好为 PH 中点，即在 P 的运动过程中，G 始终为 PH 的中点，所以 G 的运行轨迹为三角形 HCD 的中位线 MNCD=1011=8，MN=4，即 G 的移动路径长为 4故答案为：4点评： 本题考查了三角形中位线定理及等边三角形的性质，解答本题的关键是作出辅助线，找到点 G 移动的规律，判断出其运动路径，综合性较强1011如图，一根长为 2 米的木棒

28、AB 斜靠在墙角处，此时 BC 为 1 米，当 A 点下滑至 A处并且 AC=1 米时，木棒 AB 的中点 P 运动的路径长为 米考点： 勾股定理的应用；弧长的计算719606 专题： 压轴题分析： 先根据三角函数求出BAC 的度数，再根据直角三角形的性质得到 ACP 的度数，同理求出 BCP的度数，可得PCP 的度数，再根据弧长的计算公式求解即可解答： 解：连接 CP，CP ACB=90，BC=1 米，AB=2 米，BAC=30，P 是木棒 AB 的中点，PC=PA=1 米，PCA=30，同理求出B CP=30，则PCP =30，木棒 AB 的中点 P 运动的路径长为： 21= 米故答案为：

29、 米点评： 考查了三角函数，直角三角形的性质和弧长的计算公式，木棒 AB 的中点 P 运动的路径为半径为 1 的扇形的弧长三解答题（共 1 小题）12 （2012义乌市模拟）如图，边长为 4 的等边 AOB 的顶点 O 在坐标原点，点A 在 x 轴正半轴上，点 B 在第一象限一动点 P 沿 x 轴以每秒 1 个单位长度的速度由点 O 向点 A 匀速运动，当点 P 到达点 A 时停止运动，设点 P 运动的时间是 t秒在点 P 的运动过程中，线段 BP 的中点为点 E，将线段 PE 绕点 P 按顺时针方向旋转 60得 PC （1）当点 P 运动到线段 OA 的中点时，点 C 的坐标为 ；（2）在点

30、 P 从点 O 到点 A 的运动过程中，用含 t 的代数式表示点 C 的坐标；（3）在点 P 从点 O 到点 A 的运动过程中，求出点 C 所经过的路径长考点： 相似形综合题719606 分析： （1）过点作 CDx 轴于点 D，先由等边三角形的性质求出 P 点坐标及 BP 的长，故可得出 PE 的长，由图形旋转的性质求出 PC=PE 及CPD 的度数，再由锐角三角函数的定义即可求出 PD 及 CD 的长，进而可得出结论；（2）过 P 作 PDOB 于点 D，过 C 作 CFPA 于点 F，在 RtOPD 中 PD=OPsin60= ，由相似三角形的判定定理得出BPDPCF，故可得出 CF 及

31、 PF 的长，进而可得出 C 点坐标；（3）取 OA 的中点 M，连接 MC，由（2）得 ， ，由锐角三角函数的定义得出 CMF=30，可知点 C 在直线 MC 上运动故当点 P 在点 O 时，点 C 与点 M 重合当点 P 运动到点 A 时，点 C 的坐标为（5， ） ，由两点间的距离公式即可得出结论解答： 解：（1）如图 1，过点作 CDx 轴于点 D，AOB 是等边三角形， P 是 OA 的中点，11P（ 2，0） ，BP=OB sin60=4 =2 ，E 是 BP 的中点，PE= ，PE=PC= ，BPC=60，CPA=30，PD=PCcos30= = ，CD=PCsin30 = =

32、，OD=OP+PD=2+ = ，C（ ， ） ；（2）如图 2，过 P 作 PDOB 于点 D，过 C 作 CFPA 于点 F在 RtOPD 中 PD=OPsin60= ，OBP+OPB=CPF+OPB=120DBP=FPC，PDB=CFP=90BPDPCF，CF= ，点 C 的坐标是（ ） ； （3）取 OA 的中点 M，连接 MC，由（2）得 ， CMF=30点 C 在直线 MC 上运动当点 P 在点 O 时，点 C 与点 M 重合当点 P 运动到点 A 时，点 C 的坐标为点 C 所经过的路径长为 点评： 本题考查的是相似形综合题及旋转的性质、等边三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键