1、,多變量變異數分析、共變異數分析,內容大綱,12.1 認識多變量變異數分析 12.2 單因子多變量變異數分析 12.3 二因子多變量變異數分析 12.4 多變量共變數分析（MANCOVA） 12.5 重要統計檢定值,12.1 認識多變量變異數分析,單因子、二因子的多變量變異數分析。所謂單因子、二因子是指因子或自變數的數目，以集區設計的觀點而言，只有集區的或只有處理的叫做單因子，同時有集區及處理的叫二因子。因子（factor）在英文中稱為way，因此One-Way ANOVA是指單因子變異數分析。 所謂單變量、多變量是指依變數的數目；依變數只有一個，叫做單變量（univariate）；依變數有二
2、個以上稱為多變量（multivariate）。 以上的說明可以整理如表12-1：,多變量變異數分析（multivariate analysis of variance, MANOVA），是同時檢視二個（或以上）依變數（準則變數）之效果的多變量技術。 在依變數有二個的場合中，如果我們分別用做二次的單變量變異數分析（或者二因子變異數分析）來分別檢視依變數效應，則可能會有見樹不見林之虞，因為我們可能忽略了這二個準則變數間可能有某種程度的關連性。 MANOVA是同時檢定不同處理水準在二個以上依變數的重心（centroid）是否有顯著的不同。 其虛無假說為：所有的重心均相同，H0: 1=2=3=n。 其
3、對立假說為：所有的重心皆不同，H1：123n,MANOVA是一個多變量相依法的技術。其依變數為區間尺度，數目大於1；自變數為名義尺度，情形如圖12-1所示。 在樣本數要求方面，每個實驗方格（細格）的觀察值必須大於依變數個數；每個實驗方格（細格）的個數至少應有20個。,12.2 單因子多變量變異數分析,單因子MANOVA應遵循以下的步驟（表12-2）：,MANOVA必須符合以下條件： 觀察值必須獨立，亦即觀察值無自我相關，因此取樣必須隨機化。 各組母群體的變異數要均勻。 各母群體要呈多變量常態分配。,大海CD音響公司的廠長對於CD音響的製造績效（包括品質及效率等）非常關心。 他用三種標準來測量製
4、造績效，分別為平均故障時間（mean time between failure或MTBF，以週來測量，以變數MTBF表示）、符合產品規格的程度（以0到100來測量，以變數規格來表示）、製造速度（以變數速度來表示）。 廠長責成工業工程部設計一套新的製造方法以提升產品品質。工程師們抽取出15個以舊方法製造的CD音響，15個以新方法製造的CD音響。 廠長要了解，不同的製造方法對於MTBF、規格、速度有無顯著影響。,開啟檔案（檔案名稱：.Chap12One-Way MANOVA.sav），在此資料檔中，變數製造方法（1為舊方法，2為新方法），為名義變數。變數MTBF表示平均故障時間，變數規格表示符合產
5、品規格的程度，變數速度表示製造速度在SPSS中，按Analyze、General Linear Model、Multivariate（分析一般線性模式多變量），在所產生的Multivariate視窗中，將MTBF、規格、速度選入右邊Dependent Variables（依變數）下的方盒中，將製造方法選入Fixed Factor(s)（固定因子）下的方格中，如圖12-2所示。固定因子就是自變數,圖12-2 Multivariate視窗設定,模式 : 在Multivariate視窗按Model，就會產生Multivariate: Model視窗，如圖12-3所示。此視窗的目的在於讓使用者指明分析
6、的模式。我們使用內定的Full factorial（完全因子設計）。在Sum of squares（平方和）右邊的選項中，Type III（類型III）是內定的類型，是指此效應的平方和是其他效應和與任何包含此效應正交調整後的平方和,圖12-3 Multivariate: Model視窗,對比: 在Multivariate視窗，按Contrasts，就會出現Multivariate: Contrasts視窗，我們選擇簡單對比，如圖12-4所示。做法是先選Simple，再按Change。對比是用以檢定因子水準間的差異。 如前所述，不論是主要效果或是單純主要效果的考驗，如果達到顯著的話，就要進行事後
7、（post hoc）檢定，以檢視各因子在各水準之間的差異情況。事實上，對比也有這種功能。,SPSS提供的對比方式如表12-3所示：,選項 :在Multivariate視窗，按Options，就會出現Multivariate: Options視窗，如圖12-5所示。將左邊Factor(s) and Factor Interactions（因子與因子交互作用）下的(OVERALL)（全部）選入右邊Display Means for（顯示平均數）下的方盒中，以顯示細格及邊緣平均數。,在Display（顯示）方格中，選取Descriptive statistics（描述統計）、Homogeneity
8、tests（同質性檢定）。選取其他的如Estimates of effect size（效果值大小估計）、Observed power（統計考驗力）也可以。,圖12-5 Multivariate: Options視窗,共變量矩陣等式的Boxs M檢定表示多變量的變異數同質性檢定。Boxs M值=0.3900.05，未達顯著水準，因此沒有違反多變量變異數同質性的條件，因此適合進行MANOVA。值得注意的是，如果群體人數在20人以下，應再參考F檢定。,多變量檢定表中，無論就Pillais Trace、Wilks Lambda變數選擇法、多變量顯著性檢定、Roy的最大平方根的顯著性均等於0.0000
9、.05，因此均達到顯著水準。 表12-4為這些值的判定標準。因而新舊製造方法至少在一個依變數的平均數上具有顯著性的差異，至於是哪一個依變數，可從受試者間效應項的檢定表來了解,如前所述，MANOVA是同時檢定不同處理水準在二個以上依變數的重心（centroid）是否有顯著的不同。 其虛無假說為：所有的重心均相同， H0：1=2=3= n 。 其對立假說為：所有的重心皆不同， H1：123n。 依據以上數據，研究者應棄卻虛無假說。,表中顯示，MTBF、規格、速度的顯著性分別為0.867、0.871、0.740，均大於顯著水準0.05，換句話說，均未達到顯著性，必須接受虛無假說，表示全部符合單變 量
10、變異數同質性的假定。因此進行MANOVA是相當適當的。,受試者間效應項的檢定表是製造方法的兩種方法（舊方法、新方法）在三個依變數上的單變量變異數分析（One-Way ANOVA）結果。從受試者間效應項的檢定表中可了解，製造方法MTBF、速度上達到顯著性（顯著性均為0.000），在規格上未達顯著性（0.0550.05）。所以我們可以了解，由於製造方法的不同，造成了MTBF、速度的顯著不同，但對於規格的影響不大（不顯著）,從受試者間效應項的檢定表中可了解，製造方法在MTBF、速度上達到顯著性 差異。 對比結果（K矩陣）表可讓我們了解到底差多少。在MTBF上，舊方法（水準1）比新方法（水準2）低了2
11、2.976；在速度上，舊方法（水準1）比新方法（水準2）低了0.448。,單變量檢定結果表顯示，MTBF（平均故障期間）的對比、速度（製造速度）的對比已達到顯著性。,12.3 二因子多變量變異數分析,在二因子MANOVA中，研究者同時操弄兩個自變數（可稱A因子、B因子），研究者除了可檢定每個自變數的主要效果（main effect）之外，也可以檢定兩個因子的交互作用效果（interaction effect），以確定二個自變數是否彼此獨立。如果二因子的互動作用達到顯著，就必須再檢視其單純主要效果（simple main effect），進行多變量單純主要效果檢定（multiple test o
12、f simple main effect）,當二因子的交互作用達到顯著時，必須進一步進行多變量單純主要效果檢定。假設A因子有2個水準，B因子有4個水準，單純主要效果的檢視要如此進行： 檢視B的單純主要效果。將資料檔案以A為組別分割，以B為固定因子，進行MANOVA，如果單純主要效果檢定達到顯著，要進一步檢視ANOVA結果及事後比較結果。換言之，就是進行A1（水準1）時的MANOVA：A2（水準2）時的MANOVA。 檢視A的單純主要效果。將資料檔案以B為組別分割，以A為固定因子，進行MANOVA，如果單純主要效果檢定達到顯著，要進一步檢視ANOVA結果及事後比較結果。換言之，就是進行B1（水準
13、1）時的MANOVA：B2（水準2）時的MANOVA；B3（水準3）時的MANOVA：B4（水準4）時的MANOVA。,大海研究公司受委託進行廣告效果的研究。針對男性、女性每人看過一種廣告之後，再進行知覺及態度的測試，測試是以李克七點尺度衡量，分數愈高者表示對於產品的知覺及態度愈佳。 廣告類型共有四種，如表12-5所示。,研究者想要了解，性別與廣告類型對知覺及態度是否有顯著的交互作用，也就是說，性別、廣告類型在知覺及態度上是否有顯著的交互作用。,開啟檔案（檔案名稱：.Chap12Two-Way MANOVA.sav），在此資料檔中，在此資料檔中的變數有：性別（1為男、2為女）；廣告類型（1代表
14、提供資訊式、2代表心理激發式、3代表命令式、4代表模仿式）；知覺與態度。 在SPSS中，按Analyze、General Linear Model、Multivariate（分析一般線性模式多變量），在所產生的Multivariate視窗中，將知覺、態度選入右邊Dependent Variables（依變數）下的方盒中，將性別、廣告類型選入Fixed Factor(s)（固定因子）下的方格中，如圖12-6所示。固定因子就是自變數。,圖12-6 Multivariate視窗設定,在Multivariate視窗，按Post Hoc，就會出現Multivariate: Post Hoc Multip
15、le Comparisons for Observed Means（事後觀察平均數的多重比較）視窗，如圖12-7所示。 將左邊Factor(s)（因子）方格中的廣告類型變數選入右邊Post Hoc Tests for（事後檢定）下的方格中。在Equal Variances Assumed（假設變異數相等）方盒內選取Scheffe（事後比較法）。,Post Hoc（事後）觀察平均數的多重比較,圖12-7 Multivariate: Post Hoc Multiple Comparisons for Observed Means視窗設定,性別 * 廣告類型（性別與廣告類型的交互作用）的Pillai
16、s Trace、Wilks Lambda 變數選擇法、多變量顯著性檢定、Roy的最大平方根值分別為0.768、0.773、0.789、0.321，均未達顯著水準，表示性別與廣告類型在知覺及態度這兩個依變數上沒有顯著的交互作用， 因此我們要進一步檢視二個自變數（性別、廣告類型）的主要效果。性別主要效果未達顯著，廣告類型達顯著（Wilks Lambda變數選擇法顯著性=0.0060.05），表示不同廣告類型在知覺與態度這兩個依變數上，至少在一個依變數的平均分數上有所差異。,受試者間效應項的檢定表中顯示，性別、廣告類型在二個依變數（知覺、態度）上的單變量變異數分析（One-Way ANOVA）結果。
17、 從受試者間效應項的檢定表中可了解，廣告的四種類型在知覺上達到顯著性（顯著性均為0.002），在態度上未達顯著性（0.2220.05）。所以我們可以了解，由於廣告類型的不同，造成了受試者在知覺上的顯著不同，但對於態度的影響不大（不顯著）。,從受試者間效應項的檢定表中可了解，廣告類型在知覺上達到顯著性差異。對比結果（K矩陣）表可讓我們了解到底差多少。在知覺上，水準1（提供資訊式）比水準4（模仿式）高出了3.000，水準2（心理激發式）比水準4（模仿式）高出了2.000，水準3（命令式）比水準4（模仿式）高出了1.000，可以知道廣告的四種類型在知覺上的平均數的高低次序是水準1（提供資訊式）、水準
18、2（心 理激發式）、水準3（命令式）、水準4（模仿式）。,Scheffe多重比較與上述的對比法的結論是一樣的。數字右邊的*號表示具有顯著性的差異。 事實上，我們從敘述統計中也可以看出廣告類型中的四種廣告在知覺上的平均數，只是在這裡顯示了顯著性。,在多變量檢定表中，如果發現性別與廣告類別的交互作用顯著，應如何進行分析？廣告類型的單純主要效果利用分割檔案的方式（Data、Split File），將檔案以性別分組。在Split File（分割檔案）視窗中，選Organize output by groups（依組別組織輸出），並將性別選入到Group Based on（以組別為準）下的方盒中，如圖1
19、2-8所示。,圖12-8 分割檔案視窗設定（以性別分割）,在SPSS中，按Analyze、General Linear Model、Multivariate（分析一般線性模式多變量），在所產生的Multivariate視窗中，將知覺、態度選入右邊Dependent Variable（依變數）下的方盒中，將廣告類型選入Fixed Factor(s)（固定因子）下的方格中，如圖12-9所示。固定因子就是自變數。,圖12-9 Multivariate視窗設定,性別的單純主要效果,利用分割檔案的方式（Data、Split File），將檔案以廣告類型分組。在Split File（分割檔案）視窗中，選O
20、rganize output by groups（依組別組織輸出），並將廣告類型選入到Group Based on（以組別為準）下的方盒中。 在SPSS中，按Analyze、General Linear Model、Multivariate（分析一般線性模式多變量），在所產生的Multivariate視窗中，將知覺、態度選入右邊Dependent Variables（依變數）下的方盒中，將性別選入Fixed Factor(s)（固定因子）下的方格中。固定因子就是自變數。,12.4 多變量共變數分析 （MANCOVA）,多變量共變量分析（Multivariate Analysis of Cova
21、riance , MANCOVA）的目的在於進一步的消除對準則變數（Y）的可能來源。如第五章所述，當我們受到某種刺激後對它所做的反應，通常會受到前次我們接受到此刺激時所做的反應之影響以行為學而論，這是連結論的學習方式，我們之所以會進步，會愈做愈好，會改正錯誤，甚或一錯再錯等都與過去的經驗有關，以及對此經驗的知覺、記憶有關。但是以實驗設計的角度來看，如對過去的知覺如果不加以控制的話，會影響此次實驗的正確性。,大海研究公司受委託進行廣告效果的研究。針對男性、女性每人看過一種廣告之後，再進行知覺及態度的測試，測試是以李克七點尺度衡量，分數愈高者表示對於產品的知覺及態度愈佳。研究者認為（或懷疑）測試前
22、知覺可能會影響測試後知覺，就要控制住測試前知覺，因為如果不加以控制的話，可能看不出測試的效果（例如，某人本來就對某類廣告有相當程度的知覺，則此次測試對其知覺的影響並不大）。,研究者有興趣了解，在排除測試前知覺之後，性別與廣告類型在測試後知覺及態度上是否有顯著的交互作用？ 廣告類型共有四種：,開啟檔案（檔案名稱：.Chap12MANCOVA with Priori Perception.sav），在此資料檔中，在此資料檔中的變數有：性別（1為男、2為女）；廣告類型（1代表提供資訊式、2代表心理激發式、3代表命令式、4代表模仿式）；測試後知覺、態度、測試前知覺。 在SPSS中，按Analyze、G
23、eneral Linear Model、Multivariate（分析一般線性模式多變量），在所產生的Multivariate視窗中，將測試後知覺、態度選入右邊Dependent Variables（依變數）下的方盒中，將性別、廣告類型選入Fixed Factor(s)（固定因子）下的方格中，將測試前知覺選入Covariate(s)（共變數）下的方盒內，如圖12-10所示。,圖12-10 Multivariate視窗設定,迴歸係數同質性檢定,組內迴歸係數同質性（homogeneity of with-in regression coefficient）是進行共變數分析的重要假設之一，它是指各實
24、驗處理組中依據共變數（X）預測依變數（Y）所得到的各條迴歸係數（斜率）要相等，如果不符合這個條件，則逕自進行共變數分析，將會導致不正確的結論。 在Miltivariate視窗中按Model，在所產生的Multivariate: Model視窗中，點選Custom（自訂），所做的設定如圖12-11所示。,圖12-11 Multivariate: Model視窗設定（自訂）,下表為受試者間效應項的檢定表。這個報表可看出組內迴歸係數同質性檢定的情形。性別組內迴歸係數同質性檢定結果（性別 * 測試前知覺），在測試後知覺上的顯著性=0.124，未達顯著水準，接受虛無假說，表示二組迴歸線的斜率相同，也就是
25、說以共變數對依變數進行迴歸分析時的斜率並無顯著差異；換言之，共變數（測試前知覺）與依變數（測試後知覺）的關係不會因為性別的不同而異。符合共變數組內迴歸係數同質性假定，因此進行共變數分析是適當的。,廣告類型組內迴歸係數同質性檢定結果（廣告類型 * 測試前知覺），在測試後知覺上的顯著性= 0.375，未達顯著水準，接受虛無假說，表示四組迴歸線的斜率相同也就是說以共變數對依變數進行迴歸分析時的斜率並無顯著差異；換言之，共變數（測試前知覺）與依變數（測試後知覺）的關係不會因為廣告類型的不同而異。符合共變數組內迴歸係數同質性假定，因此進行共變數分析是適當的。,模式,在Multivariate視窗，按Mo
26、del，就會出現Multivariate: Model視窗，如圖12-12所示。此視窗的目的在於讓使用者指明分析的模式。將模式改為內定的Full factorial（完全因子設計）。,圖12-12 Full factorial（完全因子設計）設計,性別 * 廣告類型（性別與廣告類型的交互作用）的Pillais Trace、Wilks Lambda 變數選擇法、多變量顯著性檢定、Roy的最大平方根值分別為0.032、0.018、0.011、0.002，均未達顯著水準，表示在控制測試前知覺後，性別與廣告類型在測試後知覺及態度這兩個依變數上具有顯著的交互作用，因此我們必須進一步檢視二個自變數（性別、
27、廣告類型）的單純主要效果。,從多變量檢定表可知，在男性的受試者中，在控制共變數（測試前知覺）後，其廣告類型的Wilks Lambda值達到顯著水準，表示不同廣告類型在測試後知覺與態度這兩個依變數上，至少在一個依變數的平均分數上有所差異。,從受試者間效應項的檢定表中可知，在男性的受試者中，在控制共變數（測試前知覺）後，其廣告類型與測試後知覺（顯著性=0.032）、態度（顯著性=0.000）有顯著性的差異存在。,從對比結果（K矩陣）表可知，在控制測試前知覺之後，在測試後知覺方面，廣告類型水準1（提供資訊式）比廣告類型4（模仿式）低了12.50（其他的解讀，可以看表，一目瞭然）。,解讀方式同前，不再
28、詳加說明。,根據實作結果，在廣告類型2（心理激發式），在控制共變數（測試前知覺）後，多變量檢定Wilks Lambda值=0.0090.05，達到顯著水準，表示廣告類型2與測試後知覺、態度至少有一個依變數達到顯著差異。在受試者間效應項的檢定表中，看出性別與態度的差異達顯著水準（顯著性=0.005）。根據敘述統計表中，男性的態度平均數為5.50，女性的態度平均數為6.00。,在廣告類型4（模仿式），在控制共變數（測試前知覺）後，多變量檢定Wilks Lambda值=0.0030.05，達到顯著水準，表示廣告類型4與測試後知覺、態度至少有一個依變數達到顯著差異。 在受試者間效應項的檢定表中，看出性
29、別與測試後知覺的差異達到顯著水準（顯著性=0.031），同時性別與態度的差異也達到顯著水準（顯著性=0.020）。根據敘述統計表中，男性的測試後知覺的平均數為4.50，女性的測試後知覺平均數為4.25；男性的態度平均數為3.50，女性的態度平均數為4.50。,在這個例子中，我們只用了一個共變數，也就是測試前知覺，目的是讓讀者了解，多變量共變數分析的做成及解讀事實上，測試前的態度也會影響測試後的態度，所以真正嚴謹的研究分析，應將測試前態度也納入考量，如圖12-13。值得注意的是，在組內迴歸係數同質性（homogeneity of with-in regression coefficient）檢定方面，要檢定性別與測試前知覺、廣告類型與測試前知覺、性別與測試前態度、廣告類型與測試前態度。同時，在報表解讀上，要說明在控制測試前知覺、測試前態度之後，。,圖12-13 Multivariate視窗設定（兩個共變數）,12.5 重要統計檢定值,Chapter 12 課程結束,
