微积分初步复习题.doc

1、1积分应用复习与典型复习题(一)内容1.定积分在几何上的应用：求平面曲线围成的图形面积。2.微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶以及分类。3.两类一阶微分方程的解法：可分离变量的微分方程与一阶线性微分方程求解举例。(二)要求1. 会用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积（直角坐标系）和绕坐标轴旋转生成的旋转体体积。2.了解微分方程的几个概念，掌握变量可分离的微分方程和一阶线性微分方程的解法。（三）典型例题1填空题(1)已知曲线 在任意点 处切线的斜率为 ，且曲线过 ，则该曲线的方)(xfyx)5,4(程是 。解：由 得所求的曲线方程由 确定cd23 cy23因为曲线过 ，所以 ，解得：)5

2、,4(c23431因此所求的曲线方程为 312xy(2)由定积分的几何意义知， = 。ad0解：由定积分的几何意义知， 就等于圆 在第象限的面积，x222ay即圆 面积的 ，因此22ayx41ad022(3)微分方程 的特解为 . 1)0(,y解：由 得 ， ，两边同时积分，得ydxdxcxyln因为 ，所以 ，所以)(cln0从而 ，因此微分方程 的特解为yln1)(,yxey(4)微分方程 的通解为 .032解： ， ， ，03y03ydx03dx13lncxy， ，即cln1xce1ce1所以微分方程 的通解为 xy3(5)微分方程 的阶数为 ysin4)(7)(3答：微分方程 的阶数为

3、 4 阶x2.单项选择题(1)在切线斜率为 2x 的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ ） A y = x2 + 3 B y = x2 + 4 C D 1解：由 知切线斜率为 2x 的积分曲线族为cd2 cxy2因为曲线通过点（1, 4）所以 ，故13所求的曲线为 应选 A2xy(2)下列微分方程中， （ ）是线性微分方程 A B xln2 xye2C Dye lnsin答：应选 D(3)微分方程 的通解为（ ） 0A B C Dxyxyy0y解：应选 C(4)下列微分方程中为可分离变量方程的是（ ）A. ； B. ； yxd yxdC. ； D. sin)(答：应选 B3.计算题(1

4、)求微分方程 的通解yxe解： ， ，yxeddxey， （ ）1cxye1c)ln(x3微分方程 的通解为yxe)ln(xec(2)求微分方程 满足 的特解.ln)1(解： ，yxl ydx，lnclnl因为 ，所以e)1(y0xll因此微分方程 满足 的特解为yln e)1(xey(3)求微分方程 的通解。x2si解：微分方程的通解为 )()()( cdxeqeypdp这里 ，xp1)(xq2sin代入得微分方程的通解为 )co(y(4)求微分方程 满足初始条件 的特解12xy471(y解：微分方程的通解为 )()( cdxeqepdxp这里 ，xp)(12q代入得微分方程的通解为 )4(2cxy将初始条件 代入上式，解得7)1(y1所以微分方程的特解为 )24(x