1、第二章 投影基础一、本章重点：点的坐标与投影，重影点；直线在三面投影体系中的投影特性；平面的投影特性，平面上的直线和点。二、本章难点：求线段的实长及其对投影面的倾角；两直线的相对位置；直线上的点和平面上的线。三、本章要求：同本章的过学习，要掌握点、直线和平面的投影特性，两点的相对位置及重影点。直线上点的投影，平面上的直线和点投影，一般位置直线求实长和对投影面的倾角，两直线的相对位置以及直线与平面的相对位置。四、本章内容： 21 正投影法一、投影法的概念有太阳光和灯光照射时，物体就会在地面或墙上有影子，如下图。这种用投影线通过物体，在给定投影平面上作出物体投影的 、S、bacABC、P投影概念方
2、法称为投影法。二、投影法的种类1中心投影法投影线从一点发出，如上图。该投影法的特点是，物体距离投影面的距离不同时，得到的投影的大小不同。因此，中心投影法不能够真实地反映物体的形状和大小，所以机械制图不采用这种投影法绘制。但中心投影法具有立体感强的特点，常用于绘制建筑物的外观图，也称为透视图。2平行投影法投影线相互平行，在投影面上作出物体投影的方法，就称为平行投影法。如下图。 、ACB、Pacbc、平行投影法的正投影 平行投影法的斜投影 平行投影法的特点是，物体的投影与物体距投影面的距离无关，投影都能够真实地反映物体的形状和大小。平行投影法中又可分为两种，一种是正投影，投影线方向垂直于投影面。另
3、一种是斜投影，投影线方向倾斜于投影面。在机械制图中应用的是正投影法，它是我们学习的重点。22 点的投影一、多面投影的形成点在一个投影面中的投影不能够反映点在空间的位置，如右图，A、A0 的投影都是 a,这样一来就不能唯一确定 A 点的空间位置。因此，利用相互垂直的的两个或三个投影面 体系，作出多面正投影。 点的投影二、点在两个投影面体系中的投影如图 、b)0(a)、XHV(c)、aX0x x x 点在两面体系中的投影投影特性：apo（1）点的正面投影和水平投影连线垂直 OX 轴，即 aaOX;（2）点的正面投影到 OX 轴的距离，反映该点到 H 面的距离，点的水平投影到 OX 轴的距离，反映该
4、点到 V 面的距离，即 aax=Aa, aax=Aa。三、点在三个投影面体系中的投影点在两面投影体系已能确定该点的空间位置，但为了更清楚地表达某些形体，有时需要在两投影面体系基础上，再增加一个与 H 面及 V 面垂直的侧立的投影面 W 面，形成三面投影体系。如下图。 VZYWXYZOAOayxzxNayw“zNa“()、b、c点在三面体系中的投影投影特性：（1）aaOX, aa”OZ, aayHOYH, a”ayWOYW（2）aax=Aa, aax=Aa 。 aaZ=Aa”四、点的投影与坐标根据点的三面投影可以确定点在空间位置，点在空间的位置也可以由直角坐标值来确定。点的正面投影由点的 X、Z
5、 坐标决定，点的水平投影由点的 X、Y 坐标决定，点的侧面投影由点的 Y、Z 坐标决定。例题 1 已知点 A（20，15， 10） 、B（30，10，0） 、C（15，0，0）求作各点的三面投影。分析：由于 ZB=0，所以 B 点在 H 面上，YC=0，ZC=0，则点 C 在 X 轴上。在 OX 轴上量取 oax=20;过 ax 作 aaOX 轴，并使 aax=15, aaZ=10;过 a作 aa”OZ 轴，并使 a”aZ= aax, a, a,a”即为所求 A 点的三面投影。XYWZHba“Ocywxz根据点的坐标求点的投影作 B 点的投影：在 OX 轴上量取 obX=30;过 bX 作 b
6、bOX 轴，并使 bbX=0, bbX=10,由于 ZB=0，b,bX 重合。即 b在 X 轴上；因为 ZB=0，b在 OYW 轴上，在该轴上量取 Obyw=10,得 b”，则 b、b 、b”即为所求 B 点的三面投影。作 C 点的投影：在 OX 轴上量取 OCX=15;由于 Yc=0，Zc=0,c、c都在 OX 轴上，与 c 重合，c”与原点 O 重合。五、两点的相对位置空间点的相对位置，可以利用两点在同面投影的坐标来判断，其中左右由 X 坐标差判别，上下由 Z 坐标差判别，前后由 Y 坐标差判别。如图。V WHABa“ba“b0YWNZA-B() 、) 两点间的相对位置ZaZbA 点在 B
7、 点上方，YaYbA 点在 B 点的前方，XaXbA 点在 B 点的左方。A 点在 B点的左前上方。六、重影点重影点当空间两点位于垂直于某个投影面的同一投影线上时，两点在该投影面上的投影重 合，称为重影点。如上图。23 直线的投影一、直线的投影直线可以由线上的两点确定，所以直线的投影就是点的投影，然后将点的同面投影连接，即为直线的投影，如图。 VXZWHYABab“0XbaN“YWZ()(c)直线的三面投影二、各种位置直线的投影投影面平行线直线平行于一个投影面与另外两个投影面倾斜时，称为投影面平行线。正平线平行于 V 面倾斜于 H、W 面；水平线平行于 H 面倾斜于 V、W 面；侧平线平行于
8、W 面倾斜于 H、V 面。投影面平行线特性：平行于那个投影面，在那个投影面上的投影反映该直线的实长，而且投影与投影轴的夹角，也反映了该直线对另两个投影面的夹角，而另外两个投影都是类似形，比实长要短。P36X(f)Da、bdceY()EB VZACWFbH、 cfWd“f e(f)a表 21。投影面垂直线直线垂直于一个投影面与另外两个投影面平行时，称为投影面垂直线。正垂线垂直于 V 面平行于 H、W 面；铅垂线垂直于 H 面平行于 V、W 面；侧垂线垂直于 W 面平行于 V、H 面。投影面垂直线特性：垂直于那个投影面，在那个投影面上的投影积聚成一个点，而另外两个投影面上的投影平行于投影轴且反映实
9、长。表 223一般位置直线直线与三个投影面都处于倾斜位置，称为一般位置直线。 b(a)B“Acb“01一般位置直线一般位置直线在三个投影面上的投影都不反映实长，而且于投影轴的夹角也不反映空间直线对投影面的夹角。三、一般位置直线的实长及其与投影面夹角一般位置直线的投影即不反映实长又不反映对投影面的真实倾斜角度。要求得实长和夹角，我们利用直角三角形法求得。如图所示。 VABabc、abZ-Y-、AB()(c)求一般位置直线的实长及对投影面的夹角四、直线上点的投影如果点在直线上，则点的各个投影必在该直线的同面投影上，并将直线的各个投影分割成和空间相同的比例。ABCabcVH直线上的点24 平面的投影
10、一、平面的表示法用几何元素表示平面 bacbacbac(a)、()、()、d 、(e)、用几何元素表示平面二、各种位置平面的投影1投影面平行面平面在三投影面体系中，平行于一个投影面，而垂直于另外两个投影面。正平面平行于 V 面而垂直于 H、W 面；水平面平行于 H 面而垂直于 V、W 面；侧平面平行于 W 面而垂直于 H、V 面。投影面平行面特性：平面在所平行的投影面上的投影反映实形，其余的投影都是平行于投影轴的直线；2投影面垂直面在三投影面体系中，垂直于一个投影面，而对另外两投影面倾斜的平面。正垂面垂直 V 面而倾斜于 H、W 面；铅垂面垂直 H 面而倾斜于 V、W 面；侧垂面垂直 W 面而
11、倾斜于 V、H 面。投影面垂直面特性：平面在所垂直的投影上的投影积聚成一直线，该直线于投影轴的夹角，就是该平面对另外两个投影面的真实倾角，而另外两个投影面上的投影是该平面的类似形。3一般位置平面平面对三个投影面都倾斜。平面对三个投影面的相对位置分析可得出平面的投影特性：（1）平面垂直于投影面时，它在该投影面上的投影积聚成一条直线积聚性；（2）平面平行于投影面时，它在该投影面上的投影反映实形实形性；（3）平面倾斜于投影面时，它在该投影面上的投影为类似图形类似性。三、平面上的直线和点1平面上的直线（1）直线通过平面上的已知两点，则该直线在该平面上。（2）直线通过平面上的一已知点，且又平行于平面上的
12、一已知直线，则该直线在该平面上。2平面上的点点在平面上的几何条件是：如果点在平面上的一已知直线上，则该点必在平面上，因此在平面上找点时，必须先要在平面上取含该点的辅助直线，然后在所作辅助直线上求点。3平面上的投影面的平行线平面上的投影面平行线的投影，既有投影面平行线具有的特性，又要满足直线在平面上的几何条件。例题：已知三角形 ABC 的两面投影，在三角形 ABC 平面上取一点 K，使 K 点在 A 点之下15mm，在 A 点之前 13mm，试求 K 点的两面投影。 （如下图） (b)hkgancOmbX1513d平面上取点分析：由已知条件可知 K 点在 A 点之下 15mm，之前 13mm，我
13、们可以利用平面上的投影面平行线作辅助线求得。K 点在 A 点之下 15mm，可利用平面上的水平线，K 点在 A 点之前 13mm，可利用平面上的正平线，K 点必在两直线的交点上。作法：1）从 a向下量取 15mm，作一平行于 OX 轴的直线，与 ab交于 m，与 ac交于 n;2）求水平线 MN 的水平投影 m、n；3）从 a 向前量取 13mm，作一平行于 OX 轴的直线，与 ab 交于 g，与 ac 交于 h，则mn 与 gh 的交点即为 k；4） 4） 由 g、h 求 g、h，则 gh与 mn交于 k，k 即为所求。25 三视图的形成物体的一个视图只能反映出两个方向的尺寸情况，不同形状物
14、体的某一视图可能会相同。所以，一个视图不能准确的表达物体的形状（图 1） 。在机械图样上有时也采用一个视图表达机械零件的形状，但是，这是必须附加说明，圆柱的直径标注“” ，球体的直径标注“S” ，板的厚度标注“t”等。在装配图上大家都非常熟悉的标准件，如螺栓、轴承等通常也只画一个视图。图 1 不同物体的一个视图相同用互相垂直的两个平面作投影面，将物体向这两个投影面作正投影，这两个投影联合起来能表达物体长、宽、高三个方向的尺寸，所以，一般情况下两个视图能表达清楚物体的形状，但有些物体用两个视图也不能准确的表达其形状（图 2） ，为了唯一确定物体的形状和大小必须采用多面投影，通常画出物体的两个或三
15、个视图，每个视图表示物体的一个方面，几个视图配合起来就能全面、准确的表达物体的形状。 三视图的形成过程将物体放入由 V、H、W 面组成的投影体系中，用正投影的方法分别得到物体的三个投影，在 V 面上的投影称为主视图，在 H 面上的投影称为俯视图，在 W 面上的投影称为左视图。拿走空间物体，保持 V 面不动，将 H 面绕 X 轴向下旋转 90，将 W 面绕 Z 轴向后旋转90，和 V 面展平到一个平面内。通常不画投影面和投影轴，根据图纸的大小调整三个视图的相对位置，即得到物体的三视图（图 3） 。图 2 不同物体的两个视图相同图 3 三视图的形成( 动画演示)视图的投影规律因为主视图反映了物体长
16、度方向（方向）和高度方向（Z 方向）的尺寸；俯视图反映了宽度方向（Y 方向）和长度方向的尺寸；左视图反映了高度方向和宽度方向的尺寸。所以三个视图存在如下规律：主、俯视图长度相等-长对正主、左视图高度相等-高平齐俯、左视图宽度相等-宽相等“长对正、高平齐、宽相等”反映了三个视图的内在联系，不仅物体的总体尺寸要符合上述规律,物体上的每一个形体、平面、直线、点都遵从上述规律（图 4） 。图 4 三视图的投影规律视图中图线的含义轮廓线 轮廓线的含义是：物体上投影有积聚性的平面；两个面（平面或曲面）的交线；曲面的转向轮廓线。粗实线：表示物体的可见轮廓线；虚线：表示物体的不见轮廓线。 细点画线视图中的细点画线主要用来表示：回转面的轴线；圆的对称中心线；物体的对称中心线(图 5)。图 5 三视图中图线的含义三视图的画法【例 1】 （动画演示）【例 2】本章小结：1点是组合成几何平面的基本元素，对点的投影要熟练掌握，由点的两个投影可作出第三投影，由点的坐标可作出点的投影，由点对投影面的相对位置，可作出点的投影，重影点的判断。2直线对投影面的各种相对位置的投影特性，直线上点的投影，两直线平行、相交、交叉以及两直线垂直相交的投影。3平面对于投影面的各种相对位置的投影特性，平面上的点和直线，平面上的投影面平行线，
