1、实验 3 一元函数微分学实验目的1借助软件绘图功能，从几何直观上帮助理解导数的概念以及切线方程、法线方程；2借助软件绘图功能，深入理解驻点、极值点、单调区间、凹凸性和渐近线概念；3从几何上帮助理解微分中值定理和泰勒展开定理；4学习使用软件进行导数和微分的基本运算；5近似计算。实验准备1导数的概念 00()(,limyxyfxfA2导数的基本运算规则（1） ；1212()()()()cfxgcfg（2） ；xx （3） 若 ，则 。(),()yfu()dyxfu3微分中值定理若 在 上可微，则在 中一定存在一点 ，使得()Fx,ab,ab.()()F4泰勒展开式若 在 点附近是 次可微的，则 在
2、 的附近可以写成()fx01n()fx0()2000 0 0()() )()!nnfxffx xRx其中 称为泰勒展开式中的余项。(1)10!nnnfRx5导数的应用（1）函数几何性质的判断（2）极值- 16 - 第一章 基础实验实验内容1导数概念及其几何意义2微分中值定理的几何演示3泰勒展开定理与多项式逼近4驻点、拐点、极值点、单调区间、凹凸性和渐近线的几何示意图5导数的运算6利用软件求极值7近似计算软件命令表 3-1 Matlab 一元函数求导命令函数名称 调用格式 说 明syms syms 变量名 1，变量名 2, 定义符号变量sym f=sym(expression) 定义符号表达式d
3、iff(f,x,n) 求 f 对 x 的 n 阶导数diff(X,n)求 X 中相邻两元素的 n次递归差分diffdiff(Y)./diff(X) 计算近似导数 dyxtaylor taylor(f,n,x0)在 处展开函数0到第 n 项()fxsolve solve(equations,x,) 方程（组）求根fsolve fsolve(equations,x0,) 非线性方程（组）求根roots roots(p) 多项式求根plot plot(x1,y1,options,x2,y2,options,) 绘制散点图演示实验【例 3.1】导数的概念及其几何意义考察函数 的图像及在 处切线、割线之
4、间的关系。2sinyx1,x实验 3 一元函数微分学 - 17 -【原理】：过点 的切线方程和法线方程分别为0(,)xf和00()yffx0001()()yfxxf割线方程为 000 0()() )ffyfxx【步骤】：Step 1: 取 ，绘制 在点 的割线、切线和法线；1x()f01,Step2：分别取 ，利用动画展示函数0.5,2.,.2.0,1图像、切线、割线和法线之间的关系。【程序】：程序参见 Exm03Demo01.m。【例 3.2】洛尔定理的几何意义设函数 ，()3(1)(3)fxx（1）验证 分别在区间 上满足洛尔定理，并通过图形展示,1洛尔定理的几何意义；【原理】：在区间 上
5、可微，且 ，所()fx3,1,3(3)1()30fff以 分别在区间 上满足洛尔定理的条件。由洛尔定理，存在,1，使得 。123(,)(,)()xxx123()()fxffx【步骤】：Step1: 画出 的图形，并求出 。(),()yff123,clearclfsyms x;f=(x-3)*(x-1)*(x+1)*(x+3);df1=diff(f,x);rt=solve(df1,x);for i=1:3vf(i)=subs(f,x,rt(i);endvf=double(vf);X1=-4.0:0.1:4.0;n1=length(X1);- 18 - 第一章 基础实验Z1=zeros(1,n1)
6、;for i=1:n1Y1(i)=subs(f,x,X1(i);DY1(i)=subs(df1,x,X1(i);endplot(X1,Y1,r-,X1,DY1,b-,X1,Z1)输出图形：-4 -2 0 2 4-50050 f(x)f(x)y=0图3-2（1）f(x)以及f(x)的图形求得的根为：-5(1/2)；0；5(1/2)。Step2: 画出 及其在点 处的切线。()yfx123(,),(),()xffxfxY0=ones(1,length(X1)*vf(1);X2=0:0.1:4;Y2=ones(1,length(X2)*vf(2);X3=-4:0.1:0;Y3=ones(1,leng
7、th(X3)*vf(3);axis(-4 4 -50 50)hold onplot(X1,Y1,r-,X1,DY1,b-,X1,Z1)plot(X1,Y0,r-,X2,Y2,b-.,X3,Y3,k-)hold off输出图形为：-4 -2 0 2 4-50050 f(x)f(x)y=0y=9y=-16y=-16图 3-2（2）切线图及几何意义【例 3.3】泰勒展开式对函数 分别在 处进行作泰勒展开到 2、4、6、8 阶，并在区2/cosxye0,2x间 内作出函数及其在 处 2、4、6、8 阶泰勒多项式的图形。,【步骤】：实验 3 一元函数微分学 - 19 -Step1：在 处展开成泰勒级数；
8、0xStep2：在 处展开成泰勒级数02Step3：绘制函数图形【程序】：参见 Exm03Demo03.m。【输出】：-2 -1 0 1 2-4-2024（1） 在 x=0 展开1 1.5 2 2.5-0.100.10.20.3（2）在 处展开x图 3-3 一元函数的泰勒展开【例 3.4】驻点与拐点的计算已知函数 ，求 的驻点、拐点。32(1)xf()fx【步骤】：【Step1】：求出函数 ，并绘制图形：(),fx在命令窗口中键入：syms x;f=(x+1)3/(x-1)2;df1=diff(f,x);simplify(df1)df2=diff(f,x,2);simplify(df2)输出结
9、果：df1 =(x+1)2*(x-5)/(x-1)3；- 20 - 第一章 基础实验df2 =(24*x+24)/(x-1)4。在命令窗口中分别输入：fplot(x-5)*(x+1)3/(x-1)3,-2 0);fplot(x-5)*(x+1)3/(x-1)3,2 6);可以得到一阶导函数和二阶导函数的图形（略） 。【Step2】：求出函数 的可能驻点和拐点：()fx在命令窗口中输入： solve(df1,x)solve(df2,x)输出结果为：可能的驻点为：-1，-1，5；拐点为：-1。【例 3.5】求导运算计算下列导数：（1）已知 ，求 ；（2）已知 ，求 ；1arctnxy,y lnax
10、y,y（3）已知 ,求 ；2()f2d（4）函数 由方程 确定，求导数 。yxlnyxdyx【步骤】：输入命令：(1) syms x;y=arctan(x+1)/(x-1)simplify(diff(y,x)simplify(diff(y,x,2)(2) syms x a;y=log(a-x)/(a+x)(1/2);simplify(diff(y,x)simplify(diff(y,x,2)（3）syms x;y=sym(x*f(x2+1);diff(y,x,2)（4） clcclearsyms x y;y=sym(y(x);g=char(diff(y-x-log(y),x);h=subs(g
11、,diff(y(x),x),f);f=solve(h,f)【例 3.6】极值问题求函数 的极值。5433()21fxx实验 3 一元函数微分学 - 21 -【步骤】：【Step1】：绘制函数的图形：在命令窗口中输入：fplot(3/5*x5-3/4*x4-2*x3+1,-2 2.5)输出图形：-2 -1 0 1 2-15-10-505图 3-4 函数的极值【Step2】求出函数的驻点输入：syms x;f=3/5*x5-3/4*x4-2*x3+1;df1=diff(f,x);solve(df1,x)输出可能的驻点为：0，0，2，-1。【Step3】判断驻点是否为极值点输入：df2=diff(f
12、,x,2) 输出：df2 =12*x3-9*x2-12*x；输入：subs(df2,x,0) 输出：0；输入：subs(df2,x,2) 输出：36；输入：subs(df2,x,-1) 输出：-9；因此，x=2 为极小值点, x=-1 为极大值点。在-0.5,0.5内：一阶导数 df1= 3*x2*(x+1)*(x-2)0，函数单调下降，因此 x=0 不是极值点。输入：subs(f,x,2); subs(f,x,-1);输出：极小值为：-7.8，极大值为 1.65。【例 3.7】近似计算- 22 - 第一章 基础实验利用微分中值定理或者泰勒公式计算 的近似值。cos7【步骤】：Step 1：定
13、义泰勒展开式：TaylorCos(x,x0,n)Step 2：计算近似值 【程序】：参见Exm03Demo07.m。【输出】：见表 3-1。表 3-1 利用泰勒展开式进行近似计算结果比较表（cos7）展开次数 近似值 误差 展开点 近似值 误差2 1 -0.2461 1 0.21771 0.536194 -23.5 24.254 2 1.0985 -0.344626 76.542 -75.788 3 0.78713 -0.0332318 -86.86 87.614 4 0.75441 -0.0005049210 56.116 -55.363 5 0.7539 3.611e-00612 -21.
14、726 22.48 6 0.7539 2.0382e-00914 7.17 -6.4161 7 0.7539 016 -0.60972 1.3636 8 0.7539 -1.4397e-01018 0.97864 -0.22474 9 0.75391 -7.0908e-00620 0.7243 0.029606 10 0.75492 -0.0010201从上表中，我们可以看出，当在固定点展开时，展开多项式的次数越高，cos7 的计算结果越好；而当固定展开次数时，展开点越靠近 7,近似计算效果越好。实验 3 一元函数微分学 - 23 -实验练习1.求曲线 上点 处的切线方程和法线方程，画出函数割线和原函数的图cosyx132(,)形，观察它们之间的关系。2. 验证 分别在区间 上满足拉格()()(3)fx2,01,4朗日定理，并通过图形展示拉格朗日定理的几何意义。3.用泰勒公式近似计算 。,e4.一只昆虫飞行的路线参数方程为 2cos,02in3()itxty（1）求昆虫飞行的最高点和最低点；（2）求昆虫飞行中离原点左侧和右侧的最远点。5.设函数 ，ln(1)yx（1）分别在 处进行 1、3、5、7 阶泰勒展开式；0,4（2）在区间 内画出函数及其在点 处进行 1、3、5、7 阶泰勒展开式20,4x的图形；（3）考察展开点 和展开项数 对泰勒多项式逼近函数的效果的影响。0xn
