1、问题 24 含参数的不等式的恒成立、恰成立、能成立问题一、考情分析纵观近几年高考对于不等式综合问题的考查,主要有三类问题：恒成立问题、能成立问题以及恰成立问题,要求学生有较强的推理能力和准确的计算能力,才能顺利解答从实际教学来看,这部分知识能力要求高、难度大,是学生掌握最为薄弱,看到就头疼的题目分析原因,除了这类题目的入手确实不易之外,主要是学生没有形成解题的模式和套路,以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理二、经验分享(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴上方，恒小于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴下方另外常
2、转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数(3)根据不等式恒成立求参数问题，常用的方法是分类参数，转化为函数求最值三、知识拓展不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若 f(x)在区间 D 上存在最小值，则不等式 f(x)A 在区间 D 上恒成立 f(x)minA(x D)；若 f(x)在区间 D 上存在最大值，则不等式 f(x)A 成立 f(x)maxA(x D)；若 f(x)在区间 D 上存在最小值，则在区间 D 上存在实数 x 使不等 式 f(x)A 恰在区间 D 上成立
3、 f(x)A 的解集为 D；不等式 f(x) ,由知hmax（x）= 3ln4,于是得 a 3ln4.点评：在求不等式中的参数范围过程中,当不等式中的参数（或关于参数的式子）能够与其它变量完全分离出来并且分离后不等式其中一边的函数的最值或值域可求时,常用分离参数法.另外要注意方程有解与不等式有解的区别,方程有解常通过分离参数法转化为求函数值域问题,而不等式有解常通过分离参数法转化为求函数最值问题.解析：对任意 2,0x,恒有 ,即 2,0x时 )(xha恒成立,即 min)(xha,由可知a0.点评：比较、 可知不等式恒成立和有解是有明显区别的,切不可混为一团.另外还要注意解决此类问题时参数能
4、否取到端点值.以下充要条件应细心思考,甄别差异：若 )(xf值域为 ,nm,则不等式 )(xfa恒成立 m；不等式 )(xfa有解 n； 若 值域为 ,则不等式 恒成立 ；若 值域为 ,m则不等式)(xfa恒成立 .解析：由题中条件可得 ）（ xf的值域 ， 40A)(xg的值域 ,若对任意 ,恒有 ,即 ,即 a3ln,所以 3ln.点评：与 虽然都是不等式恒成立问题,但却有很大的区别, 中不等式的左右两端函数的自变量相同,而中不等式的左右两端函数的自变量不同, 21,x的取值在0,2上具有任意性.解析：对任意 2,0x,若存在 2,01x,使得 ,即 ,由可知即 a3ln4,所以 .点评：
5、设 )(xg的最大值为 M,对任意 2,0x, 的条件 Mxf)(1,于是问题转化为存在2,01,使得 f1,因此只需 )(f的最小值大于 即 .点评：因为对 )(xf值域内的任一元素在定义域内必存在自变量与其对应,所以对任意 2,0x,若存在2,01x,使得 的充要条件是 )(2xg在 f的值域内,因此, )(g的值域是 )(f的值域的子集.解析：若存在 ,使得 ,则 ,即 4a,所以 4a. 点评：请将 、仔细对比,体味任意与存在的区别.解析：若存在 21,x使得 ,则 AB, 3a,实数 a的取值围是 .0,(五、迁移运用1 【浙江省金华十校 2019 届高三上学期期末】若关于 x 的不
6、等式 在 上恒成立，则实数 a 的取值范围 是 A B C D【答案】A2 【山西省太原市 2019 届高三上学期期末】已知实数 x,y 满足 ，若不等式 ax y0 恒成立，则实数 a 的取值范围为( )A （， ） B （4，） C （ ，4） D （ ，4）【答案】B【解析】作出不等式组对应的平面区域如图阴影所示：若 axy0 恒成立即 yax 恒成立， 根据二次函数的性质可知 ，解得 ，故选 B。7 【湖南省邵阳市 2018 届高三上学期期末】若关于 的不等式 的解集包含区间 ，则 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】原不等式等价于 ,由于函数 在区间 上为增函
7、数,当 ,故 .故选 D.8 【安徽省芜湖市 2018 届高三上学期期末】已知直线 与双曲线 的渐近线交于 两点，设为双曲线上任一点，若 （ 为坐标原点） ，则下列不等式恒成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C 9 【湖北省武汉市 2018 届高中毕业生二月调研】已知实数 ， 满足约束条件 ，若不等式恒成立，则实数 的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A整理函数的解析式有： 14 【江西省重点中学盟校 2019 届高三第一次联考】已知关于实数 的不等式组 构成的平面区域为 ，若 ，使得 恒成立，则实数 的最小值是_【答案】【解析】作出约束条件 所表示的可行域如下：15 【
8、浙江省宁波市 2019 届高三上学期期末】已知不等式 对任意正整数 均成立，则实数 的取值范围_【答案】【解析】由 ，得： ，记 .则 或 ； 或 ；或 ； 或 ；当 时， 或 .所求范围为 .16.已知函数 .（）若对定义域内任意 x, 0f成立,求实数 a的取值范围；（）若 120,求证：对 ,不等式 恒成立.【答案】 （）ae（）详见解析【解析】 （）解： 的导数为 ,令 0fx 得1e,所以 , ,无最小值.（3）又（2）知,当 2,0ax时, ,即 .在 式中,令 ,得 ,即 ,依次令 ,得 .将这 n个式子左右两边分别相加,得 .19.已知函数 xfln)(, （）若 2b,且 存
9、在单调递减区间,求 a的取值范围；（）设函数 )(xf的图象 1C与函数 )(xg图象 2C交于点 QP,过线段 的中点作 x轴的垂线分别交21,C于点 NM,证明 在点 处的切线与 在点 N处的切线不平行.【答案】 （I） （1,0）（0,+） （II）详见解析方法二 分离参数, ,a 的取值范围为（1,0）（0,+）.（II） 设点 P、Q 的坐标分别是（x1, y1）,（x2, y2）,0x1x2.则点 M、N 的横坐标为 C1 在点 M 处的切线斜率为C2 在点 N 处的切线斜率为 假设 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线平行,则 k1=k2.即 ,则= 所以 设,12xt则 令 则因为 1t时, 0)(tr,所以 )(tr在 ,1）上单调递增. 故则. 这与矛盾,假设不成立.故 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线不平行.
