1、习题精选精讲1线 性 规 划 常 见 题 型 及 解 法线 性 规 划 是 新 教 材 中 新 增 的 内 容 之 一 ， 由 已 知 条 件 写 出 约 束 条 件 ， 并 作 出 可 行 域 ， 进 而 通 过 平 移 直 线 在 可 行 域内 求 线 性 目 标 函 数 的 最 优 解 是 最 常 见 的 题 型 ， 除 此 之 外 ， 还 有 以 下 六 类 常 见 题 型 。一 、 求 线 性 目 标 函 数 的 取 值 范 围例 1、 若 x、 y 满 足 约 束 条 件 ， 则 z=x+2y 的 取 值 范 围 是 （ ）2xyA、 2,6 B、 2,5 C、 3,6 D、 （
2、3,5解 ： 如 图 ， 作 出 可 行 域 ， 作 直 线 l： x+2y 0， 将l 向 右 上 方 平 移 ， 过 点 A（ 2,0） 时 ， 有 最 小 值2， 过 点 B（ 2,2） 时 ， 有 最 大 值 6， 故 选 A二 、 求 可 行 域 的 面 积例 2、 不 等 式组 表 示 的 平 面 区 域 的 面 积 为 （ ）2603xyA、 4 B、 1 C、 5 D、 无 穷 大解 ： 如 图 ， 作 出 可 行 域 ， ABC 的 面 积 即 为 所 求 ， 由 梯 形 OMBC 的 面 积 减 去 梯形 OMAC 的 面 积 即 可 ， 选 B三 、 求 可 行 域 中
3、整 点 个 数例 3、 满 足 |x| |y| 2 的 点 （ x， y） 中 整 点 （ 横 纵 坐 标 都 是 整 数 ） 有 （ ）A、 9 个 B、 10 个 C、 13 个 D、 14 个解 ： |x| |y| 2 等 价 于(0,)2,()yxyx作 出 可 行 域 如 右 图 ， 是 正 方 形 内 部 （ 包 括 边 界 ） ， 容 易 得 到 整 点 个 数 为13 个 ， 选 D四 、 求 线 性 目 标 函 数 中 参 数 的 取 值 范 围例 4、 已 知 x、 y 满 足 以 下 约 束 条 件 ， 使 z=x+ay(a0)取 得503xy最 小 值 的 最 优 解
4、有 无 数 个 ， 则 a 的 值 为 （ ）A、 3 B、 3 C、 1 D、 1解 ： 如 图 ， 作 出 可 行 域 ， 作 直 线 l： x+ay 0， 要 使 目 标 函 数z=x+ay(a0)取 得 最 小 值 的 最 优 解 有 无 数 个 ， 则 将 l 向 右 上 方 平 移 后 与直 线 x+y 5 重 合 ， 故 a=1， 选 D五 、 求 非 线 性 目 标 函 数 的 最 值xyOx + y = 5x y + 5 = 0Oyxx=3xyO 22x=2y =2x + y =2BA2x + y 6= 0 = 5xy 3 = 0OyxABCM y =2习题精选精讲2例 5、
5、 已 知 x、 y 满 足 以 下 约 束 条 件 ， 则 z=x2+y2 的 最 大 值 和 最 小 值 分 别 是 （ ）2043xyA、 13， 1 B、 13， 2 C、 13， D、 ，455解 ： 如 图 ， 作 出 可 行 域 ,x2+y2 是 点 （ x， y） 到 原 点 的 距 离 的 平 方 ， 故最 大 值 为 点 A（ 2,3） 到 原 点 的 距 离 的 平 方 ， 即 |AO|2=13， 最小 值 为 原 点 到 直 线 2x y 2=0 的 距 离 的 平 方 ， 即 为 ，45 选 C六 、 求 约 束 条 件 中 参 数 的 取 值 范 围例 6、 已 知
6、|2x y m| 3 表 示 的 平 面 区 域 包 含 点 （ 0,0） 和（ 1,1） ， 则 m 的 取 值 范 围 是 （ ）A、 （ -3,6） B、 （ 0,6） C、 （ 0,3） D、 （ -3,3）解 ： |2x y m| 3 等 价 于2xy由 右 图 可 知 ,故 0 m 3， 选 C线性规划的实际应用在科学研究、工程设计、经济管理等方面，我们都会碰到最优化决策的实际问题，而解决这类问题的理论基础是线性规划。利用线性规划研究的问题，大致可归纳为两种类型：第一种类型是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样安排运用这些资源，能使完成的任务量最大，的效益最大，第二种类型是给定一项
7、任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务的人力、物力资源量最小。例 1、某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有 72m3，第二种有 56m3，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示.每生产一只圆桌可获利 6 元,生产一个衣柜可获利 10 元.木器厂在现有木料条件下,圆桌和衣柜各生产多少,才使获得利润最多?木料(单位 m3)产 品 第 一 种 第 二 种圆 桌 0.18 0.08衣 柜 0.09 0.28解：设生产圆桌 x 只,生产衣柜 y 个 ,利润总额为 z 元,那么 而 z=6x+10y.05628791yxy如上图所示,作出以上不等式
8、组所表示的平面区域,即可行域.作直线 l:6x+10y=0,即 l:3x+5y=0,把直线 l 向右上方平移至 l1 的位置时,直线经过可行域上点 M,且与原点距离最大,此时 z=6x+10y 取最大值O2x y = 0y2x y + 3 = 02x + y - 2= 0 = 5x 2y + 4 = 03x y 3 = 0OyxA习题精选精讲3解方程组 ,得 M 点坐标(350,100).答:应生产圆桌 350 只,生产衣柜 100 个,能使利润总额达到最大.5628.0.791yx指出:资源数量一定,如何安排使用它们,使得效益最好,这是线性规划中常见的问题之一例 2、某养鸡场有 1 万只鸡,
9、用动物饲料和谷物饲料混合喂养.每天每只鸡平均吃混合饲料 0.5kg,其中动物饲料不能少于谷物饲料的.动物饲料每千克 0.9 元,谷物饲料每千克 0.28 元,饲料公司每周仅保证供应谷物饲料 50000kg,问饲料怎样混合,才使成本最低.51解:设每周需用谷物饲料 x kg,动物饲料 y kg,每周总的饲料费用为 z 元,那么 ,而 z=0.28x+0.9y05130yxy如下图所示,作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域.作一组平行直线 0.28x+0.9y =t,其中经过可行域内的点且和原点最近的直线,经过直线 x+y=35000 和直线 的交点xy51,即 , 时,饲料费用最低.)31
10、750,8(A387501所以,谷物饲料和动物饲料应按 5:1 的比例混合,此时成本最低.指出:要完成一项确定的任务,如何统筹安排,尽量做到用最少的资源去完成它,这是线性规划中最常见的问题之一.(例 3 图) (例 4 图)例 3、下表给出甲、乙、丙三种食物的维生素 A、B 的含量及成本:甲 乙 丙维生素 A(单位/千克)维生素 B(单位/千克)成本(元/千克)400800760020064004005营养师想购这三种食物共 10 千克,使之所含维生素 A 不少于 4400 单位,维生素 B 不少于 4800 单位,问三种食物各购多少时,成本最低?最低成本是多少 ?解:设所购甲、乙两种食物分别
11、为 x 千克、y 千克,则丙种食物为(10xy )千克.x、y 应满足线性条件为,化简得480)10(428064yx 42作出可行域如上图中阴影部分目标函数为 z=7x+6y+5(10xy)=2x+y+50,令 m=2x+y,作直线 l:2x+y=0,则直线 2x+y=m 经过可行域中 A(3,2)时,m 最小,即mmin=23+2=8， zmin=mmin+50=58 答: 甲、乙、丙三种食物各购 3 千克、2 千克、5 千克时成本最低,最低成本为 58 元.指出:本题可以不用图解法来解,比如,由 得42z=2x+y+50=(2xy)+2y+504+22+50=58,当且仅当 y=2,x=
12、3 时取等号习题精选精讲4总结：(1)设出决策变量,找出线性规划的约束条件和线性目标函数;(2)利用图象,在线性约束条件下找出决策变量,使线性目标函数达到最大 (或最小).2.线性规划问题的一般数学模型是:已知 (这 个式子中的“ ”也可以是“”或“=”号)nmnnmbxaxa 21 222 1121其中 aij (i=1,2,n, j=1,2,m),bi (i=1,2,n)都是常量,x j (j=1,2,m) 是非负变量,求 z=c1x1+c2x2+cmxm 的最大值或最小值,这里 cj (j=1,2,m)是常量.(3)线性规划的理论和方法主要在以下两类问题中得到应用:一是在人力、物力资金等
13、资源一定的条件下 ,如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务,如何合理安排和规划,能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.线性规划中整点最优解的求解策略在工程设计、经营管理等活动中，经常会碰到最优化决策的实际问题，而解决此类问题一般以线性规划为其重要的理论基础。然而在实际问题中，最优解 (x,y) 通常要满足 x,yN ，这种最优解称为整点最优解，下面通过具体例子谈谈如何求整点最优解 .1平移找解法 作出可行域后，先打网格，描出整点，然后平移直线 l，直线 l 最先经过或最后经过的那个整点便是整点最优解.例 1、某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有 72m3，第二
14、种有 56m3，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示.每生产一只圆桌可获利 6 元,生产一个衣柜可获利 10 元.木器厂在现有木料条件下,圆桌和衣柜各生产多少,才使获得利润最多?木料(单位 m3)产 品第 一 种 第 二 种圆 桌 0.18 0.08衣 柜 0.09 0.28解：设生产圆桌 x 只,生产衣柜 y 个 ,利润总额为 z 元,那么 05628791yxy而 z=6x+10y.如图所示,作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域 .作直线 l:6x+10y=0,即 l:3x+5y=0,把直线 l 向右上方平移至 l1 的位置时,直线经过可行域
15、上点 M,且与原点距离最大,此时 z=6x+10y 取最大值。解方程组 ,得 M 点坐标(350,100).答：应生产圆桌 350 只,生产衣柜 100 个,能使利润总额达到5628.0.791最大.点评：本题的最优点恰为直线 0.18x+0.09y=72 和 0.08x+0.28y=56 的交点 M。例 2 有一批钢管，长度都是 4000mm，要截成 500mm 和 600mm 两种毛坯，且这两种毛坯按数量比不小于 配套，怎样截最合理？ 31解：设截 500mm 的钢管 x 根，600mm 的 y 根，总数为 z 根。根据题意，得 ，目标函数为 ，作出如图所示的可行域内的整点， 作一组平行直
16、线 x+y=t，经过可行域内的点且和原点距离最远的直线为过 B（8，0）的直线，这时 x+y=8.由于 x,y 为正整数，知习题精选精讲5（8，0）不是最优解。显然要往下平移该直线，在可行域内找整点，使 x+y=7，可知点（2，5） ， （3，4） ， （4，3） ， （5，2） ， （6，1）均为最优解答：略点评：本题与上题的不同之处在于，直线 x+y=t 经过可行域内且和原点距离最远的点 B（8，0）并不符合题意，此时必须往下平移该直线，在可行域内找整点，比如使 x+y=7，从而求得最优解。 从这两例也可看到，平移找解法一般适用于其可行域是有限区域且整点个数又较少，但作图要求较高。二、整点
17、调整法先按“平移找解法”求出非整点最优解及最优值，再借助不定方程的知识调整最优值，最后筛选出整点最优解 例 3已知 满足不等式组 ，求使 取最大值的整数 ,xy230651xyxy,xy解：不等式组的解集为三直线 ： ， ： ， ：1l230xy2l3603l所围成的三角形内部（不含边界） ，设 与 ， 与 ， 与 交点分别3510xy1l2为 ，则 坐标分别为 ， ， ，,ABC,5(,)84A(,)B751(,)9C作一组平行线 ： 平行于 ： ，当 往 右上方移动时， 随之增大，lxyt0lxyl0t当 过 点时 最大为 ，但不是整数解，又由 知 可取 ，l63191x,23当 时，代入
18、原不等式组得 ， ；当 时，得 或 ， 或 ；1x2yxy0y12xy1当 时， ， ，故 的最大整数解为 或 3yxx3.逐一检验法 由于作图有时有误差，有时仅有图象不一定就能准确而迅速地找到最优解，此时可将若干个可能解逐一校验即可见分晓 例 4 一批长 4000mm 的条形钢材，需要将其截成长分别为 518mm 与 698mm 的甲、乙两种毛坯，求钢材的最大利用率 解：设甲种毛坯截 x 根，乙种毛坯截 y 根，钢材的利用率为 P ，则 ，目标函数为 ，线性约束条件表示的可行域是图中阴影部分的整点表示与直线 518x+698y=4000 平行的直线系。所以使 P 取得最大值的最优解是阴影内最
19、靠近直线 518x+698y=4000 的整点坐标如图看到(0，5)，(1 ，4) ，(2 ，4)，(3 ，3)，(4 ，2)，(5，2)，(6，1) ，(7 ，0) 都有可能是最优解，将它们的坐标逐一代入进行校验，可知当 x=5,y=2 时， 答：当甲种毛坯截 5 根，乙种毛坯截 2 根，钢材的利用率最大，为99.65% 解线性规划问题的关键步骤是在图（可行域）上完成的，所以作图时应尽可能精确，图上操作尽可能规范，但考虑到作图时必然会有误差，假如图上的最优点并不十分明显易辨时，不妨将几个有可能是最优点的坐标都求出来，然后逐一进行校验，以确定整点最优解.ABCxyO1l3l2l习题精选精讲6线
20、性规划的实际应用 习题精选1某家俱公司生产甲、乙两种型号的组合柜，每种柜的制造白坯时间、油漆时间及有关数据如下：问该公司如何安排这两种产品的生产，才能获得最大的利润最大利润是多少？2要将两种大小不同的钢板截成 A、B、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格小钢板的块数如下：每张钢板的面积，第一种为 1m2，第二种为 2m2，今需要 A、B、C 三种规格的成品各 12，15，17 块，问各截这两种钢板多少张，可得所需三种规格成品，且使所用钢板面积最小3某人承揽一项业务，需做文字标牌 2 个，绘画标牌 3 个，现有两种规格的原料，甲种规格每张 3m2，可做文字标牌 1 个，绘画标牌 2 个，乙种
21、规格每张 2m2，可做文字标牌 2 个，绘画标牌 1 个，求两种规格的原料各用多少张，才能使总的用料面积最小4某蔬菜收购点租用车辆，将 100 吨新鲜黄瓜运往某市销售，可供租用的大卡车和农用车分别为 10 辆和 20 辆，若每辆卡车载重 8 吨，运费 960 元，每辆农用车载重 2.5 吨，运费 360 元，问两种车各租多少辆时，可全部运完黄瓜，且动费最低并求出最低运费5某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有 72 立方米，第二种有 56 立方米，假设生产每种产品都需要两种木料生产一只圆桌需用第一种木料 0.18 立方米，第二种木料 0.08 立方米，可获利润 60 元，生产一
22、个衣柜需用第一种木料 0.09立方米，第二种 0.28 立方米，可获利润 100 元，木器厂在现有木料情况下，圆桌和衣柜应各生产多少，才能使所获利润最多解答提示：1设 x，y 分别为甲、乙两种柜的日产量，目标函数 z=200x240y， 线性约束条件：习题精选精讲7作出可行域 z 最大 =20042408=2720答：该公司安排甲、乙两种柜的日产量分别为 4 台和 8 台，可获最大利润 2720 元2设需截第一种钢板 x 张，第二种钢板 y 张，所用钢板面积 zm2目标函数 z=x2y， 线性约束条件：作出可行域 作一组平行直线 x2y=t的整点中，点(4，8)使 z 取得最小值答：应截第一种
23、钢板 4 张，第二种钢板 8 张，能得所需三种规格的钢板，且使所用钢板的面积最小3设用甲种规格原料 x 张，乙种规格原料 y 张，所用原料的总面积是 zm2，目标函数 z=3x2y，线性约束条件，作出可行域作一组平等直线 3x2y=t 习题精选精讲8A 不是整点，A 不是最优解在可行域内的整点中，点 B(1，1)使 z 取得最小值 z 最小 =3121=5，答：用甲种规格的原料 1 张，乙种原料的原料 1 张，可使所用原料的总面积最小为 5m24设租用大卡车 x 辆，农用车 y 辆，最低运费为 z 元z=960x360y线性约束条件是：作出可行域 作直线 960x360y=0 即 8x3y=0，向上平移至过点 B(10，8)时，z=960x360y 取到最小值z 最小 =960103608=12480答：大卡车租 10 辆，农用车租 8 辆时运费最低，最低运费为 12480 元5设圆桌和衣柜的生产件数分别为 x、y，所获利润为 z，则 z=6x10y作出可行域即 M(350，100)当直线 6x10y=0 即 3x5y=0 平移到经过点 M(350，100)时，z=6x10y 最大
