1、第六章 低速宏观运动规律的正则形式 运动规律的表述形式：牛顿形式、拉格朗日形式、哈密顿形式、泊松括号 对于拉格朗日形式： 1.力学系统的描述：2.拉格朗日方程：,3. 缺点：方程中 地位不平等力学系统的描述改为： (广义坐标)、 (广义动量) 。：有共轭关系。用 这一对变量深刻反映了运动本质，且可得到更为对称的运动方程 正则方程。 1.6.1 哈密顿方程一、勒让德变换 （将 ）,设：f = f (x,y)两变量 则 又 两式相减：关于x,Q变量的全微分 (勒让德变换),变换后的函数：Q=Q(x,y) y=y(x,Q) ：从Q=Q(x,y)解出y=y(x,Q)f = f (x,y) f = f
2、(x,Q) 因此：g=f Qy=g(x,Q)说明： 1(1)、(2)两式相减的另外一种结果：(本质上与前面无差别),2若要将变量x变为P ，则上两式相减：这样,3.对于用Q取代y，则将df中的dy前的Q乘以被取代的y， 再减去原函数 f；用P取代x，则将df中的dx前的P乘以 被取代的x，再减去原函数 f。4. f = f (x,y,z)三个变量 (可推广到N个变量)要将 ，采用与前面一样的方法， 有：,二、哈密顿函数 设： ，t 固定参量 则：,又广义动量：拉格朗日方程：而 (上式中 不对称),目的： 作变换： 哈密顿函数得：又,与 比较得：H就是系统的能量E。在 中，H只是 的函数。一般情
3、况：三、哈密顿方程 由 H=H(q, p)得到：,比较于是有：哈密顿方程 (正则方程,系统的运动方程),说明： 1数学上：哈密顿形式上为一阶微分方程(2s个)，而拉格朗日形式上为二阶微分方程简化数学计算； 2哈密顿方程中， 地位平等相互共轭的正则变量； 3哈密顿正则形式对称，有利于从经典力学到量子力学的过渡。,四、最小作用量原理 已学：由最小作用量原理导出拉格朗日方程 现在：由最小作用量原理导出哈密顿方程因为 ， 所以 。将L代入作用量 ，得：,而,极值条件：又 互相独立，所以,即哈密顿方程五、相空间 定义：仅由广义坐标 形成的空间叫位形空间；由 这一对共轭变量形成的空间叫相空间。在任一时刻t
4、，在给定位形空间中的一点r(t)，不能 确定质点的运动。为了决定质点的运动，还必须知道这 一时刻位矢的导数 ，而这意味着需要知道相邻时刻 的r(t)。,要使得给定空间中的一点能完全决定质点的运动， 将3个坐标分量 和3个动量分量 合在一起，形成一个6维欧氏空间，称为这一质点的相 空间。这样，给定相空间中的一点，就完全决定了质 点的运动。质点在相空间中的代表点随时间t的变化所描出的 曲线称为质点的相轨迹。对于周期运动，相轨迹是闭 合曲线。,1.6.1 守恒律 泊松括号 (Poisson Bracket)一、力学量对时间的导数哈密顿形式下， 力学系统的状态。 力学量用 来表示的例子： 一维线性谐振
5、子：2. 粒子的能量、角动量,设：f 力学系统的任意力学量。 一般情况：f = f (p,q,t)，则哈密顿方程：,定义：H和f 的泊松括号用泊松括号表示的力学量随时间的演化方程,说明： 1用泊松括号，可以使任一力学量随时间的变化方程表述得非常简洁； 2泊松括号形式很容易过渡到量子力学：量子泊松括号。量力泊松括号到经典泊松括号的过渡参见曾谨言量子力学下册p464-p466，或参见教材p464：,二、用泊松括号表示出的运动方程 因为1.f中不显含时间，只含 则2. f中不显含时间，只含,则即用泊松括号表示的运动方程 实际上：,三、能量守恒与动量守恒 设： f = f (p,q)不显含时间t，即
6、则：又若f 守恒不显含时间t的力学量守恒的充分必要条件是它和H的泊松括号等于零,若：H不显含时间t，则H是守恒量能量守恒循环坐标：在拉格朗日函数中不包含的某一广义坐标。 1.设：H不包含某一广义坐标 ，则与循环坐标 对应的广义动量 守恒,2.设：H不包含 ，则因此，广义动量也称为循环坐标。这样，在哈密顿表述中，广义坐标概念被推广，地位相等，广义动量也可视为广义坐标。,四、泊松括号的性质 设：任意两个函数 f, g：f = f (q, p, t), g = g(q, p, t) 定义：f 和 g的泊松括号为泊松括号的重要性质： 1基本的泊松括号(由正则变量组成),2反对易性3分配律4结合律5若c
7、为常量，则6求导运算,x：时间、广义坐标、广义动量等变量7线性8雅可比关系对于哈密顿正则方程的说明： 1提供了一个形式简洁而又完善的统一的运动微分方程；,2并未直接减少求解给定力学问题的困难程度。因为求解哈密顿正则方程归根到底仍是求解拉格朗日方程。1.6.3 正则变换一、正则变换的涵义广义坐标为 ，是决定系统中所有质点位置的独立变量。设 为 的单值可逆函数，即,决定 ，即决定了系统中所有质点的位置也是广义坐标 是 之间的变换 例：笛卡尔坐标和球坐标之间的关系就是这种变换。,都是广义坐标。笛卡尔坐标和柱坐标之间的关系也是这种变换。变换表示广义坐标的选取不唯一。对拉格朗日、哈密顿表述都如此 但：在
8、哈密顿表述中， 地位平等，坐标和动量已失去其原有的意义。寻找更广泛的变换,在变换中， 中同时包含 当 时，哈密顿函数使得：此时称： 为正则变换。 变换的结果：,问题的关键：寻找正则变换二、正则变换的生成函数 由变分原理，有类似地：,由前面变分原理的两个表达式可得：两个被积函 数相差一个任意函数F对时间的全导数，即事实上：而在端点处：,(1)式中的F称为正则变换的生成函数，即4s+1个变量其中： 2 s个方程除去时间变量外， 有2s个独立变量。F有四种形式：,选 ，则比较：,即：若给定 ，则,因为：恒等式：,所以令中的 ：,又而比较得：,若：给定则：同理：,三、正则变换举例 1由 生成的变换 设：因所以,恒等变换2由 生成的变换 设：因所以,结论：老的广义动量 新的广义动量老的广义坐标 新的广义动量 (相差一负号)坐标、动量平等哈密顿雅可比理论 生成函数 正则变换,
