1、第一节 导数的概念,一、问题的提出,二、导数的定义,三、导数的几何意义,四、可导与连续的关系,五、小结 思考题,一、问题的提出,1.【自由落体运动的瞬时速度问题】,如图,取极限得,牛顿研究的问题，1687年提出导数概念,2.【切线问题】,圆的切线可定义为“与曲线(圆)只有一个交点的直线”，但对一般曲线而言. 这一定义是不合适的.如 y =x2, x 轴和y 轴与曲线都只有一个交点，以哪条直线作为切线呢？如图,又如，y = x3, 如图,又比如，y = sinx, 如图,切线的一般定义：如图,设有曲线C及C上一点M，在M点外任取C上一点N，作割线MN，当点N沿曲线C趋向点M时，如果割线MN趋向于
2、它的极限位置MT，则称直线MT为曲线C在点M处的切线.,2.【切线问题】,割线的极限位置切线位置,L,M,x,y,o,T,N,割线 MN 的斜率为：,2.【切线问题】,割线的极限位置切线位置,切线MT 的斜率为：,则称函数,二、导数的定义,1.【定义】,设函数,在点,存在,并称此极限为,记作:,即,若,的某邻域内有定义 ,在点,处可导,在点,的导数.,其它形式,【注】,函数 在 处可导，也说 在 具有导数或导数存在.若上述极限不存在，则说此点不可导或导数不存在.,【关于导数的说明】,【注意】,【步骤】,【例1】,【解】,即,2.【求导举例】,【例2】,【解】,即,类似可得,【例3】,【解】,更
3、一般地,例如,较常用到,即,【例4】,【解】,【例5】,【解】,即,【例6】,【解】,由本例引出以下概念,（2）右导数:,3. 【单侧导数】,（1）左导数:,（3）可导的充要条件【定理】,简写为,(4)闭区间可导,【注】分段函数在分界点处的导数一般要用该定理判定.,(5)分段函数可导性:,【例如】例6中,在 x = 0 处有,三、导数的几何意义,1.【几何意义】,切线方程为,法线方程为,【例7】,【解】,由导数的几何意义, 得切线斜率为,切线方程为,法线方程为,四、可导与连续的关系,【定理】凡可导函数都是连续函数.,【证】,即：可导必连续.,【注意】 逆定理不成立，即连续不一定可导.,【思考题
4、1】若f (x)在点x0左可导且右可导，f (x)在x0连续吗？,反之若何？,【连续函数不存在导数举例】,例如,补充,曲线在角点处不光滑.,例如,例如,振荡不存在,例如,即： 函数图形在连续曲线上的不光滑的点一定是不可导点.,【结论】,连续函数在以上四种情形下均不可导. 在角点、尖点等“不光滑”的点一定不可导,【思考题2】,（2）可导点必有切线，有切线的点必是可导点吗？,（1）函数图形在光滑点处一定可导吗？,5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数.,看左右导数存在相等否.,五、小结,1. 导数的实质: 增量比的极限;（三种定义形式）,3. 几何意义:导数切线的斜率;,4. 可导一定连续，但连续不一定可导（两者关系）,6. 判断可导性,不连续,一定不可导.,连续,直接用定义求导;,（可导充要条件）,已学求导公式,【思考题】,【思考题解答】,
