第17章多变量积分学.doc

1、552多变量积分学前言正如定积分源于平面几何图形的面积计算一样，多元函数的积分学产生背景也是人类在认识自然的活动过程中所遇到的各种几何或物理问题。例 1：质量分布问题1）平面图形上质量的分布：设平面区域 上分布有质量（密度非均匀） ，计算其质量。首先将其抽象为数学问题，即进行数学化处理：将平面区域 放在二维坐标系中，对应区域仍记为 ，设已知密度函数，求质量 。),(yxf m我们从最简单的情况出发，逐步得到一般情况下的公式。这是解决实际问题的一般程序。i)、特殊情况 最简单、特殊的情形是均匀密度的质量分布，此时 ，故 （ 为 之面积） 。),(yxf Sii)、一般情况 现在设考虑非均匀密度的

2、质量分布。设密度函数为 ，如何求质量？),(f常规的思路：将一般、复杂的情形转化为简单、特殊的情形来处理。方法：分割近似求和法。具体过程：1、 分割 ： ，则当分割很细时， （密nn,21 ),(yxf度）在 上变化不大，因而，可在 上视为常密度的均匀质量分ii布，对应的质量块可由 i)中的公式近似计算。2、近似计算：任取 ，则 ， （这里i,iiiifm),(也代表 的面积） ，因而 。ii iii3：取极限：采用定积分思想，可设想：， 为分割细度。iifm),(li0这样，平面上质量分布问题在数学上就是上述形式的二元函数的553和式极限问题。2） 、空间区域的质量分布：类似，在一个空间区域

3、上密度非均匀的质量分布问题，也可表示为类似的上述极限问题： ，其中，V 是对应iiivfm),(li0于 3D 坐标系下的空间区域， 定义在 V 上为已知的密度函数，),zyx为分割后的第 个小区域， ， 为分割细度。ivi iiivf(d数学上：空间区域的质量分布问题是三元函数的和式极限的问题。3）：空间曲线（曲面）上的质量分布：类似的方法，可以给出其他情况下质量分布的计算公式。空间曲线的质量分布： ；iilfm),(li0空间曲面的质量分布： iiid上述问题的结果具有共同的实质，数学上，它们都是多元函数某种和式的极限问题。相似的问题还出现在几何问题中。例 2：计算空间区域 V 的体积 V

4、。类似平面任意几何图形的面积的计算。将空间区域 V 放在 3D 坐标下，作其在 面内的投影区域 ，以 为准线，平行于 轴的xoyz直线为母线作柱面，它与 V 有一条交线 ，通过 作 V 的表面分为上ll半部分 和下半部分 ，则 V 的体积可转化为以 为顶，以 为底2S1S2S的曲顶柱体的体积减去以 为顶，以 为底的曲顶柱体的体积。因此，V 的体积的计算就转化为曲顶柱体体积的计算，为此，我们先计算如图曲顶柱体的体积。已知曲顶所在的曲面方程为 z=f(x,y),曲顶在 xoy 坐标平面的投影区域为 ，计算此曲顶柱体的体积 V。仍采用积分思想。由于与此相近的柱体的体积计算公式是已知的：底面积高。故，

5、可以通过分割近似求和来处理。分割 ： ；nn,21对应曲面 S 有一个分割： ，任取 ，对应的体nS,21 i554积可用柱体体积来近似： ,故 ，这iif),(0lim(,)iiVf和平面区域上质量的分布计算公式具有相同特征。由此可以看出：物理上和几何上都提出了在数学上实质相同的一类问题，把其具体的背景去掉，抽取其数学上的本质，进行研究，并作出相应的推广，就形成了相应的数学理论，这便是多元函数的积分学。因此，上述质量问题用多元函数的积分表示为：-二重积分iifdxyf ),(lim),(0-三重积分iiiv vz,-第一类曲线积分 iil lflzyxf ),(i),(0-第一类曲面积分ii

6、iS Sd还有一类物理问题产生更复杂的多元函数的积分类型。例 3：变力做功问题。设质点在变力 的作用下，从空间 A 点沿曲线 移动到 B 点，计F l算变力 的功。已知常力 作用在质点使之沿直线从 A 点移动到 B 点，则做功为： ，利用上述思想，可计算变力做功。cosABW对路径曲线 作 分割,在每一小段上近似为常力做功，故n，iiiii AFF11cos记 ，且 ，则F ),(),(),(zyxRQzyxP ,1iiii zyx， ),( iiiiiiiii RyW故， ),(),(),(limiiiiiiiii zx这又是一种和式的极限，这种和式的极限也对应于一种多元函数的积分：555第

7、二类曲线积分： 。ABRdzQyPx类似还可引入第二类曲面积分： 。S xd所有上述各种积分，就形成了多元函数积分学的主要内容，我们将逐次介绍以上各种积分的定义性质、计算方法和相互间的联系。第十七章 重积分本章介绍重积分的概念和计算，重点以二重和三重积分为例。1 二重积分556正如在定积分中，我们首先引入 常义定积分：即被积函数有界，积分区间 有限。所谓区间 有限，是指对应函数轴上的线段ba, ba,是可求长的，这在一维空间中是很明显的事实。在讨论二重积分时，也涉及到与定积分中线段的可求长的类似问题，即平面图形的面积可求性问题。事实上，正如我们引言中初步提出的那样，二重积分实际是如下和式的极限

8、： ，显然，取iifdxyf ),(lim),(0， （ 应存在） ， ，因此，曲1fSfdxy Sfiii ),域 的面积应该是可求的。那么，一个平面有界区域的面积是否可求？用什么标准来衡量可求性，这是我们在介绍二重积分前应解决的问题。一：平面区域的面积。设 是有界的二维平面区域，考虑其面积的可求性。2RD由于 有界，因而存在矩形 ，使 。,dcbaRRD分割 ： ；nba, n10分割 ：mdcc过这些分点分别做坐标轴的平行线，就形成了关于区域 R 的一个矩形分割 T：即 T 将 R 分割成若干个小矩形块：，利用这些小矩形块 与区域 D 的关系，,11jjiiij caR ij将其分为三类

9、：（1）： ；Dij（2）： 中既有 D 中的点又有非 D 中的点；ijR（3）： 。oij记第一类小矩形块的指标集为： ； :),(Rjiij第二类小矩形块的指标集为： 。:),( 中 的 点中 的 点 又 有 非中 既 有 DRjiij557又记，)()(,)(),(),( TsSTSTsjiiIjii 其中 为 的面积。ijijR显然： ，其中 为 R 的面积。 （类似定0()RsSS积分中的达步上、下和，成立类似性质：加细时， 不增，)(TS不减，且 ）记：)(Ts )(:,TsT，二者显然存在，且 ，常称up,inf()TS _0s为 D 内面积， 为其外面积。s_定义 1：对平面区

10、域 D，若 ，称 D 是可求面积的且其_Ss面积 。_Ss由于平面区域的面积可用定积分来表示，因而，利用定积分可积的达布的充要条件形式，可得：定理 1、 （可求面积的充要条件）平面区域 D 可求面各的充要条件是： 分割 ，使 。,0T)(tsS证明：必要性：设平面区域 D 可求面积，且其面积为 ，则由定义： ，因而： ，使s_s 21,0T； ，2)(1T)(_2sST记 ，则： ，因而，2(,)(1s， ，)(sS故： 。TS充分性：设 使 ，则由于,0)(Ts558，故， ，由任意性，则)()(_TSsT )(_TsSs，即 D 是可求面积的。我们知道：线段有长度而没有面积，曲线是否也是如

11、此？注意到平面有界区域的边界是曲线，能否用边界曲线的面积是否为 0 来刻划区域的面积可求性？定理 2：平面有界区域 D 可求面积的充要条件是边界曲线的面积为 0。l证明：由定理 1，注意到边界曲线 的面积 满足：lls即可。)(0TsSsl注：平面曲线的面积并不一定为 0。Peano 发现将实数轴上的闭区间映射平面上的一个二维区域（如正方形）的函数，因而这条曲线在平面上的面积并不为 0，这条曲线称)(xfy为 Peano 曲线。 但可证明：平面上光滑或分段光滑的连续曲线，其面积为 0。注：今后涉及到的平面区域都设为可求面积的区域。二：二重积分的定义和性质从引言中可知，这类积分的背景源于几何中曲

12、顶柱体的体积的计算。当然，在物理及工程技术领域中经常遇到类似的问题，如求非均匀密度的平面质量分布、重心、转动惯量等问题。这些问题尽管实际的背景不同，从数学上具相同的本质，都可以转化为某种和式的极限即二重积分。下面，我们从数学上给出二重积分的定义，并进一步研究其性质和计算。设 D 是 平面上的可求面积的有界闭区域， 为定xoy ),(yxf义在 D 上的函数。 是 D 的分割， ，记 为 之T1:,nTD ii面积，直径 ， 为12sup(,)idma:iiid为 的 直 径分割细度，任取 ，作和式： 。,ii(,)iif定义 1、设 I 是一个确定的实数，若 ，使任意0,559分割 T：只要

13、，都成立： ，称(,)iifDI在 D 上（二重）可积，I 称为 在 D 上的二重积分，记),(yxf为 。(,)Ifd注：由定义 ，注意到(,)DIfxyd0lim(,)iif的面积含义，则二重积分实际是对面积的积分。iD注：常用的分割为平行于坐标轴的矩形分割，故此时，因此，二重积分也常记为：iixy 。(,)DIfdxy0lim(,)iifxy其中： 为被积函数， 为积分变量； 为积分区域。f,几何意义：1） 、 时， 为曲顶柱体之体积。0f(,)DIfxyd2） 、 时， 。1DxyS类似定积分可引入 Darboux 上、下和，由此刻划可积性，记 ，sup(,)inf(,)ii DDMf

14、xym(),i iSTsT则：1） 在 D 上可积等价于 ；,yxf )(lim)(l00TsS2）若 在可求面积的有界闭域 D 上连续，则),(必可积。),(yxf3）若 在可求面积的有界闭域 D 上的不连续点),(f至多落在有限条光滑曲线段上，则 可积。),(yxf560注：以后积分区域 D 都视为可求面积的有界闭区域。性质：1）线性性质；(,)(,)(,)(,)D Dfxygdxyfxydgxyd2）对区域可加性：， （ 无公共内点）2121 Dfff 21与3）保序性： ，则 ；gDg4）绝对可积性：若 可积，则 也可积，且ff；Dff5）中值定理：若 ，则存在 ，使)(Cf),(。,

15、DDdxyS其中 为 D 的面积。S作为性质的应用，考察一个例子。例 1、设 在可求面积的有界闭域 D 上非负连续且不),(yxf恒等于 0，证明： 。(,)0Dfxyd证明：由条件，必存在点 ，使得 ，,p0()fp由连续性，存在邻域 ，使得 ，由积分性0()U0()2ff质。00 ()()(,),UpDpffxydfxydS2 二重积分的计算561根据解决问题的普遍性方法，总是将未知的待求解的东西转化为已知的东西；我们知道：已知的与积分计算有关的内容是定积分，因而，二重积分计算的主要思想：将其转化为定积分来计算，即将二重积分转化为两个定积分-累次积分。一、化二重积分为二次积分仍采用从特殊到

16、一般、从简单到复杂的思想来进行。1、矩形域上的转化：问题：设 D 为矩形域，即 ， 在 D 上,abcd),(yxf可积，计算 。(,)Ifxyd思路分析：以二元函数 为被积函数的积分形式，我),(f们在含参量的积分中已遇到过，其中我们曾涉及到两种形式的累次积分： ，很显然，这两个积dcbabadc yxfxyf ),(,)(分具有特点：1）对两个变元都进行了积分；2）积分区域跑遍了整个 D；3）被积函数为 ；4）能够通过计算两个定积分),(f将其计算出来；5）在一定条件下，如 连续，则二者相等。),(yxf前三个特点是二重积分也具备的，因此，后两个特点就是提示我们考虑如下问题：三者之间什么关

17、系？能否将二重积分化为累次积分计算？回答是肯定的。定理 1、设 在矩形域 可积，且对),(yxf,Dabcd，含参量积分 存在，则累次积分,baxdcyxfF)(也存在且 。dcayf)(,(,)bdDacfxy分析：由于二重积分只有一个定义，因此必然从定义出发，考虑其关系的证明。证明：对 D 作矩形分割： bxxaTn210:562dyycn210记 ，11 1,ijijjiiijjjDxx, , 为分割细supijijMfinfjjDma:i |T度。 由定义则，。00lilimijjijjTTIfdxyMxyxy，(,)()()bbiacaFdF其中 。故要证明等式，只须比较三者之关系。

18、用形1iiix式统一方法，将单重和转化为双重和。由于 ，且1()(,)(,)jjmbyii iajFfdfdjiyiji Mfmjj 1,则， ，()(,)dijii ijcjyFfyy两端乘 ，关于 求和：ixi，ijjijiijji yxMxym)(注意到 时 ，上式中令 ，且由于 在|0T|0T),(f上可积，即，|0|0liliijj ijjTTijxyxyI则，由夹逼定理，IFi)(lim0即： 。证明完毕。Idxba)(563推论 1：设 ，则,;),(dcbaCyxf。 badccD xyfyxfd),()(2： -型区域上的转化。x将上述结论逐步推广，先推广到特殊的 -型区域上

19、，设 D是可求面积的平面区域。定义 1、若 D 可表示为：，12(,):(),xyxyaxb称 D 为 -型区域。注：由定义可知：所谓的 -型区域，从几何上看，是指其具有两条平行于 轴的左、右直线边界，有两条上、下的曲边边界，有时，直线边界可能退缩为一点。如图：注：定义中： 是定义在 上的两个连续函数，)(,21xy,ba因此：对应的两条上下曲边边界都是简单的曲线，即：用平行于轴的直线穿过区域时，直线与上、下两条曲线至多各有一个交y点，即排除如下的区域：注：确定边界方法：（1）先确定区域的左右直线边界投影法。将区域向 x轴作投影，投影区间为a,b ，则直线 x=a、x =b 即为所求。（2）确

20、定上下曲线边界穿线法。用平行于 y 轴的直线从下到上穿过区域，先交与某曲线进入区域，则此曲线为下边界曲线，后交与某曲线穿出区域，则此曲线为上边界曲线。定理 2、设 在 -型域 D 上可积， ，则),(yxf (),ixCab。21(),byxDadfdy思路：转化为情形 1。通过补充定义，将函数延拓到某个较大的矩形区域，实现由 x型区域到矩形区域的转化，在此矩形区域上利用定理 1。证明：由于 ，故 存在，,dcCyi)(min),(ax1,2, xycybab564作矩形 ，记 ，,1dcba0),(),(yxfF,)(1则由定理 1， dcbayxFxyfxyf ),(),(),(1。21(

21、)byaxd3、 -型区域上的转化。y定义 2、设 ，使,),(21cCyx，称 为 -型区域。(,): Ddy注：与 -型区域类似， -型区域具有两条平行于 轴的上、x下直线边界，有两条左、右曲线边界。有类似的公式。注：有些区域即可视为 x-型区域，又可以视为 y型区域。定理 3、设 在 y-型区域 上可积，则),(yxf。21(),dxyDcfdx4、一般区域上的转化：将上述结论推广到一般情形，由于我们知道 1-3 的结论，因此，一般区域上的二重积分的计算，关键在于能否建立一般区域与上述三种特殊区域之关系，事实上，有结论：定理 4、任何可求面积的平面区域都可分割成若干个 -型、x-型区域。

22、y定理 5、设 可分割成 -型域 和 -型域 ，则xxyy。 yx dxfdfdyxf ),(),(),(至此，计算问题解决。计算二重积分的步骤：1、画出图形，找出交点；2、判断区域类型，必要时作分割；3、代入公式计算。565例 1：计算 ，其中 D：由 和DdxyI)2( xy所围。2xy解：将区域 D 视为 -型：则1,0:),(2xyx。2112240019()()()60xIddxxd又可视为 -型： ，则y ,:,yyxDy11 200()(2)()yI y。图 1例 1 中将区域视为任何一种都可以计算，有些例子则不然，此时要求正确选择区域类型。例 2：计算 ，其中 D：由Dydxe

23、I2所围。xyx,10解：区域 D 既可视为 -型，又可视为 -型。y若视为 -型， ，则1,0:),(xyx120xdeI无法计算。若视为 -型， ，y 1,0,:),(yxyDy566。edyedxeyIYy 316310021 2例 3： ，D 由 与 所围。Dsin2解：视为 -型才能计算，y。1sinsi)1(si0210 yddxIy若视为 -型，无法计算。x例 4：计算 ，D 是由抛物线 和直线yI 2x所围。2y解：1、画出积分区域，找出交点；2、分析区域类型。法一：（是否是 x-型区域：两条左右的直线边界，两条上、下的曲线边界，显然：若将其视为 x型区域，必先将其分割成两部分

24、）记 10,:),(1 yD,422 xxy则 1214012458xxDDIxddydyd。法二：将其视为 -型区域,则y，,2:),(2yx故 。84521ydI注：此例表明：对区域 D 的不同认识，会导致不同的计算过程，繁简程度上有差别。最后，给出二重积分的几何应用利用二重积分求体积。根据二重积分的几何意义，在计算曲顶柱体的体积时，关键在于确定曲顶的方程和曲顶的投影区域，即确定柱体的顶和底。在计算任一空间区域的体积时，需要确定上顶和下底的方程和相567应的投影区域，以便转化为两个曲顶柱体的体积之差。用公式表示如下：1、曲顶柱体体积 ；DfdxyV其中 z=f(x,y)为曲顶方程，D 为曲

25、顶在 xoy 平面的投影区域。2、空间区域之体积 ，f)(12其中， 是上顶； 是下底。D 是区域在 xoy),(2yxfz,yxz平面的投影区域。特别，曲顶柱体也可以视为底为 z=0 的空间区域。注：在处理几何问题时，特别注意对称性，能简化计算。例 5：计算柱面 与平面 所围之体22Rzx0,ay积 V。解：由对称性，只计算在第一象限中的部分，在第一象限中，可将其视为以柱面为顶的曲顶柱体，故顶的方程：，其在 面的投影区域为 ,故2xRzoy0,aRD。2024adyxRdVaD 例 6：求由下列曲面所围的体积：。,1, yxzyx解：这是一个空间区域的体积，可将其转化为两个曲顶柱体的体积之差

26、计算：必须确定上顶、下底和投影。确定上顶、下底的方法仍是穿线方法。用平行于 轴的直线，z沿 轴方向从上向下穿过区域，先交曲面进入区域，此曲面为下z底，后交曲面穿出区域，此曲面为上顶。由此确定，上顶为平面：；下底为曲面： ，二者之间被平面yxxyz所截之部分在 面上的投影区域0,1o，故，1,:),(D。247)(0xdxydxyxV利用二重积分求面积。568例 7：求椭圆 之面积。12byax解：记 ，由0,:),(12 yxDD对称性则 dxabdyxdyxys abaDD 02/1014412ba 2/02/02cos coscos4。abd/s例 8、改变积分 I= 的积分次序。220(

27、,)xfyd分析、这类题目，首先由给定次序的累次积分确定积分区域，将累次积分还原为二重积分，然后，再转化为另一种次序的累次积分。解、此积分的积分区域为。2: ,02Dxyx此区域由上半圆周曲线 和抛物线 及直线2(1)2yxx=2 所围成。我们须将此区域上的二重积分转化为先对 x 再对 y的累次积分，须用直线 y=1 将区域 D 分成 3 部分，在相应的区域上转化为累次积分，得.2 21 10 0(,)(,)y yIdfxdfd21y也可以利用区域差表示为。22100(,)(,)yyIdfxdfxd二：二重积分的变量代换569给定二重积分 ，其计算的难易程度受制于DdxyfI),(两个要素：一

28、是积分区域 D 的规则程度；二是被积函数的结构。),(yxf前述研究表明：D 越规则，越简单，如矩形域，三角形区域，-型区域等，就能很容易地将其转化为累次积分，而当)(具有简单的结构时，计算就更加容易，因此，对一个二,yxf重积分，我们总希望 D 很规则， 结构简单。然而，众多),(yxf的二重积分并非如此，此时，必须经过相应的技术处理-变量代换，将其转化为具有上述特点的二重积分。1：二重积分的极坐标变换。当积分区域或被积函数具有圆域结构，即 D 的边界的刻划和 中具有因子 时，可用极坐标将二重积分简化。),(yxf 2yx为讨论二重积分极坐标下的计算，引入如下区域的概念。设 D 是平面区域。

29、类似直角坐标系下的 x(y)型区域，引入下述定义。定义 3：若在极坐标下，若 D 可表示为，),()(:,21 rr其中 ， 为 的连续函数，则称 D 是 -型区域；)(1r2若 D 可表示为，),()(:,(21 brarr其中 为 的连续函数，称 D 是 -型区域。),(21r注：几何特征-型区域夹在两条可过极点的射线之间；-型区域夹在以极点为心的两个同心圆环内。r注：对有些区域，即可表示为 -型区域，又可表示为 -型r区域。注：若区域包含原点，常将其视为 -型区域，即570；20),(:),( rrD若区域的边界过极点，也将其视为 -型区域，即，),(:),( 其中 使 。, 0,r下面

30、考虑二重积分在极坐标下的计算。给定 ，其中 D 是平面区域（直角坐标下） ，DdxyfI),(则由定义，对任意分割 T，都有： 。我们iiDfI),(lim0采用如下的（极坐标）分割 ，即以 的一族同心圆和),(rcr以 的一族过极点的射线来分割 D，如图，c对应于此分割 ，考虑每一子块的面积 ，利用扇形),(rTi面积的计算公式可知，如图小区域的面积为，211()()2Drr略去高阶无穷小量 ，则 。故D0lim(cos,in)i iiIfrrqq=,Dd这就是极坐标下的计算公式。若 D 是 -型区域，则；)(21 )sin,co)sin,co( r rdfrrf若 D 是 -型区域， 则。

31、)(21 )i,)i,( rbafdf 注：极坐标系下，二重积分的表示，也可视为从二重积分的直角坐标下的公式经变经变量代换转化而成，即571，DrxyD rdfdf )sin,co(),(cosin其中 D 的形状没有发生变化，表示方式发生了改变。应用举例：例 9、计算 。1:,22 yxdeIDyx分析：圆域结构，极坐标公式计算。解：区域 D 是圆域，包含极点，故为 -型区域：，也是 -型区域。20,1:),(rr故 。)1(102 edredeID例 10、计算单位球 被柱面 所割下22zyxxy2的（含在柱面内）体积 V。解：由对称性，只计算在第一象限中的体积 ，此时 为1V1曲顶柱体之

32、体积， 的顶为球面 ，其在 xoy 平1 2yxz面的投影即底为为 面上的半圆区域xoy，在极坐标下为，2(,):,0Dxy，2,cs:)( r故， DDrddxyV21 1)32(1)sin(31203cos022 r因而， 。14()32：二重积分的一般变量代换讨论在一般变量代换下的 二重积分 的计DdxyfI),(算。572给定变换： ，设 H 是一一对应的DyxvuH),(:（ ）记0),(vuDyxJ，),(),(:yxvyxv 则 H 建立了 平面内的区域 D 与 平面区域 的一一对应xoyuouvD关系。即 。uv:另，从隐函数理论，在条件 下， 能确定隐0J),(yxv函数 ，

33、因而在 H 之下， 。),(vuyx ,),(vufyxf于是，在变换 H 之下，在 平面上关于 的二重积分转化为在 平面上关于 的二重积分。定理 5：设 ，又设变换)(,(),(),( DCyxvuDCyxf 是 1-1 的且 （在 上） ，则 ),(:vuH0),(Juv。uvDD dJyxfdxyf ),(此定理的证明放在后面，先承认这一结论。注：极坐标下的结论正是定理 5 的推论，即取，则 yxarctgHryxH21:,sinco:，rvuDyxJossini),(573故 。DD rdrfdxyf )sin,co(),(注：利用变量代换时，选择合适的变量代换，使得1） 、使被积函数

34、简单；2） 、使积分区域规则、简单；3） 、二者不可兼得时，选择较难处理的作为主要变换对象。例 11、求由抛物线 及双曲线)0(,22 qpxyp所围区域 D 之面积 S。,xya,b(0)a解：由二重积分的几何意义， dxy1（显然，此二重积分重点处理的对象是区域：即选合适的变量代换，将区域规则化）注意到边界曲线之特征，作变换，则 H 将 D 映为xyvu2:，,:),(bvaqupvuv 又： ，故：xyDyxJ31),(1),(2。pqabduvdSuv ln)(1例 12、求椭球 1 之体积。22czbyax解：由对称性，只须计算第一象限之体积 ，利用曲顶柱体1V体积公式，Ddxyba

35、cV21574其中 。:D0,12yxbyax作广义极坐标变换： ，此时，sinco:1braxH在极坐标下： ，且 ，20,:r abrvuDyxJ),(故： ，故： 。abcddcV61022/1 cV34例 13、计算 ，D：由 所yxeI 1,0yxx围。分析：积分区域简单，重点简化被积函数。解：作变换 ，则 ，故 由yxvuH: )(21:1uvyxHuvD所围，又： ，1,0,vu ),(DxJ故： duevdueIDv1022。)(4)(111注、上式转化为累次积分时，一定要注意选择正确的积分顺序。3、二重积分变量代换定理的证明。下面给出定理 5 的简要证明的思路。分析：从分析结

36、论入手，寻找证明的思路和方法。从最基本的定义出发：由二重积分的定义，则 0(,)lim(,),iiDfxydf575而， (,)(,uvDfxyuvJd 0lim(,)|iiifJ其中 D 的分割为 T，对应于一个 的分割 ，反之也成立。因uvDT而，(,)(,)(,)(,)iiiixy故 ，, iiiff因而，剩下的应该有： 。iiiJ这种特殊的关系也可通过取定特殊的 来获得，比如取 ，f 1f也暗示上述的对应关系。对应关系的含义：每一块区域的面积 在变换 H 下变成i， （即隐藏了：分割的小区域 在 H 下对应于 中的一iiJiuvD个子区域 ，二者的面积关系正是上式。 ）因而： ，i i

37、iJ这也正是 J 的几何意义。我们正是从这一几何意义出发，完成定理的证明。为此，我们首先研究矩形面积在映射 H 下的变化，给定矩形 ，其中ABCD。在 H),(),(),(),( 000000 yxDyxyxy 之下将矩形 映为区域 。uv由于 ，由泰勒展开：H： ，yAvxvAuyx)()(其中 。0limli,02y记仿射变换：576： ，HyAvxvAuuyx)()(则 H 可用 近似代替，而在 下，矩形 映为平等四边行BCD。换句话说：当 H 是一一对应时，可用平行四边行DCBA近似视为矩形 在 H 之下的像。BCD又记 ，矩形 的面积为 S，平等四边行)(),(00vu的面积为 ，矩

38、形 的象域的面积为 。SA引理 1： 。vJ00lim),(简证：由对应关系和平行四边形的面积计算公式，则， 1),(),(,00yxvyxuS因而， 0),(),(),(),( , 000 00 yxvyxvuyxuS 0=+D-+D-000(,)(,)(,)(,)xyxyvxyv-故0limS0lixy),(1|),(1|,()|0),( ),(),(0 00vuJvuDyxyxDvuyx引理证毕。577代换定理的证明：设矩形分割 T： ，对应此分割 T，通)(,21TDn过 H 形成对 的分割 ： ，则由定义：uvD,21n0(,)lim()kkfxydfxy=,(,)()(uvHkkk

39、kDuvJDfxydl 注：若 J 在个别点，甚至一条可求长的曲线上 ，结论0仍成立。5783 三重积分一：定义正如引言中指出的那样，空间区域的质量分布问题、空间区域的体积等一系列物理和几何问题都可归结为三重积分，那么，如何定义三重积分？设 为有界光滑区域， ，对 作 分3R)(,(Czyxf n割 ； 对应体积记为： ；又记nT,:1 V,1为 的直径， 为分割细度。(,)sup)iixydi maid定义 1：若存在实数 I，使对 ，使对任意分割0,T，只要 ，对 ，都成立：0(,)iiiIVfii称 在 上三重可积，I 称为 在 上的三重积分，),(zyxf),(zyxf记为 。(,)I

40、fzd注：类似二重积分，通常采用平行于坐标平面的分割，因而每一个内子块 都是立方体，其体积为 ，故三重i iiiVxyz积分常写为： 。(,)Ifxyzd注：三重积分的定义表明，它仍是有限和的极限，即 。(,)If0lim(,)iif注：三重积分的定义性质与二重积分的类似，此处略。注：几何意义： 时， - 的体积。1fVI二：三重积分的计算：采用类似二重积分计算的思路来研究三重积分的计算。即将三重积分转换为（一重）定积分和二重积分、最终转化为累次579（三次）积分来计算。解决问题的思路仍然是从简单到复杂，从特殊到一般的解决问题的思路。1：长方体上化三重积分为三次积分。定理 1、设 在长方体区域

41、 上),(zyxf ,abcdeh可积，且对任意的 ，含参量积分,abcd存在，则(,)hefxyzd。xyzf),(,(,)habcdefxyzd特别，若 ，则：)(,(Czyxf。 dyfzxzfydxcfebaecba注：证明略。注：在长方体区域上，转化为三次积分的积分顺序有 6 种，因此，三重积分的计算更加复杂，难度更大。下面，将定理 1 进行进一步的推广。为此，类似二重积分中，将平面区域投影到坐标轴上得到 x型区域或 y型区域，我们将空间区域投影到坐标轴或坐标平面上，引入一些特殊的空间区域概念。2：特殊区域上的先一后二法。所谓先一后二法，是指将一个三重积分转化为先计算一个一重定积分，

42、再计算一个二重积分，如下述形式：，dxyzf),(Dyxzdxyzf),(21),来计算。那么，在什么样的特殊区域上能采用此方法？为此，我们将区域向坐标面作投影，引入几类特殊区域。定义 2：若空间区域 可表示为 ),(),(:),( 213 xyDyxzyxzRyx 其中： 为 xoy 坐标面中光滑有界的平面区域，xyD，称区域 是 型区域。2,)(),(iCzi xy580注：定义 2 给出了 型区域的代数特征。从几何上看，所xy谓 型区域 ，是将其向 xoy 平面作投影，利用投影区域刻划xy其特征。其代数表达式和几何上的对应关系表现在此类型区域构成的三个要素上：曲面 为 的上顶，曲面xyD

43、yxz),(2为 的下底， 正是 在 xoy 面的投影xyz),(1 xy区域。注：除了上述刻划 xy 型区域的三个主要要素顶、底和投影区域外，几何上，这种类型的区域还涉及到一个概念围，即夹在顶、底之间的柱面，其准线为 ，母线平行于 z 轴。xyDl注：当顶和底有交时，围退化为一条曲线段或直线段 ，此l时 正是顶底的交线，l，),(:21yxzl在平面上的投影正是 。l xyDl一般 xy型区域的图形如下。 （可以用后面的例 1 和例 3 的图像说明）注：还有一个几何特征：用平行于坐标轴的直线穿过区域，直线与边界面至多有两上交点。注：上述分析表明，确定一个空间区域为 型域，只须确xy定其顶、底

44、、围（交线，投影） ，这些量可以通过图形直观上来确定（仍可用穿线法确定顶和底） 。因此，画出 的几何图形在计算三重积分时非常重要。由定理 1，类似二重积分定理的推广， 型域上三重积分xy的计算可进行同样的推广。定理 2：设 是 型区域， ，则：xy)(,(Czfdzf),(,)(21,yxzDdzfdxy注：由于定理 2 是将三重积分转化为先计算一个一重定积分，581在计算一个二重积分来计算，因此，称为先一后二法。注：证明思路和二重积分的延拓方法类似，此处略。将 投影到不同的坐标面，得到不同的先二后一法。定义 3：1）若 可表示为 312(,):(,)(,)xzxyzRxzyxzD其中 是 x

45、z 平面区域， ，称 为 -型区域。xzDixzC2）若 可表示为 312(,):(,)(,)yzyzxyy其中 为 yz 平面上的有界区域， ，称 为 yz-yz i yxzD-型区域。注： -型、 -型区域是分别将 投影到 平面， 平xyzz面来处理。具有和 xy型区域同样的几何特征。定理 3：1）设 为 -型区域， ，则x)(,(Czyxf；dyzf),(),(21zxyDddxz2）设 为 -型区域， ，则z,(f。xyf),(),(21),zyxDxfyz注：“先一后二法”是计算三重积分的主要方法。计算的主要步骤：1）画出大致的区域图，画出投影区域的平面图；2）确定区域类型，进一步确定顶、底和投影；3）代入公式计算。注：和二重积分的计算一样，注意计算过程中的技巧如对称性、轮换对称性（对等性）。应用举例：例 1：计算 ， 由三个坐标面和平面xdyzI所围。2zyx解：