1、问题 12 三角形中的不等问题一、考情分析根据条件确定三角形中角、边、周长或面积的取值范围是解三角形中较难的一类问题,常作为客观题中的压轴题或解答题中的第二问.二、经验分享(1)求角的范围或三角函数值的范围要注意三角形内角和为 这一限制条件(2)求边的范围可利用正弦定理把边转化为三角函数,利用三角函数的有界性求范围或根据角的范围利用余弦定理求边的范围,同时要注意两边之和大于第三边.(3)求周长或面积的范围与最值可转化为边与角的范围,也可利用基本不等式求范围三、知识拓展(1)若 ABC 是锐角三角形,则 , 、(2)若 ABC 中,若 A 是锐角,则 22abc；若 A 是钝角,则 22abc(
2、3) ABC 中 ,若 3,则 , , =.(4)若 ,abc成等差数列,则 3B.四、题型分析(一) 角或角的三角函数的范围或最值【例 1】 【湖北省 2019 届高三 1 月联考】在 中，角 、 、 的对边分别是 、 、 ，若，则 的最小值为（ ）A B C D【答案】D【分析】由题意利用正弦定理化简已知等式，利用同角三角函数间基本关系可求 tanA3tan B，进而利用正弦定理，基本不等式化简所求即可求解【解析】 acosB bcosA ，由正弦定理化简得：sin AcosBsin BcosA sinC sin（ A+B）sinAcosB cosAsinB，整理得：sin AcosB3c
3、os AsinB，cos AcosB0，tan A3tan B；则 2 2 2 可得 的最小值为 故选 D【点评】求三角函数式的范围一般是先确定角的范围,利用利用三角函数的单调性及有界性求范围与最值,有时也利用基本不等式求最值. 【点评】本题主要考查三角形中位线定理、正弦定理及求范围问题,属于难题.求范围问题的常见方法有 配方法；换元法；不等式法；图象法；函数单调性法：将问题转化为关于某一参变量的函数后,首先确定函数的定义域,然后准确地找出其单调区间 ,最后再根据其单调性求凼数的值域；本题就是先将BECF表示为关于 t的函数,再根据方法解答的.【小试牛刀】 【湖南省湘潭市 2019 届高三上学
4、期第一次模拟】 的内角 所对的边分别为 ，已知， ，则 的最小值为_【答案】 【解析】因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，由余弦定理，得 ，即 .(三) 周长的范围或最值【例 3】 【2018 届江西省 K12 联盟高三教育质量检测】在锐角 ABC中, 2c, .（1）若 ABC的面积等于 3,求 a、 b；（2）求 的周长的取值范围.【分析】 （1）利用已知条件通过正弦定理集合三角形的面积,余弦定理转化求解即可；（2）利用正弦定理表示三角形的周长,利用三角函数的有界性求解即可（2）由正弦定理得 , ,记 ABC周长为 l,则,又 23AB,ABC为锐角三角形, .【点评】周长问题也可看做是边长问
5、题的延伸,所以在解决周长相关问题时,着眼于边长之间的关系,结合边长求最值(范围)的解决方式,通常都能找到正确的解题途径.【小试牛刀】 CA中,角 、 、 所对的边为 a、 b、 c,且 （1）求角 ；（2）若 a,求 的周长的最大值 【答案】 （1） ；（2）60A(四) 面积的范围与最值【例 4】如图,在等腰直角三角形 OPQ 中, POQ90, OP2 ,点 M 在线段 PQ 上(1)若 5OM,求 PM 的长；(2)若点 N 在线段 MQ 上,且 MON30,问：当 POM 取何值时, OMN 的面积最小？并求出面积的最小值【分析】第(1)题利用余弦定理求 MP 的长,难度不大；第(2)
6、题求 OMN 的面积最小值,前面的要求也很明确：以 POM 为自变量,因此,本题的中点就是如何将 OMN 的面积表示为 POM 的函数关系式,进而利用函数最值求解.其中,利用正弦定理将 OM 和 ON 的长表示为 POM 的函数是关键.【解析】(1)在 OMP中, , 5OM, 2P,由余弦定理得, ,得 , 解得 1或 3 由 31cosA,不妨设外接圆的半径 R3则 OA OB OC3 cos COD , OD1, DC 2 B(2 ,0),C(2 ,0),O(0,1),A(m,n)则 ABC 外接圆的方程为： x2( y1) 29(*) ,( m,1 n) x(2m,n) y(2m,n)
7、, 1xy时,否则 COxB,由图可知是不可能的.可化为 ,代入(*)可得 ,化为 18(x y)932 xy,【答案】 D【点评】三角函数值也是一个实数,所以,它也可以与其他实数进行代数运算,也可以与其它知识点进行交汇,如向量、数列、不等式等等,解题中要综合这些知识和相关方法,灵活处理,才能既快又准的解决问题.【小试牛刀】 【山东省日照 2019 届高三上学期第二次检测】已知 M 是ABC 内的一点，且=4 ，BAC=30，若MBC，MCA 和MAB 的面积分别为 1，x，y，则 的最小值是（ ）A20 B18 C16 D9【答案】D【解析】因为 =4 ，BAC=30，所以 。所以 。 因为
8、MBC，MCA 和MAB 的面积分别为 1，x，y，所以 ，所以 。所以 。当且仅当 即 时，上式取“=”号。所以， 时， 取最小值 9.故选 D。 7 【2018 届四川省绵阳市高三二诊】在 ABC中, ,abc分别为 所对的边,若函数有极值 点,则 的最小值是（ ）A. 0 B. 32 C. D. -1【答案】D【解析】 ,f（x）=x 2+2bx+（a 2+c2-ac）,又函数 有极值点,x 2+2bx+（a 2+c2-ac）=0 有两个不同的根,=（2b） 2-4（a 2+c2-ac）0,即 aca 2+c2-b2,即 ac2accosB；即 cosB 1,故B 的范围是（3， ） ，
9、 所以 23B 5,当 时 的最小值是-1,故选 D8 【2018 届河南省郑州市高中毕业班第一次质量检测】在 ABC中,角 ,的对边分别为 ,abc,且,若 AC的面积为 3Sc,则 ab的最小值为（ ）A. 28 B. 36 C. 48 D. 56【答案】C9 【2018 四川省成都市高三上学期 12 月月考】锐角 ABC中,内角 , B, C的对边分别为 a, b, c,且满足 ,若 3a,则 2bc的取值范围是（ ）A. 5,6 B. 3,5 C. 3,6 D. 5【答案】A【解析】 ,由正弦定理可得, ,化为,由余弦定理可得, 为锐角,可得 3A, 3,a由正弦定理可得, 可得, ,
10、可得 , ,可得 ,故选 A.10.【2017 河北省冀州中学上学期第二次阶段考试】在锐角 ABC中,若 2,则 ab的范围是（ ,b分别为角 A,B的对边长） （ ）A (23) B (3,2) C.(0,) D (2,)【答案】A11.【 2018 届江西省临川二中、新余四中高三 1 月联合考试】如图所示,在平面四边形 ABCD中, 1, 2BC,为 AD正三角形,则 BCD面积的最大值为_【答案】 31【解析】在 ABC 中,设 ACB= , ACB= ,由余弦定理得：AC2=12+22212cos =54cos , ACD 为正三角形, CD2=54cos ,由正弦定理得： 1ACsi
11、n, ACsin =sin , CDsin =sin ,( CDcos )2=CD2(1sin2 )=CD2sin2 =54cos sin2 =(2cos )2 BAC, 为锐角, CDcos =2cos ,当 56时, . 17 【2019 年上海市普陀区高考数学一模】在 中，三个内角 A， B， C 所对的边依次为 a， b， c，且求 的值；设 ，求 的取值范围18 【河南省开封市 2019 届高三上学期第一次模拟】在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 .（）求角 ；（）若 ，求 面积的最大值.【解析】 （）由已知及正弦定理得： ， ， ， ， . （） 的面积 ，由 及余
12、弦定理得 ，又 ，故 ，当且仅当 时，等号成立. 面积的最大值为 .19 【四川省绵阳市 2019 届高三第二次（1 月)诊断】ABC 的内角 ABC 的对边分别为 a，b，c，己知b（c asinC） 。（1)求角 A 的大小；(2）设 b=c，N 是ABC 所在平面上一点，且与 A 点分别位于直线 BC 的两侧，如图，若 BN=4，CN=2，求四边形 ABNC 面积的最大值（2）在 BCN 中，由余弦定理得 BC2=NB2+NC2-2NB NCcosN， BN=4， CN=2， BC2=16+4-16cosN =20-16cosN 由（1）和 b=c，得 ABC 是等腰直角三角形，于是 AB=AC= BC， 四边形 ABCD 的面积 S=S ABC+S BCN= = = 当 N= 时， S 取最大值 ，即四边形 ABCD 的面积的最大值是
