1、华东师大版精品课件,圆的整章复习,知识体系,圆,基本性质,直线与圆的位置关系,圆与圆的位置关系,概念,对称性,垂径定理,圆心角、弧、弦之间的关系定理,圆周角与圆心角的关系,切线的性质,切线的判定,切线的作图,弧长、扇形面积和圆锥的侧面积相关计算,正多边形和圆,位置分类,性质,公切线的作图,关系定理,有关计算,圆的定义（运动观点）,在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆。 固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以点O为圆心的圆，记作O，读作“圆O”,圆的定义辨析,篮球是圆吗？ 圆必须在一个平面内 以3cm为半径画圆，能画多少个？ 以点O为圆心
2、画圆，能画多少个？ 由此，你发现半径和圆心分别有什么作用？ 半径确定圆的大小；圆心确定圆的位置 圆是“圆周”还是“圆面”？ 圆是一条封闭曲线 圆周上的点与圆心有什么关系？,点与圆的位置关系,圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合。 圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合。 圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合。 由此，你发现点与圆的位置关系是由什么来决定的呢？,如果圆的半径为r， 点到圆心的距离为d，则：点在圆上 d=r点在圆内 dr,与圆有关的概念,弦和直径 什么是弦？什么是直径？ 直径是弦吗？弦是直径吗？ 弧与半圆 什么是圆弧（弧）？怎样表示？ 弧分成哪几类？ 半圆是弧吗
3、？弧是半圆吗？ 弓形是什么？ 同心圆、同圆、等圆和等弧 怎样的两个圆叫同心圆？ 怎样的两个圆叫等圆？ 同圆和等圆有什么性质？ 什么叫等弧？,思考：确定一条直线的条件是什么？ 类比联想：是否也存在由几个点确定一个圆呢？ 讨论：经过一个点，能作出多少个圆？经过两个点，如何作圆，能作多少个？经过三个点，如何作圆，能作多少个？,经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆， 外接圆的圆心叫做三角形的外心， 三角形叫做圆的内接三角形。,问题1：如何作三角形的外接圆？如何找三角形的外心？ 问题2：三角形的外心一定 在三角形内吗？,C90,ABC是锐角三角形,ABC是钝角三角形,从特殊到一般,想一想：将一个圆
4、沿着任一条直径对折，两侧半圆会有什么关系？ 性质：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。,观察右图，有什么等量关系？,垂直于弦的直径,AO=BO=CO=DO，弧AD弧BC，弧AC弧BD。,AO=BO=CO=DO，弧AD弧BC=弧AC弧BD。,AO=BO=CO=DO，弧AD弧BD，弧AC弧BC, AEBE 。,垂径定理,垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。,练习,若圆心到弦的距离用d表示，半径用r表示，弦长用a表示，这三者之间有怎样的关系？,如图，P为O的弦BA延长线上一点，PAAB2，PO5，求O的半径。,辅助线,关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段
5、，这是一条非常重要的辅助线。 圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。,想一想：如果将题设和结论中的5个条件适当互换，情况会怎样？,垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。,（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。,推论1,如图，CD为O的直径，ABCD，EFCD，你能得到什么结论？,推论2,弧AE弧BF,圆的两条平行弦所夹的弧相等。,圆的性质,圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。 圆
6、是以圆心为对称中心的中心对称图形。 圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合。,圆心角：顶点在圆心的角。 （如：AOB）,弦心距：从圆心到弦的距离。 （如：OC）,相关定义,猜想与证明,如图，AOBAOB，OCAB，OCAB。 猜想：弧AB与弧AB，AB与AB，OC与OC之间的关系，并证明你的猜想。,定理 相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。,在同圆或等圆中，,圆心角所对的弧相等， 圆心角所对的弦相等， 圆心角所对弦的弦心距相等。,推论 在同圆或等圆中， 如果两个圆心角、两条弧、 两条弦或两条弦的弦心距中有 一组量相等，那么它们所对应 的其
7、余各组量都分别相等。,在同圆或等圆中 (前提),圆心角相等 （条件）,定理推论,圆周角,圆心角：如BOA,圆内角：如BCA,圆周角：如BDA,圆外角：如BFA,角的顶点在圆心,角的顶点在圆周上 是否顶点在圆周上的角就是圆周角呢?,动起来!,圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角。 圆心角: 顶点在圆心的角.,看清要点,画图:同一条弧所对的圆周角和圆心角之间可能出现哪几种不同的位置关系?,大胆猜想,回顾：圆心角等于它所对的弧的度数的一半。 猜想：圆周角和圆心角都是与圆有关的角，它们之间有什么关系？,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半,定理,圆周角定理,分类讨论,完全归纳法,数学思想,
8、1、已知AOB75，求： ACB,2、已知AOB120，求： ACB,3、已知ACD30，求： AOB,4、已知AOB110，求： ACB,如图，比较ACB、ADB、AEB的大小,同弧所对的圆周角相等,如图，如果弧AB弧CD，那么E和F是什么关系？反过来呢？,等弧所对的圆周角相等；在同圆中，相等的圆周角所对的弧也相等,如图，O1和O2是等圆，如果弧AB弧CD，那么E和F是什么关系？反过来呢？,等圆也成立,推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。,思考： 1、“同圆或等圆”的条件能否去掉？ 2、判断正误：在同圆或等圆中，如果两个 圆心角、两条弧、两条弦、两条
9、弦心距、两个 圆周角中有一组量相等，那么它们所对应的 其余各组量也相等。,推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是90；90的圆周角所对的弦是直径。,推论3 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。,什么时候圆周角是直角？反过来呢？ 直角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？,已知：点O是ABC的外心， BOC130，求A的度数。,直线和圆的位置关系,2个,1个,无,dr,dr,dr,交点,切点,割线,切线,有且仅有,熟记,直线和圆的位置关系,2个,1个,无,dr,dr,dr,相交,相离,相切,熟记,判断一条直线是不是圆的切线 使用定义：直线和圆有唯一的公共点 圆心到直线
10、的距离d等于半径r时，直线和圆相切,说说看：以上两种判断办法是否方便应用呢？,操作：画O，在O上任取一点A，连结OA，过A点作直线lOA,直线l是否与O相切呢？ 从作图过程看，这条切线l满足哪些条件？l 经过半径外端l垂直于这条半径,穷则思变,切线判定的方法,利用切线定义 利用圆心到直线的距离等于半径 利用切线判断定理辅助线技巧： 若直线过圆上某一点，则连结圆心和公共点，再证明直线与半径垂直 若直线与圆的公共点没有确定，则过圆心向直线作垂线，再证明圆心到直线的距离等于半径。,Review,切线判定：直线l：过半径外端垂直于半径 切线性质：切线l，A为切点：OAl,理解记忆,类比猜想,切线的性质
11、定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。,推论： 1、经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 2、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心,切线性质定理的推广,性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径 推1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 推2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心,浓缩提炼,你能用一个定理把圆的切线的性质及它的两个推论概括出来吗？,如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可以推出第三个：（1）垂直于切线；（2）过切点；（3）过圆心。,问题,如何在一个三角形中剪下一个圆，使得该圆的面积尽可能的大？,思考,定义,和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆；内切圆的圆心叫做三角形的内心
12、；这个三角形叫做圆的外切三角形。,三角形的内心是三角形内角平分线的交点。,三角形的内心是否也有在三角形内、三角形外或三角形上三种不同情况。,记忆,三角形的各种“心“,Hearts of Triangle,三条高线的交点,三条角平分线的交点,三边垂直平分线的交点,三条中线的交点,在形内、形外或直角顶点,在形内、形外或斜边中点,在形内,在形内,到三角形各顶点距离相等,到三角形三边距离相等,把中线分成了2:1两部分,已知ABC的内切圆半径为r，求证： ABC的面积SABCcr。（c为ABC的半周长）,O,三角形的外接圆：,三角形的内切圆：,I,特殊三角形外接圆、内切圆半径的求法：,直角三角形外接圆、
13、内切圆半径的求法,等边三角形外接圆、 内切圆半径的求法,基本思路： 构造三角形BOD，BO为外接圆半径，DO为内切圆半径。,O,D,圆的内接四边形,定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。,DB180 AC180,EABBCD FCBBAD,对角,外角,内对角,切线长的定义以及定理,切线与切线长的区别： 切线是直线，不能度量。 切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外的一点和切点，可以度量。,PA、PB分别切O于A、B,切线长定理： 题设：从圆外一点引圆 的两条切线 结论：切线长相等， 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 几何表述：,PO平分AOB PO垂直平
14、分AB PO平分弧AB,PAPB PO平分APB,推广,切线长定理,圆的外切四边形的重要性质,四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和O分别相交相切于点L、M、N、P。观察图并结合切线长定理，你发现了什么结论？并证明之。,圆的外切四边形的两组对边的和相等 ABCDADBC,弦切角的定义,弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角。 要点： 顶点在圆上 一边和圆相交 一边和圆相切,判断下列各图形中的A是不是弦切角，并说明理由。,还记得什么是分类讨论吗？ 还记得什么是化归吗？ 还记得什么是完全归纳法吗？,弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。,定 理,如图，DE切O于A，AB，A
15、C是O的弦，若弧AB弧AC，那么DAB和EAC是否相等？为什么？,推论,若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等。,等腰梯形各边都与O相切， O的直径为6cm，等腰梯形的腰等于8cm，则梯形的面积为_。,圆的外切四边形的两组对边的和相等 ABCDADBC,与圆有关的比例线段,相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。,PAPB=PCPD,切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。,PT2= PAPB,如图，CD是弦，AB是直径，CDAB，垂足为P。 求证：PC2PAPB,演变与一题多解,你能用两种不同的原理证明吗？,相交弦
16、定理推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。,PC2= PAPB,如图，PAB和PCD是O的两条割线。 求证：PAPBPCPD,演变与一题多解,你能用多种不同的原理证明吗？,切割线定理推论（割线定理） 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。,PAPBPCPD,圆和圆的 位置关系,外离,内含,两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部。,两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的内部。,dR+r,dR-r,外切,内切,两个圆有唯一公共点，并且除这公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部。,两个圆有唯一公共点，
17、并且除这公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的内部。,d=R+r,d=R-r,相交,两个圆有两个公共点。,R-rdR+r,如果两圆相切，那么切点在连心线上。,相切两圆的性质,生活中的公切线,公切线的相关概念,公切线：和两圆都相切的直线。,思考： 两个圆是否一定有公切线？ 若有，那么会有多少条公切线？,公切线数量&两圆位置关系,重点：关于公切线长的计算,公切线的长的计算 思想：构造直角三角形，利用勾股定理 计算式：,联想： 通常构造直角三角形的知识点：垂径定理、切线长定理、公切线 思考： 两圆内切时，内（外）公切线的长怎样？ 两圆外切时，内公切线的长怎样？此时，外公切线长是两圆直径的比例中项，怎样
18、证明？,辅助线：构造Rt,要做一个如图那样的V形架，将两个钢管托起，已知钢管的外径分别为200mm和80mm，求V形角的度数。,从边长分别为a、b（ab）的矩形纸片上剪下一个最大的圆，然后再从剩下的余料中又剪下一个尽可能大的圆，求第二次剪下的圆的直径。,计算题： 两圆外切，通常辅助线的添法是连结两圆圆心，平移外公切线，构成直角三角形，利用勾股定理计算。,辅助线：作公切线,如图，O1和O2内切于P，大圆的弦AB交小圆于C、D。 求证：APCBPD。,如图，O1和O2外切于A，BC是O1和O2的公切线，B、C为切点。 求证：ABAC,相交两圆的连心线垂直平分公共弦。,相交两圆的性质,圆周长,圆周长
19、C与半径R之间的关系：C2R,有关圆的计算问题,圆面积,圆面积与半径R之间的关系：,弧长计算公式,公式中n和180都不要带单位“度” 圆心角的单位必须化为“度” 题中没有标明精确度，结果用表示,圆、扇形、弓形的面积,一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形,扇形,回忆弧长计算公式的推导过程，你能否相应地推出扇形面积的计算公式呢？,扇形面积,观察扇形面积公式，你发现它和弧长公式之间有什么关系？,怎样才能牢固地记忆这两个公式呢？,2,360,R,n,S,p,=,扇形,弓形：由弦及其所对的弧组成的图形,弓形面积,S弓形= S扇形-SAOB,S弓形= S扇形+SAOB,S弓形=S半圆,圆柱和圆锥,侧面展开图,的,圆柱与圆锥的有关概念,圆柱 圆柱的高 圆柱的运动定义 圆柱的轴 圆柱的母线,圆锥 圆锥的高 圆锥的运动定义 圆锥的轴 圆锥的母线,O,圆柱的基本性质,圆柱侧面展开图是矩形 矩形的一边长等于圆柱的高，即母线长 另一边长是底面圆的周长 圆柱的侧面积底面圆的周长圆柱的高,侧面展开图是扇形 扇形的半径是圆锥的母线长 弧长是圆锥底面圆的周长 圆锥的侧面积等于扇形的面积 S侧2rara； S底r2； Srar2,
