1、1.4电力线和电通量、高斯定律,1.5利用高斯定律求静电场的分布,例一 用高斯定律求点电荷的场强分布，证明库仑定律,例四、求无限长均匀带电直线的场强分布。,例二、均匀带电的球壳内外的场强分布。,例三、均匀带电的球体内外的场强分布,例五、求无限大均匀带电平板的场强分布。,例六、求两个平行无限大均匀带电平面的场强分布。,目录,1.4电力线和电通量,正确的选择 可以使数密度等于场强。,1定义：,一、电力线(electric line of force),电力线上各点的切线方向表 示电场中该点场强的方向， 在垂直于电力线的单位面积 上的电力线的条数（数密度) 等于该点的场强的大小。,2 电力线的性质：
2、,电力线不会中断。,电力线不会相交。（单值）,电力线不会形成闭合曲线， 它起始于正电荷终止于负电荷。,1 定义,二、电通量,通过任一面元的电力线 的条数称为通过这一面 元的电通量。（类比于 流速场的定义）。,面元在垂直于场强方向的投影是 ，,是面元 的法线方向，是场强 的方向与面元 法向 的夹角。所以,定义：矢量面元,大小等于面元的面积，方向取其法线方向。,因此电通量：,所以通过它的电通量等于面元 的电通量, 又因,通过任一曲面S的电通量：,2 方向的规定：, 闭合曲面外法线方向 (自内向外) 为正。, 非闭合曲面的边界绕行 方向与法向成右手螺旋法则,三、静电场的高斯定律Gauss theor
3、em,数学表达式,证明：可用库仑定律和叠加原理证明。,1 证明包围点电荷 的同心球面 的电通量 等于,球面上各点的场强方向与其径向相同。 球面上各点的场强大小由库仑定律给出。,此结果与球面的半径无关。换句话说， 通过各球面的电力线总条数相等。从发出的电力线连续的延伸到无穷远。,2 证明包围点电荷 的任一闭合曲面 的电通量 等于,立体角solid angle,立体角,实际上因为电力线不会中断（连续性），所以 通过闭合曲面 和 的电力线数目是相等的。,可以证明，略。,由于电力线的连续性可知， 穿入与穿出任一闭合曲面 的电通量应该相等。所以 当闭合曲面无电荷时，电 通量为零。,3 证明不包围点电荷的
4、任一闭合曲面 的电通量恒等于零。,4证明：多个点电荷的电通量等于它们单独存在时的 电通量的代数和。,利用场强叠加原理可证。,两点说明：, 高斯定律中的场强 是由全部电荷产生的。, 通过闭合曲面的电通量只决定于它所包含的电荷，闭合曲面外的电荷对电通量无贡献。,附对于静止电荷的电场，库仑定律和高斯定律等价。,高斯定律的用途：,当电荷分布具有某种对称性时，可用高斯定律求出该电荷系统的电场的分布。比用库仑定律简便。,当已知场强分布时，可用高斯定律求出任一区域的电荷、电位分布。,开文迪许就是用高斯定律来证明库仑定律的平方反比关系。这说明它们不是相互独立的定律，而是用不同形式表示的电场与场源电荷关系的同一
5、客观规律。,对于运动电荷的电场，库仑定律不再正确， 而高斯定律仍然有效。,1.5利用高斯定律求静电场的分布,均匀带电球壳,均匀带电无限大平板,均匀带电细棒,例一 用高斯定律求点电荷的场强分布，证明库仑定律,由对称性可知场强的方向在径向。,若将另一点电荷 放在离 为 远的 地方,则由场强定义可求出 受到的力:,点电荷的场具有一点电荷为中心的球对称性，固选以点 电荷为球心， 任一长度 r为半径的球面为高斯面。则有：,例二、均匀带电的球壳内外的场强分布。 设球壳半径为 R，所带总电量为 Q。,解：场源的对称性决定着场强分布的对称性。,它具有与场源同心的球对称性。固选同心球面为高斯面。 场强的方向沿着
6、径向，且在球面上的场强处处相等。,当 高斯面内电荷为Q，所以,当 高斯面内电荷为 0,高斯面,高斯面,结果表明：,均匀带电球壳外的场强 分布正象球面上的电荷 都集中在球心时所形成 的点电荷在该区的场强 分布一样。在球面内的 场强均为零。,例三、均匀带电的球体内外的场强分布。 设球体半径为R，所带总带电为Q,解：它具有与场源同心的球对称性。 固选取同心的球面为高斯面。,例四、求无限长均匀带电直线的场强分布。,设线电荷密度为,该电场分布具有轴对称性。,距离导线 r 处一点 p 点的场强方向 一定垂直于带电直导线沿径向，并 且和 P点在同一圆柱面（以带电直 导线为轴）上的各点场强大小也都 相等，都沿
7、径向。,以带电直导线为轴，作一个通过P点， 高为 的圆筒形封闭面为高斯面 S， 通过S面的电通量为圆柱侧面和上下 底面三部分的通量。,因上、下底面的场强方向与面平行， 其电通量为零。即式中后两项为零。,此闭合面包含的电荷总量,其方向沿求场点到直导线的垂线 方向。正负由电荷的符号决定。,解：由于电荷分布对于求场点p到平面的垂线 op 是对称的， 所以 p 点的场强必然垂直于该 平面。,又因电荷均匀分布在无限大的平面上， 所以电场分布对该平面对称。即离平 面等远处的场强大小都相等、方向都 垂直于平面，当 场强指离平面。 当 场强方向指向平面。,例五、求无限大均匀带电平板的场强分布。,设面电荷密度为
8、,选一其轴垂直于带电平面的圆筒 式封闭面作为高斯面 S，带电平 面平分此圆筒，场点 p位于它的 一个底面上。由于圆筒侧面上各 点的场强方向垂直于侧面的法线 方向，所以电通量为零；又两个 底面上场强相等、电通量相等， 均为穿出。,场强方向垂直于带电平面。,场强方向指离平面;,场强方向指向平面。,例六、求两个平行无限大均匀带电平面的场强分布。 设面电荷密度分别为 和,解：该系统不再具有简单的对称性，不能直接应用 高斯定律。然而每一个带电平面的场强先可用高斯 定律求出，然后再用叠加原理求两个带电平面产生 的总场强。,需注意方向。,作业：1.12 1.15 1.18,直流电路中的平行板电容器间的场强， 就是这种情况。,由图可知，在A 区和B区场强均为零。 C区场强的方向从带正电的平板指向 带负电的平板。场强大小为一个带电 平板产生的场强的两倍。,1.4电力线和电通量、高斯定律,1.5利用高斯定律求静电场的分布,例一 用高斯定律求点电荷的场强分布，证明库仑定律,例四、求无限长均匀带电直线的场强分布。,例二、均匀带电的球壳内外的场强分布。,例三、均匀带电的球体内外的场强分布,例五、求无限大均匀带电平板的场强分布。,例六、求两个平行无限大均匀带电平面的场强分布。,目录,
