1、2005 年第十六届北京市数学竞赛试题答案（甲、乙组）一、 填空（20 分）1. ，且 ，则1)0(,)1(2 yexyx axy20)(lim._a解 由 ，得 ，利用方程，得 ，得ax20)(lim)(y 2)0(y.12 ， 为无穷间断点， 为可去间断点，)()(bxaexfe1x则 ._b解 )(1)(bxexf3. 则,),0(,(),( 22 yfxfyzyfz ._,xf解 ._),(yf yxyx224. 则,)()(222dzzddzxdu._),(y解 Cxyzyxzxu 23_,5. 则 .,)(13)(02dff _)(f解 其中 ,得xkx102)dxkx,kkdk
2、2396)9()13( 210 22102 得 得 .,92k3,4786. 2 ._)cos(1lim0ryxr dxye解 .7. 则,4)cos1(ln2li0 xfx ._)(lim30xf解 8. 则,)(,)(afxf .)2(f解 .2)(,)(,1,1/ afaxfcx9. ,周长为 ,则4:2yLl ._)2(dsyL解 l10.设 或 则级数 的和为_.,0x,11 )1(2)(lnxnx解 =1 )(2)(lnx.2ln1lim)1(ln)(l1 xnn二、 存在，且 求 .xf ,cos6si4co23 Cxdxf )(xf解 xnsinco2)(23 问题：可能是设
3、连续，积分才有意义。)(xf.sin)(2Cxf三、 ，作图形并指出去单调区间，最值，极21y值，拐点.解 单调增加。,031,31,0 22xyxyx y，0321,0xyx ,0321xy，1,2 22,031,0xyx，极小值=02, 1.y单调减少。,0,1, 22xyxyx y02, 33没有拐点. 为极大值，并且 为最大值。4,y34四、 ，求 .xdtxffRcxf0sin)()()00)(1dxf解 ,sin(40dt,i)4xfxf 164sin2i43si)(0420xxfx 得 . = .23(0df 01df注意:上面 表示必须 .所以题设xxfx040sin)( 0x
4、有一点问题.)(Rcf五、求常数 的值，使函数 在点ba, 232),(zcxbyaxzyf处在 轴正向的方向导数有最大值 64.)1,2(z解 即在 ，有 .得 .),(1,0f 8,24,6cba六、 是原点到 上点 处的切平面 的距:22czbyax),(zyx离，计算 .dS七、 在 上连续且单调增加，证明不等式)(xf1,0.10)(2dxfd证 方法 1 自变量变换（利用定积分定义或在 上作变量1,2变换 .）tx方法 2 函数变换 .0)2/1()(21fx方法 3 与 等价,010)(dfdxf 100 )(dxcfxdc不仿设 ,得 .2f )(2xf方法 4 设 ,1cf.
5、010)()(dxdxf 10202 0)()() xdfxf当 ,可以用逼近或用定积分定义证明c.102102)()() xfxf方法 5 1,:,yDdyfyxD八、证明方程 有且仅有三个实根.12证 记 . yyyxyx ,0,2ln,所以存在至少三个零点，0lnx，不可能有三个以上零点。023y九、 （1）举例说明存在通项趋于零但发散的交错级数(2). 举例说明存在收敛的正项级数 ,但 .0na)1(no解 （1） )1(1nn(2) 1: = ,)1(4nn)1(4n)1(1(4nn,得 23,12: )102(2)102(21 2919丙组题目多数一样或接近。不一样的题目有一、7
6、.!5,1105efexfx8 .cosin4sin022 xdudtx七、设生产某产品必须投入三种要素， 分别是三种要素的zy,投入量， 为产量， 为正数， 三种Q,.zyx.1.要素的价格分别是 ，当产量一定时，三种要素的适当投321,P入可使总费用 最小。证明最小投入总费用 与产量 比为常PQ数，并且求此常数.解 利用 Lagrange 方法，求 在条件 下zyxP321zyx的最小值。得 .1QP八、 当 有 ，证明当 时，,2/1,0a,n1)(2nnaa1x级数 收敛，并求和函数.nx1注意: 可去掉.2/a解 当 时，级数 收敛。,1limnxnxa1,)1(211nnxaxa.记 ,得)(1nn0)(11nnxay0得,2yxy得.1xy
