1、126.1 二次函数及其图像学习目标1. 了解二次函数的有关概念2. 会确定二次函数关系式中各项的系数。3. 确定实际问题中二次函数的关系式。【学法指导】类比一次函数，反比例函数来学习二次函数，注意知识结构的建立。一、自学导读1.若在一个变化过程中有两个变量 x 和 y，如果对于 x 的每一个值， y 都有唯一的值与它对应，那么就说 y 是 x 的 ，x 叫做 。2. 形如 _0)k（ 的函数是一次函数，当 _0时，它是 函数；形如 0)k（的函数是反比例函数。3用 16m 长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积 y()与长方形的长 x(m)之间的函数关系式为 。分析：在这个问题中，可设长方形生
2、物园的长为 x米，则宽为 米，如果将面积记为y平方米，那么 y与 x之间的函数关系式为 y= ，整理为 y= .4.n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛写出比赛的场次数 m 与球队数 n 之间的关系式_5.用一根长为 40cm的铁丝围成一个半径为 r的扇 形，求扇形的面积 S与它的半径 r之间的函数关系式是 。6.观察上述函数函数关系有哪些共同之处？。7.归纳：一般地，形如 ， （ ,abca是 常 数 ， 且 ）的函数为二次函数。其中 x是自变量， a是_，b是_，c是_ 二、合作探究1.观察:y6x 2;y x230x;y200x 2400x200.这三个式子中,虽然函数有一项的,两
3、32项的或三项的,但自变量的最高次项的次数都是 _次.一般地,如果 yax 2bxc(a.b.c 是常数,a0),那么 y 叫做 x 的_.2.函数 y(m2)x 2mx3(m 为常数).1)当 m_时,该函数为二次函数; 2)当 m_时,该函数为一次函数.3.下列函数表达式中,哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数,请指出各项对应项的系数.(1)y13x 2 (2)y3x 22x (3)yx (x5)2 (4)y3x 32x 2 (5)yx1x三、课堂反馈（1）二次项系数 a为什么不等于 0？答： 。（2）一次项系数 b和常数项 c可以为 0 吗？答： .1观察： 26yx； 235yx；y
4、200x 2400x200； 32yx；23x； 1这六个式子中二次函数有 。 （只填序号）2. 2(1)myx 是二次函数，则 m 的值为_3.若物体运动的路段 s（米）与时间 t（秒）之间的关系为 25st，则当 t4 秒时，该物体所经过的路程为 。4.二次函数 23yxb当 x2 时，y3，则这个二次函数解析式为 5.一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 与半径 r 之间的关系式.6.n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.写出比赛的场次数 m 与球队数 n 之间的关系式.7.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长 25m）的 空地2上修建一个矩形绿化带 ABCD
5、，绿化带一边靠墙，另三边用总长为 40m 的栅栏围住（如图） 若设绿化带的 BC 边长为 x m，绿化带的面积为 y m2求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围四知识检测1.y(m1)x m23x1 是二次函数,则 m 的值为_.2.下列函数中是二次函数的是( ) A.yx B. y3 (x1) 2 C.y(x1) 2x 2 D.y x12 1x23.一定条件下,若物体运动的路段 s(米)与时间 t(秒)之间的关系为 s5t 22t,则当 t4 秒时,该物体所经过的路程为A.28 米 B.48 米 C.68 米 D.88 米4.已知二次函数 yx 2bx3.当 x2 时,
6、y3,求 这个二次函数解析式.5.已知 y 与 x2成正比例,并且当 x1 时,y3.求 y 与 x 之间的函数关系式.6.一个长方形的长是宽的 2 倍，写出这个长方形的面积与宽之间的函数关系式.五、拓展延伸.某种商品的价格是 2 元，准备连续两次降价. 如果每次降价的百分率都是 x，经过两次降价后的价格 y（单位：元）随每次降价的百分率 x 的变化而变化，y 与 x 之间的关系可以用怎样的函数来表示：26.1.2 二次函数 2yax的图象学习目标1知道二次函数的图象是一条抛物线；32会画二次函数 yax 2的图象；3掌握二次函数 yax 2的性质，并会灵活应用 （重点）【学法指导】数形结合是
7、学习函数图象的精髓所在，一定要善于从图象上学习认识函数.一、自学导读第一课时：1.画一个函数图象的一般过程是 ； ； 。2.一次函数图象的形状是 ；反比例函数图象的形状是 .（一）画二次函数 yx 2的图象列表：x 3 2 1 0 1 2 3 yx 2 在图（3）中描点，并连线1.思考：图（1）和图（2）中的连线正确吗？为什么？连线中我们应该注意什么？答：2.归纳： 由图象可知二次函数 2xy的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，即抛出物体所经过的路线，所以这条曲线叫做 线；抛物线 2xy是轴对称图形，对称轴是 ； 的图象开口_； 与 的交点叫做抛物线的顶点。抛物线 2
8、xy的顶点坐标是 ；它是抛物线的最 点（填“高”或“低” ） ，即当 x=0 时，y 有最 值等于 0.在对称轴的左侧，图象从左往右呈 趋势，在对称轴的右侧，图象从左往右呈 趋势；即 x0 时， 随 x的增大而 。（二）例 1 在图（4）中，画出函数 21y， 2， 2y的图象解：列表：x 2 -1.5 1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2y xy 12342342345678910O（1）xy 12342342345678910O（2）xy1234123412345678O（3）xy12345 23453456789102345678910O（4）4x 4 3 2 1 0 1 2 3
9、 4 21y 归纳：抛物线 2xy， 2， 2xy的图象的形状都是 ；顶点都是_；对称轴都是_；二次项系数 a_0；开口都 ；顶点都是抛物线的最_点（填“高”或“ 低” ） 归纳：抛物线 21xy， 2y， 2x的的图象的形状都是 ；顶点都是_；对称轴都是_；二次项系数 a_0；开口都 ；顶点都是抛物线的最_点（填“高”或“低” ） 例 2 请在图（4）中画出函数 21xy， 2y， 2x的图象列表：x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 21y x 3 2 1 0 1 2 3 2y 二、合作探究归纳：抛物线 2axy的性质图象（草图）对称轴顶点开口方向有最高或最低点最值a0当 x_时
10、，y 有最_值，是_a0当 x_时，y有最_值，是_2.当 a0 时，在对称轴的左侧，即 x 0 时， y随 x的增大而 ；在对称轴的右侧，即 x 0 时 y随 的增大而 。3在前面图（4）中，关于 轴对称的抛物线有 对，它们分别是哪些？答： 。由此可知和抛物线2axy关于 轴对称的抛物线是 。4当 0 时， 越大，抛物线的开口越_；当 a0 时， 越大，抛物线的开口越_；因此， a越大，抛物线的开口越 _。三、课堂反馈1函数 273xy的图象顶点是_，对称轴是_，开口向_，当x_时，有最_ 值是_2. 函数 26的图象顶点是_，对称轴是_，开口向_，当x_时，有最_ 值是_3. 二次函数 2
11、3xmy的图象开口向下，则 m_x 2 -1.5 1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2y 54. 二次函数 ymx 2m有最高点，则 m_5. 二次函数 y(k1)x 2的图象如图所示，则 k 的取值范围为_6若二次函数 ax的图象过点（1，2） ，则 a的值是_7如图，抛物线 5 2xy 25xy 27 开口从小到大排列是_；（只填序号）其中关于 轴对称的两条抛物线是 和 。四知识检测1、在同一坐标系内画出下列函数的图象： 22213,3yxyx解：2、分别写出抛物线 24yx与 21x的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性及最值.6第二课时：一、知识回顾：1、点 (2,3),到 x
12、轴的距离是_，到 y 轴的距离是_；点 (3,2)到 x 轴的距离是_，到 y 轴的距离是_.2、抛物线 2(_0)a，当 a0 时，开口向_，对称轴是_，顶点坐标是_，抛物线有最_点，当 x_时， y 随 x 的增大而_，函数有最_值，当 x=_时，y的_（添“最大值”或“最小值” ）为_；当 a0A0a0a0a B、 213y C、 312 D、 3212、已知抛物线 ()x经过 A ),(，B ),(y，C ),4.(y三点，则 y1，y 2，y 3的大小关系是_.3、若抛物线经过 (1,3)和 (,)两点，你能确定出抛物线的对称轴吗？若抛物线经过 A 0xy和 B 20两点，则抛物线的
13、对称轴是_（注意：线段 AB 与 x轴的关系是_）自编几道类似的题目，写出答案补充练习：一、填空题1已知 a0，(1)抛物线 y ax2的顶点坐标为_，对称轴为_(2)抛物线 y ax2 c 的顶点坐标为_，对称轴为_(3)抛物线 y a(x m)2的顶点坐标为_，对称轴为_2若函数 1是二次函数，则 m_3抛物线 y2 x2的顶点，坐标为_，对称轴是_当 x_时， y 随 x 增大而减小；当 x_时， y 随 x 增大而增大；当 x_时， y 有最_值是_4抛物线 y2 x2的开口方向是_，它的形状与 y2 x2的形状_，它的顶点坐标是_，对称轴是_5抛物线 y2 x23 的顶点坐标为_，对
14、称轴为_当 x_时， y 随 x 的增大而减小；当 x_时， y 有最_值是_，它可以由抛物线 y2 x2向_平移_个单位得到6抛物线 y3( x2) 2的开口方向是_，顶点坐标为_，对称轴是_当 x_时， y 随 x 的增大而增大；当 x_时， y 有最_值是_，它可以由抛物线y3 x2向_平移_个单位得到二、选择题7要得到抛物线 2)4(31xy，可将抛物线 231xy( )A向上平移 4 个单位 B向下平移 4 个单位C向右平移 4 个单位 D向左平移 4 个单位8下列各组抛物线中能够互相平移而彼此得到对方的是( )A y2 x2与 y3 x2 B 21xy与 21xyC y2 x2与
15、y x22 D y x2与 y x229顶点为(5，0)，且开口方向、形状与函数 3的图象相同的抛物线是( )A 2)5(31xy B 5312xy C 251xyD 2)5(31xy三、解答题10在同一坐标系中画出函数 21,yxy3x和 2xy的图象，并说明 y1， y2的图象与函数 21xy的图象的关系2611在同一坐标系中，画出函数 y12 x2， y22( x2) 2与 y32( x2) 2的图象，并说明 y2， y3的图象与 y12 x2的图象的关系综合、运用、诊断一、填空题12二 次 函 数 y a(x h)2 k(a 0)的 顶 点 坐 标 是 _， 对 称 轴 是 _， 当
16、x _时 ，y 有 最 值 _； 当 a 0 时 ， 若 x_时 ， y 随 x 增 大 而 减 小 13填表解析式 开口方向 顶点坐标 对称轴y( x2) 23y( x3) 22 5)11)25(3xyy3( x2) 2y3 x2214抛物线 1)(有最_点，其坐标是_当 x_时， y 的最_值是_；当 x_时， y 随 x 增大而增大15将抛物线 23y向右平移 3 个单位，再向上平移 2 个单位，所得的抛物线的解析式为_二、选择题16一抛物线和抛物线 y2 x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是(1，3)，则该抛物线的解析式为( )A y2( x1) 23 B y2( x1) 23C
17、y(2 x1) 23 D y(2 x1) 2317要得到 y2( x2) 23 的图象，需将抛物线 y2 x2作如下平移( )A向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位B向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位C向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位D向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位三、解答题18将下列函数配成 y a(x h)2 k 的形式，并求顶点坐标、对称轴及最值(1)y x26 x10 (2)y2 x25 x7(3)y3 x22 x (4)y3 x26 x2(5)y1005 x2 (6)y( x2)(2 x1)27拓展、探究、思考19把二次函数 y a(x h
18、)2 k 的图象先向左平移 2 个单位，再向上平移 4 个单位，得到二次函数 1)(2的图象(1)试确定 a， h， k 的值；(2)指出二次函数 y a(x h)2 k 的开口方向、对称轴和顶点坐标20、如图，抛物线 2159()8yx与 x 轴相交于点 A、B，与 y轴相交于点 C，过点 C 作CDx 轴，交抛物线于点 D，若点 P 在线段 AB 上以每秒 1 个单位的速度由 A 向 B 运动，同时点 Q在线段 CD 上也以每秒 1 个单位的速度由 D 向 C 运动，则经过几秒后，PQ=AC。26.1.3 二次函数 khxay2的图象（四）：学习目标会用二次函数 khxay2的性质解决问题
19、；一、自学导读1.抛物线 2(+1)3开口向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，当x 时， y 有最 值为 。当 x 时， y随 x的增大而增大.2. 抛物线 2()x是由 2y如何平移得到的？答： 。二、合作探究1.抛物线的顶点坐标为（2，-3） ，且经过点（3,2）求该函数的解析式？分析：如何设函数解析式？写出完整的解题过程。282.仔细阅读课本第 10 页例 4：分析：由题意可知：池中心是 ，水管是 ，点 是喷头，线段 的长度是 1 米，线段 的长度是 3 米。由已知条件可设抛物线的解析式为 。抛 物线的解析式中有一个待定系数，所以只需再确定 个点的 坐标即可，这个点是 。求水管的长就是通过求
20、点 的 坐标。3、课堂反馈4、如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线 对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为 6 米，底 部宽度为 12 米. AO= 3 米，现以 O 点为原点， OM 所在直 线为x 轴建立直角坐标系.(1) 直接写出点 A 及抛物线顶点 P 的坐标；(2) 求出这条抛物线的函数解析式；四知识检测1.知识准备如图抛物线 214yx与 x轴交于 A,B 两点，交 y轴于点 D，抛物线的顶点为点 C（1） 求ABD 的面积。（2） 求ABC 的面积。（3） 点 P 是抛物线上一动点，当ABP 的面积为 4 时，求所有符合条件的点 P 的坐标。（4） 点 P 是抛物线上一
21、动点，当ABP 的面积为 8 时，求所有符合条件的点 P 的坐标。（5） 点 P 是抛物线上一动点，当ABP 的面积为 10 时，求所有符合条件的点 P 的坐标。2.如图，在平面直角坐标系中，圆 M 经过原点 O，且与 轴、 轴分别相交于两点（1）求出直线 AB 的函数解析式；（2）若有一抛物线的对称轴平行于 轴且经过点 M，顶点 C 在M 上，开口向下，且经过点 B，求此抛物线的函数解析式；（3）设（2）中的抛物线交 轴于 D、E 两点，在抛物线上是否存在点 P，使得 ？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由xy1123123DCBOAxy BPAMO2926.1.4 二次函数
22、2yaxbc的图象：学习目标1.能通过配方把二次函数 cbxay2化成 2()+hk的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标。2熟记二次函数 x2的顶点坐标公式；3会画二次函数一般式 cbxay的图象一、自学导读1.抛物线 231yx的顶点坐标是 ；对称轴是直线 ；当 x= 时 y有最 值是 ；当 时， y随 x的增大而增大；当 x 时， y随 的增大而减小。302. 二次函数解析式 2()+yaxhk中，很容易确定抛物线的顶点坐标为 ，所以这种形式被称作二次函数的顶点式。二、自主学习：（一） 、问题：（1）你能直接说出函数 22xy 的图像的对称轴和顶点坐标吗？ （2）你有办法解决问题（1
23、）吗？解： 22xy的顶点坐标是 ，对称轴是 .（3）像这样我们可以把一个一般形式的二次函数用 的方法转化为 式从而直接得到它的图像性质.（4）用配方法把下列二次函数化成顶点式： 22xy 521xy cbxay2（5）归纳：二次函数的一般形式 cbxay2可以用配方法转化成顶点式： ，因此抛物线 cbxay2的顶点坐标是 ；对称轴是 ，（6）用顶点坐标和对称轴公式也可以直接求出抛物线的顶点坐标和对称轴，这种方法叫做公式法。用公式法写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。 432xy 2xy xy42（二） 、用描点法画出 12xy的图像.（1）顶点坐标为 ；（2）列表：顶点坐标填在 ；（
24、列表时一般以对称轴为中心，对称取值 ）（3）描点，并连线：（4）观察：图象有最 点，即 x= 时， y有最 值是 ； x 时， y随 x的增大而增大； 时 随 x的增大而减小。该抛物线与 轴交于点 。该抛物线与 轴有 个交点.二、合作探究求出 12xy顶点的横坐标 2x后，可以用哪些方法计算顶点的纵坐标？ 计算并比较。三、课堂反馈1二次函数 y=3x22 x1 的图像是开口方向_，顶点是_， 对称轴是_2二次函数 y=2x2 bx c 的顶点坐标是（1，2） ，则 b=_， c=_3二次函数 y=ax2 bx c 中， a0， b0， c=0，则其图像的顶点是在第_象限4如果函数 y=（ k3） 23k kx1 是二次函数，则 k 的值一定是_x 12yxy 1234567 12334123456O
