1、1第二章 极限与函数一、本章学习要求与内容提要 （一）学习要求1了解极限的描述性定义2了解无穷小、无穷大的概念及其相互关系和性质3会用两个重要极限公式求极限4掌握极限的四则运算法则5理解函数在一点连续的概念，知道间断点的分类6了解初等函数的连续性及连续函数在闭区间上的性质（最大值和最小值定理、根的存在定理、介值定理） 7会用函数的连续性求极限重点 极限的求法，两个重要极限，函数在一点连续的概念难点 间断点的分类，分段函数在分段点的连续性（二）内容提要极限的定义(1) 函数极限、数列极限的描述性定义极限定义表类型 描述性定义 极限记号极 限 的时 函 数)(xf设函数 在 为某个正)(xfyb(
2、实数)时有定义，如果当自变量 的绝对x值无限增大时，相应的函数值无限接近于某一个固定的常数 ，则称 为A（读作“ 趋于无穷” ）时函数x的极限)(xf 或Axfx)(lim2极 限 的时 函 数)(xf设函数 为某个实数)axfy(,)(在内有定义，如果当自变量 无限增大时，相应的函数值 无限接近于某一个固f定的常数 ，则称 为 （读作A“ 趋于正无穷” ）时函数 的极限)(xf 或Axfx)(lim)极 限 的时 函 数)(xf设函数 ( 为某个实数),)(axfy在内有定义，如果当自变量 无限增大且时，相应的函数值 无限接近于0f某一个固定的常数 ，则称 为A（读作 “ 趋于负无穷” ）时
3、函数x的极限)(xf 或Axfx)(li)极 限 的时 函 数)(0xfx设函数 在点 的去心邻域)(fy0内有定义，如果当自变量 在,0Nx内无限接近于 时，相应的函数)(x值 无限接近于某一个固定的常数 ，f A则称 为当 （读作“ 趋近于 ”）A0x0时函数 的极限)(f 或Axfx)(lim0)0极 限 的时 函 数)(0xf设函数 在点 的左半邻域)(fy0x内有定义，如果当自变量 在此,(0x半邻域内从 左侧无限接近于 时，相应x0的函数值 无限接近于某个固定的常)(f数 ，则称 为当 趋近于 时函数A的左极限)(f 或Axfx)(lim0f)(0或极 限 的时 函 数)(0xf设
4、函数 的右半邻域)(xfy内有定义，如果当自变量 在此0,x半邻域内从 右侧无限接近于 时，相应00的函数值 无限接近于某个固定的常)(f数 ，则称 为当 趋近于 时函数Ax的右极限)(f 或Axfx)(lim0f)(0或对于数列 ，若当自然数 无限增nun大时，通项 无限接近于某个确定的常数,则称 为当 趋于无穷时数列 的极nu限，或称数列 收敛于nA或Aunlim)(数列 的nu极限若数列 的极限不存在，则称数列x发散nx不存在nuli（2）单侧极限与极限的关系定理3 的充分必要条件是 Axfx)(lim)(limxfx Af)(li 的充分必要条件是 x0 0xx0（）极限存在准则单调有
5、界数列极限的存在定理单调有界数列必有极限夹逼准则若当 时，有 ，且 ， ，),(0xN)(xhfxg） Axgx)(lim0 xhx)(li0则 Afx)(lim0夹逼准则对自变量的其他变化过程也成立.2. 极限的四则运算法则设 及 都存在，则)(li0xfx)(li0xg(1) ；)(lim)(lim000 xgfx(2) ,)(li 000f xx( 为任意常数);)li00 fCx(3) )(lim)(li00gfxx)li0xg上述极限四则运算法则对自变量的其他变化过程下的极限同样成立3 两个重要极限(1) 一般形式为 （其中 代表 的任,1sinlm0x 1)(sinlm0)(xux
6、 )(xux意函数） (2) ,1liexx4一般形式为 （其中 代表 的任意函数） e)()(1limxuxu )(xux 无穷小量与无穷大量在讨论无穷小量与无穷大量的概念及其相关性质时, 均以的极限变化过程为例.其他极限变化过程,有完全类似的结论0x（）无穷小量在自变量的某个变化过程中，以零为极限的变量称为该极限过程中的无穷小量，简称无穷小例如,如果 ，则称当0)(lim0xf时, 是无穷小量0x)(f注意 一般说来，无穷小表达的是变量的变化状态，而不是变量的大小，一个变量无论多么小，都不能是无穷小量，数零是惟一可作为无穷小的常数（） 无穷大量在自变量的某个变化过程中，绝对值可以无限增大的
7、变量称为这个变化过程中的无穷大量，简称无穷大应该注意的是：无穷大量是极限不存在的一种情形，我们借用极限的记号 ，表示“当 时, 是无穷大量” )(lim0xfx 0x)(f（）无穷小量与无穷大量的关系在自变量的某个变化过程中，无穷大量的倒数是无穷小量，非零无穷小量的倒数是无穷大量（）无穷小量的运算 有限个无穷小量的代数和是无穷小量 有限个无穷小量的乘积是无穷小量 无穷小量与有界量的乘积是无穷小量 常数与无穷小量的乘积是无穷小量（5）无穷小量的比较下表给出了两个无穷小量之间的比较定义无穷小量的比较表5设在自变量 的变化过程中， 均是无穷小量0x)(x与无穷小的比较 定 义 记 号高 阶 的 无
8、穷 小是 比 )()(x 0)(lim0x )()(x（ ）0是 同 阶 的 无 穷 小与 )(li0为 不 等 于 零 的 常 数Cx是 等 阶 无 穷 小与 )(xa 1)(li0xa)(x（ ）0（） 极限与无穷小量的关系定理的充分必要条件是 ，其中 是当 时Axfx)(lim0 )()(xAf)(xa0x的无穷小量（） 无穷小的替换定理设当 时， ， ， 存在，则0x)()(21xx)()(21x)(lim20x)(lim210x5函数的连续性 函数在一点连续的概念 函数在一点连续的两个等价的定义：定义 设函数 在点 的某个邻域内有定义，若当自变量)(xf0x的增量 趋于零时，对应的函
9、数增量也趋于零，即0x，0)(limli00 xffyxx则称函数 在点 处连续，或称 是 的一个连续点)(xf0 0f定义 若 ，则称函数 在点 处连续)()lim00xffx)(xf0x 左右连续的概念 若 ，则称函数 在点 处左)()(lim00fxfx)(f0x连续；若，则称函数 在点 处右连续)()lim00xffx)(xf0 函数在一点连续的充分必要条件函数 在点 处连续的充分必要条件是 在点 处既左连续)(f0 )(xf06又右连续由此可知，函数 在点 处连续，必须同时满足以下三个条件：)(xf0 函数 在点 的某邻域内有定义，)(f0 存在，lim0xx 这个极限等于函数值 )
10、(0xf 函数在区间上连续的概念在区间上每一点都连续的函数，称为在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续，该区间也称为函数的连续区间如果连续区间包括端点，那么函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续 间断点若函数 在点 处不连续，则称点 为函数 的间断点)(xf0 0x)(xf 间断点的分类设 为 的一个间断点，如果当 时， 的左极限、右极0 0限都存在，则称 为 的第一类间断点；否则，称 为 的第二0)(xf 0)(f类间断点对于第一类间断点有以下两种情形： 当 与 都存在，但不相等时，称 为 的跳跃间)(lim0xfx)(li0fx 0x)(f断点； 当 存在，但极限不等于
11、 时，称 为 的可去间)(li0xfx )(0xf0x)(f断点 初等函数的连续性定理基本初等函数在其定义域内是连续的一切初等函数在其定义区间内都是连续的 闭区间上连续函数的性质 最大值和最小值存在定理 闭区间上连续函数一定能取得最大值和最小值 根的存在定理 设 为闭区间 上的连续函数，且)(xf ba,异号，则至少存在一点 ，使得 )()(bfaf与 ,ba0)(f 介值定理 设 是闭区间 上连续函数，且 ，则)(xf )()(bfaf7对介于 之间的任意一个数 ，则至少存在一点 ，使)()(bfaf与 ),(ba得 )(f二、主要解题方法1求函数极限方法(1) 利用极限存在的充分必要条件求
12、极限例 1 求下列函数的极限：（1） ， 42limx（2） 当 为何值时， 在 的极,1sin2xaf ,0a)(xf0限存在.解 (1) ,41)2(lim42li xxx,)(2lilim2xx因为左极限不等于右极限，所以极限不存在（2）由于函数在分段点 处，两边的表达式不同，因此一般0x要考虑在分段点 处的左极限与右极限于是，有0x，axaf xxx 0000 lim)1sin(l)1sin(lm)(li，2为使 存在，必须有 = ，)(li0fx )(li0fx)(li0fx因此 ，当 =1 时， 存在且 =1a小结 对于求含有绝对值的函数及分段函数分界点处的极限，要用左右极限来求，
13、只有左右极限存在且相等时极限才存在，否则，极限不存在8（3）利用极限运算法则求极限例 2 求下列函数的极限：(1) ， (2) ， (3) 1limx3limx6592， 21li()xx(4) 15limx解 (1) = = 32li1x )1(lim32x(2) 当 时，分子、分母极限均为零，呈现 型，不能直接0用商的极限法则，可先分解因式，约去使分子分母为零的公因子，再用商的运算法则原式= 623lim)(3li659lim23 xxxxx(3) 当 时， 的极限均不存在，式 呈现121, 21x型，不能直接用“差的极限等于极限的差 ”的运算法则，可先进行通分化简，再用商的运算法则即原式
14、= 2211()lim()limxx11lili()xx(4) 当 时，分子分母均无极限，呈现 形式需分子分母同时除以 ，将无x穷大的 约去，再用法则求9原式= 521limxx小结 （ ）应用极限运算法则求极限时，必须注意每项极限都存I在（对于除法，分母极限不为零）才能适用（II）求函数极限时，经常出现 等情况，都不能直接,0运用极限运算法则，必须对原式进行恒等变换、化简，然后再求极限。常使用的有以下几种方法（ ）对于 型，往往需要先通分，化简，再求极限，i（ ）对于无理分式，分子、分母有理化，消去公因式，再求极限，（ ）对分子、分母进行因式分解，再求极限，i（ ）对于当 时的 型，可将分子
15、分母同时除以分母的最vx高次幂，然后再求极限（3）利用无穷小的性质求极限例 3 求下列函数的极限（1） ， （2） 1lim2x 3sinlm1x解（1） 因为 而 ，求该式的极限需用无0)(lix 0)(li1x穷小与无穷大关系定理解决因为 ，所以当 时，21x是无穷小量，因而它的倒数是无穷大量，即 12x lim21x（2）不能直接运用极限运算法则，因为当 时分子，极限10不存在，但 是有界函数，即 而 sinxsin1x，因此当 时， 为无穷小量.01lim1li33xxx 31x根据有界函数与无穷小乘积仍为无穷小定理，即得.3sinl01x小结 利用无穷小与无穷大的关系，可求一类函数的
16、极限（分母极限为零，而分子极限存在的函数极限） ；利用有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小定理可得一类函数的极限（有界量与无穷小之积的函数极限） （4）利用两个重要极限求函数的极限例 4 求下列函数的极限：（1） ， （2） 203coslimxx xx)1(lim2解（1）分子先用和差化积公式变形，然后再用重要极限公式求极限原式= = 20sinlixx 41)2sin4(lsil0 xx（2）解一 原式= = ，10)(lim)1(li)1(limxxxxx e解二 原式= = )1(2lix0小结 （ ）利用 求极限时，函数的特点是 型，满足Isinl0x 0的形式，其中 为同一变量；)(s
17、inlm0)(xuxu11（ ）用 求极限时，函数的特点 型幂指函数，其形式Ixx)1(lim1为 型,)(1为无穷小量，而指数为无穷大，两者恰好互为倒数；x（ ）用两个重要极限公式求极限时，往往用三角公式或代数公I式进行恒等变形或作变量代换，使之成为重要极限的标准形式。(5) 利用等价无穷小代换求极限常用等价无穷小有当 时, ,0x )1ln(arctrsintasinxxx e, 21cos2例 5 求下列函数的极限（1） ， （2） 203coslimxx30tansilimxx解 （1） = （ ） 201lix 61li20x 21cos,0x（2） =3sintaxcos)(n32
18、0islmcox x= 20sinlx= （ ） 122si,x小结 利用等价无穷小可代换整个分子或分母，也可代换分子或分母中的因式，但当分子或分母为多项式时，一般不能代换其中一项。否则会出错12如上题 , 即得一错误结果0limsintal 3030 xxx（6）利用函数的连续性求极限例 6 求下列函数的极限（1） ， （2） 2limx21esinx )arcsin(lim2xx解 (1) 因为 是初等函数，在 处有定义，2ix所以 ，5esin41esili22x(2) 函数 看成由 复合而成，)arci(xxuy2,sin利用分子有理化，21limli)(lim22 xxxx然后利用复
19、合函数求极限的法则来运算1liarcsn1arcsinli)arcsin(li2 xxxxx= 62rsi小结 利用“函数连续的极限值即为函数值”可求连续函数的极限。在一定条件下复合函数的极限，极限符号与函数符号可交换次序2判断函数连续性的方法由于初等函数在它的定义区间内总是连续，所以函数的连续性讨论多指分段函数在分段处的连续性例 7 讨论函数 13， 在点 处的连续性,1sin)(xf 00x解 由于函数在分段点 处两边的表达式不同，因此，一般要考虑在分段点 处的左极限与右极限0x因而有 ，01sinlm)(li,lim)(li 000 xxffxxx而 即,)(f，)(li)(li00 fffxx由函数在一点连续的充要条件知 在 处连续x0三、学法建议1本章的重点是极限的求法及函数在一点的连续的概念，特别是求极限的方法，灵活多样因此要掌握这部分知识，建议读者自己去总结经验体会，多做练习2本章概念较多，且互相联系，例如：收敛，有界，单调有界；发散，无界，无穷大；极限，无穷小，连续等只有明确它们之间的联系，才能对它们有深刻的理解，因此读者要注意弄清它们之间的实质关系3要深刻理解在一点的连续概念，即极限值等于函数值才连续千万不要求到极限存在就下连续的结论，特别注意判断分段函数在分段点的连续性
