1、目录1抽屉原理 111 抽屉原理的简单形式 112 抽屉原理的加强形式 22抽屉原理的应用 421 抽屉的构造 421 1 等分区间制造抽屉 421 2 分割图形构造抽屉 521 3 利用“对称性”构造抽屉 621 4 用整数性质制造抽屉 721 5 利用染色制造抽屉 821 6 根据问题的需要制造抽屉 922 抽屉原理在数学解题中的应用 1022 1 解决代数问题 1022 2 解决数论问题 1122 3 解决几何问题 1222 4 多次顺向运用抽屉原理 1222 5 逆向运用抽屉原理 1323 抽屉原理在生活中的应用 1323 1 月黑穿袜子 1323 2 手指纹和头发 1423 3 电脑
2、算命 143总结 15参考文献 16致 谢 171抽屉原理抽屉原理又叫做鸽巢原理，指的是一件简单明了的事实：为数众多的鸽子飞进为数不多的巢穴里，则至少有一个巢穴飞进了两只或者更多的鸽子，其实有关于抽屉原理（鸽巢原理）的阐释，粗略的说就是如果有许多物体放进不足够多的盒子内，那么至少有一个盒子被两个或多个盒子占据。我将在下面的论文当中给出更加精确的叙述。11 抽屉原理的简单形式 抽屉原理的最简单的形式如下定理 111 如果 个物体放进 个盒子，那么至少有一个盒子包含1nn两个或更多的物体证明：（用反证法）如果 个盒子中每个盒子至多放一个物体，则放入个盒子中的物体总数至多为 个这与假设有 个物体矛盾
3、从而定理得nn1n证注意，无论是抽屉原理还是它的证明，对于找出含有两个或更多物体的盒子都没有任何帮助我们只是简单断言，如果人们检查每一个盒子，那么他们会发现有的盒子，里面放有多于一个的物体抽屉原理只是保证这样的盒子存在因此，无论何时抽屉原理被用来证明一个排列或某种现象的存在性，除了考察所有的可能性外，它都不能对任何构造排列或寻找现象的例证给出任何指示还要注意，抽屉原理的结论不能被推广到只存在 个（或更少）物体的情n形这是应为我们可以把不同的物体放到 个盒子的每一个中去当然，在这些盒子中可以这样分发物体：一个盒子放入两个物体，但对任意分发这是没有保证的抽屉原理只是断言，在 个盒子中去论如何分发
4、个物体，总不能n1n避免把两个物体放进同一个盒子中去还存在一些与抽屉原理相关的其它原理，有必要正式叙述如下(1) 如果将 个物体放入 个盒子并且没有一个盒子是空的，那么每个盒子nn恰好包含一个物体(2) 如果将 个物体放入 个盒子并且没有盒子被放入多于一个的物体，那么每个盒子里有一个物体现在把所阐明的这三个原理更抽象的表述为：令 和 是两个有限集，并令 是一个从 到 得函数XY:fXYXY（1）如果 的元素多于 的元素，那么 就不是一对一的Yf（2）如果 和 含有相同个数的元素，并且 是映上的，那么 就是一对f一的（3）如果 和 含有相同个数的元素，并且 是一对一的，那么 就是映XYff上的1
5、2 抽屉原理的加强形式 下列定理包含定理 111 作为它的特殊情形定理 121 设 为正整数如果将12,nq个物体放入 个盒子内，那么，或者第一个盒子至少含1nq n有 个物体，或者第二个盒子至少含有 个物体，或者第 个盒子至少含2有 个物体n证明：设将 个物体分放到 个盒子中如果对于每121nq n个 ，第 个盒子含有少于 个物体，那么所有盒子中的物体总数不2,i， ， iiq超过 1212 nnq q （ ） （ ） （ ）该数比所分发的物体总数少 1，因此我们断言，对于某一个 ，第 个12,in， ， i盒子至少包含 个物体i注意，能够将 个物体用下面的方法分到 个盒子中，对12nq 所
6、有的 第 个盒子都不能含有 个或更多的物体，我们可以通过将,in， ， iiq个物体放入第一个盒子，将 个物体放入第二个盒子等来实现，抽屉1q21原理的简单形式是由其强化形式的通过使 得到的，由此有2.n121nn 在初等数学中抽屉原理的加强形式最常用于 都等于同一个整数12,nq的特殊情况在这种情况下，该定理叙述如下：r推论 121 如果 个物体放入 个盒子中，那么至少有一1nr个盒子含有 个或更多的物体等价的，r推论 122 如果 个非负整数 的平均数大于 ：12,.,nm1r12.nr那么至少有一个整数大于或等于 r这两种表述之间的联系可以通过取 个物体并放入 个盒子中得1n到对于 ，令
7、 是第 个盒子中的物体个数于是这 个数12,in， ， imm的平均数为12,.,nm12.(1)1()nrrn由于这个平均数大于 ，故而有一个整数 至少是 换句话说，这些盒子rim中有一个盒子至少含有 个物体推论 123 如果 个非负整数 的平均数小于 ：n12,.,n1r12.nr那么至少有一个整数小于 r推论 124 如果 个非负整数 的平均数至少等于 ，n12,.,nmr那么这 个整数 至少有一个满足 n12,.,mir推论 125 个物体放入 个盒子中，则至少有一个盒子中有不少于 个物体n注：符号 表示不超过实数 的最大整数xx证明：（反证法）若不然，则每一个集合中最多有 个物体，这
8、时， 1mn个盒子中就最多有 个物体n1mn因为 ，所以 ，这与已知1 1nm条件 个物体放入 个盒子中矛盾，故上述推论成立mn抽屉原理的形式比较多变，在具体的应用中也会有不同的变化，但本质上都是一样的上述定理及推论的证明均采用反证法，这种证明方法对于证明元素个数多于抽屉个数的问题时有其普遍意义，平均重叠原则 ：把一个量 任意分成 份，则其中至少有一份不大于Sn，也至少有一份不少于 SnSn不等式重叠原则 ：若 ，且 ，则 ， 至,abcdRacbdabcd少有一个成立面积重叠原则 ：在平面上有 个面积分别是 ， ， 的图形，把n1A2n这 个图形按任何方式一一搬到某一个面积为 的固定图形上去
9、，n（1）如果 ，则至少有两个有公共点；12.nAA（2）如果 ，则固定图形中至少有一个点未被盖住2抽屉原理的应用应用抽屉原理的基本思想是根据不同问题自身特点，洞察问题本质，先弄清对哪些元素进行分类，再找出分类的规律，即所谓的构造抽屉，构造抽屉是应用抽屉原理的关键在介绍抽屉原理的应用之前，本文先用几个具体的例子来介绍几种常用的构造抽屉的方法21 抽屉的构造211 等分区间制造抽屉当问题的结论与区间有关时，可等分某个区间，设计出若干个抽屉例 1 求证：对于任给的正无理数 及任意大的自然数 ，存在一个有n理数 ，使得 km1kmn证明：把区间（0，1）进行 等分，得 个小区间n12310,.,n由
10、抽屉原理知，这些区间内的 个数中，必有两个数落在某一个区间，从而这两个数的差的绝对值小于 设 ，则由 是正无理数得(1,2.)ipNn01iip所以这 个数 中，必有 2 个数，不妨设为1n(1,2.)iipn和 ，它们的差的绝对值小于 ，即1p2 n12121()()pp设 ，则1212,mpk，即nkmn上述例子涉及区间问题，把区间（0，1）进行 等分，得 个小区间，自然就得到了 个抽屉，而 个数可以作为 个物体，此处可以利用抽屉原n11理解决问题212 分割图形构造抽屉在一个几何图形内有若干已知点，我们可以根据问题的要求把图形进行适当的分割，用这些分割成的图形作为抽屉，再对已知点进行分类
11、，集中对某一个或几个抽屉进行进行讨论，使问题得到解决例 2 在边长为 2 米的正方形内，任意放入 13 个点求证：必有 4 个点，以它们为顶点的四边形的面积不超过 1 平方米(1) (2)证明：把边长为 2 米的正方形分割成面积为 1 平方米的 4 个小正方形，如图 1因为 13=34+1，所以由抽屉原理知，至少有 4 个点落在同一个面积为 1平方米的小正方形内（或边上），以这 4 个点为顶点的四边形的面积总小于或等于小正方形的面积，即以这 4 个点为顶点的四边形的面积不超过 1 平方米注：此例是通过分割图形构造抽屉 将正方形等分成 4 个矩形来制造抽屉也可以解决本题，如图 2213 利用“对
12、称性”构造抽屉“对称性”是数学中常用的处理问题的一种方法同样，在构造抽屉的过程中也可以利用“对称性”来解决问题，这种方法不易观察，需要不断的训练例 3 九条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为 2：3 的两个四边形证明:这九条直线中至少有三条经过同一点 证明：如图，设 是一条这样的这样的直CD线我们再画出这两个梯形的中位线 ，因这两AB个梯形有相等的高，所以他们的面积比应等于对应的中位线长的比，即等于 (或者 )因:P:P为点 有确定的位置，它在正方形一对对边中点P的连线上，并且 ，由几何上的对称性，:23AB：这种点共有 4 个，即图中的 已知的九,PQRS条适合条件的分割直线中的每一条
13、必须过 这 4 点中的一点把,S当成 4 个抽屉， 9 条直线当成 9 个物体，即可看出必有 3 条分割直线,PQRS经过同一个点正方形是个比较规则的图形，在正方形中有很多对称关系，对解题减小了一点难度。214 用整数性质制造抽屉当问题与整数性质有关时，我们可以用整数的性质，把题目中的数设计成一些抽屉，然后用抽屉原理去解（1）划分数组制造抽屉仔细观察题目中的数，如果题中数据具有一定的规律，可以划分数组构造抽屉例 4 从 1，2，3，98 中任取 50 个不同的数，试证：其中必有两个数，它们之差等于 7证明:先把所给的 98 个数设计成 49 个抽屉：（1，8），（2，9）（3，10），（4，1
14、1），（21，28），（91，98），可以发现每个抽屉里的两个数之差为 7从 1，2，3，98 中任取 50 个，就是从这 49 个抽屉中任取 50 个数，由抽屉原理知，必有一个抽屉中要取出两个数，即这 50 个数中必有两个数，它们之差为 7本题的关键就是对这 98 个数进行合理分类，构造抽屉分类的原则是每个抽屉中的两个数只差是 7，且抽屉的个数少于任取的数的个数（2）按同余类制造抽屉把所有整数按照除以某个自然数 的余数分为 类，叫做 的剩余类或同mm余类，用0，1，2，m-1表示每一个类含有无穷多个数在研究与整除有关的问题时，常按同余类制造抽屉例 5 任意 10 个自然数中，总有两个数的差是
15、 9 的倍数证明：要使两个自然数的差被 9 整除，必须使两个自然数被 9 除的余数相同于是我们考虑把自然数按除以 9 所得的余数 0、1、2、3、8 进行分类，也就是 9 个抽屉根据抽屉原理，任意 10 个自然数中，必有两个数除以9 所得的余数相同因此这两个数的差一定是 9 的倍数本题的特点比较明显，很容易想到利用同余类制造抽屉215 利用染色制造抽屉我们可以把将物体放入盒子改为用 中颜色中的每一种颜色对每一个物体n染色此时抽屉原理断言，如果 个物体用 种颜色涂色，那么必然有两个1物体被染成相同颜色抽屉原理的加强形式用染色的术语表述就是：如果个物体中的每一个物体被指定用 种颜色中的一种染色，1
16、21nq n那么存在一个这样的 ，使得第 种颜色的物体至少有 个ii iq例 6 证明：任意 6 个人中一定有 3 个人互相认识或互相不认识证明：我们用点 依次表示这 6 个人两者互相认识的，123456,AA他们之间用红色线段相连；两者互相不认识的用蓝色线段相连那么把从 出1A发的 5 条线段 ， ， ， ， 放入红，蓝两个抽屉中，根据抽12314516屉原理知，一定至少有 3 条线段同色不妨设线段 ， ， 都为红12A314色考虑线段 ， ， ，分以下两种情况：2A244A（1）若 ， ， 都是蓝色，则三角形 的三边同为蓝色，33 234如图（3） ，这就是说 三者互不认识24,（2）若
17、， ， 中至少有一条为红色，不妨设为 ，如图23A3A23A（4） ，则三角形 的三边同为红色，即 三者互相不认识1 123,AA6A5A4A3A2A1A6A5A4A3A2A1（3） （4）实线表示红色，虚线表示蓝色总之，任意 6 个人中一定有 3 个人互相认识或互相不认识本题属于利用染色制造抽屉，染色问题的实质是分类，只不过题目以涂色形式出现，显得直观而已216 根据问题的需要制造抽屉例 7 能否在 44 的方格表的每个小方格中分别填上 1、2、3 这 3 个数之一，而使大正方形方格的每行、每列及对角线上的 4 个数字的和互不相同?请说明理由 证明：若每格都填数字“1” ，则 4 个数字之和
18、最小，其值为 4；若每格都填数字“3” ，则 4 个数字之和最大，其值为 12因为从 4 到 12 之间共有个互不相同的值作为 9 个抽屉，而 4 行、1294 列及 2 条对角线上的各个数字之和共有个整数值，这样元素的个数比抽屉的个数多 1，根据抽屉原理知，0一定至少有两个数值属于同一个抽屉，即不可能使大正方形的每行、每列及对角线上的各个数字之和互不想同本题中的抽屉不明显，需要根据问题来进行构造，即找出 4 个数字之和的最小值和最大值，从而确定抽屉数本题可推广为：不可能在 的方格表的n每个方格中分别填上 1、2、3 这三个数之一，而使大正方形方格表的每行、每列及对角线上的各个数字之和互不相同
19、但如果在每个方格中分别填上1、2、3、4 这 4 个数之一，则可以使大正方形方格的每行、每列及对角线上的各个数字之和互不相同抽屉原理叙述的内容很简单，但应用起来却比较复杂，主要原因就是必须找到合适的抽屉，抽屉的构造方法大致可归结为两大类：一类是用分割图形构造抽屉，一类是用分类的概念构造抽屉其实质是对对象进行恰当的分类抽屉选的好，选的巧，可以得出非常漂亮的结果，抽屉构造的方法很多，上述方法旨在通过以上例子做到举一反三下面本文将结合上述方法，简单谈一下抽屉原理在数学解题中以及生活中的应用22 抽屉原理在数学解题中的应用一般地说，用抽屉原理来解决的数学问题有如下特征：新给的元素具有任意性，如八个苹果
20、放入七个抽屉，可以随意的一个抽屉放几个，也可以让抽屉空着，问题的结论是存在性命题，题中常含有“至少有”，“一定有”，“不少于”，“存在”，“必然有”等词语，其结论只要存在，不必确定前面的内容已经介绍了一些常用的构造抽屉的方法，这对我们的解题有很大的帮助下面将从代数，数论，几何三方面来谈抽屉原理在数学解题中的应用221 解决代数问题用集合的语言抽屉原理可以叙述如下：（1）设 个元素按任意确定方式分成有限个集合，那么至少有一个集合含n有两个元素（2）设有无穷多个元素按任意确定方式分成有限个集合，那么至少有一个集合含有无穷多个元素例 8 证明:有限群中的每个元素的阶均有限证明：设 G 为 阶有限群，
21、任取 aG，则由抽屉原理可知n中必有相等的不妨设 于是有231,.,aa ,11stasn，从而 a 的阶有限ste例 9 设 A 为 阶方阵，证明：存在n11,Akkkn使 秩 （ ） =秩 （ ）证明：因为 阶方阵的秩只能是 这 个数之一，而01,23n， ，的个数大于秩 ，从而，由抽屉原理知在0121,.nAA中，存在 满足,kl使1ln秩（ ）=秩（ ）kAl但秩（ ） 秩（ ） 秩（ ）k1lA所以秩（ ）=秩（ ） ，得证kk222 解决数论问题在初等数论中，很多问题都可以看作存在性问题，所以可以考虑利用抽屉原理进行解决利用抽屉原理解决数论问题时常利用整数的性质制造抽屉，可参见 2
22、14例 10（中国余式定理） 令 和 为两个互素的正整数，并令 和 mnab为整数，且 以及 ，则存在一个正整数 ，使得 除01a01bx以 的余数是 ，并且 除以 的余数为 即 可以写成 mxx pm的同时又可以写成 的形式，这里 和 是整数 qnpq证明：为了证明这个结论考虑 个整数 ，,2,.1amana，这些整数中的每一个除以 都余 设其中的两个除以 有相同的余数 令mr这两个数为 和 ，其中 因此，存在两整数 和 ，iaj01ijniqj使得 及 ，这两个方程相减可iimqnrjqr得 ()()jij于是 是 的一个因子由于 和 没有除 1 之外的公因子，因此nm是 的因子然而， 意
23、味着 ，也就是说 不可nji01ij0jinn能是 的因子该矛盾产生于我们的假设： 个整数,2,.aaa，中的两个除以 有相同的余数因此这 个数中的每一个数除以 n 都有不同的nn余数根据抽屉原理， 个数 中的每一个作为余数都要出现，特别01.， ， ，地，数 也是如此令 为整数，满足 ，且使数 ，除以bp1pxpma余数为 则对于某个适当的 ，有 nqxnb因此 且 ，从而 具有所要求的性质xmaxnb223 解决几何问题抽屉原理在几何问题中可以变形如下：如果长度为 的线段上放置若干条a长度大于之和大于 的线段，则放置的线段中必有公共点a例 11 在边长为 1 的正方形内部，放置若干个圆，这
24、些圆的周长之和等于 10证明：可以作出一条直线，至少与其中四个圆有交点证明：将所有的已知圆投影到正方形的一条边 AB 上注意，周长为 的圆l周，其投影长为 的线段因此所有已知圆的投影长度之和等于 ，由于l 10，所以由抽屉原理知，线段 AB 上必有一点 X，至少被四条投影线103AB段所覆盖即至少有四条投影线段有公共点因此，过点 X 且垂直于 AB 的直线，至少与四个已知圆有交点224 多次顺向运用抽屉原理前面所举的例子都知运用了一次抽屉原理，其实在有些应用中，顺向运用抽屉原理时，必须连续使用多次，才能解决问题，而且每构造一次抽屉都把范围缩小一些例 12 求证：在平面内，任意凸五边形的顶点中，
25、必有三点 A、B、C，使 5ABC分析：因为 ， 是凸五边形五个内角大小的平均值， (2)153(2)5又是 的三等分值，所以此题要用两次抽屉原理(2)证明：因为平面凸五边形的内角和为 ，所以由抽屉原理知，至(2)3少有一个内角不小于 不妨设这个不小于 的内角的顶点为 B，与它不相355邻的两个顶点为 A、C，边 AB、CB 把 分成三个角，则由抽屉原理知，必有一B个角不小于 ，设这个角为 ，于是 13AC5225 逆向运用抽屉原理有些应用题，运用抽屉原则可归结为：已知 和 的值，求 的最n1m小值，这种问题可逆向用抽屉原理，并用 去解x例 13 在平面直角坐标系内，求至少在多少个整点（坐标都
26、是整数的点）中有 4 个整点，它们两两的中点也是整点解：由中点坐标公式知，中点为整点的条件是两个端点的对应坐标的奇偶性相同，因此需要把整点的坐标按奇偶性分类整点的坐标按整数的奇偶性分成四类：（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶）设在 x 个整点中至少一类中有 4 个整点，所以 ，即 ，14x13x所以 ，即 所以 x 的最小值是 13，即至少在 13 个整点126137x中，有 4 个整点，它们两两的中点也是整点23 抽屉原理在生活中的应用抽屉原理在日常生活中的应用其实也非常广泛，比如前面提到的例 5，再如一组多余 366 个人中一定有 2 个人的生日相同，80 个人中至少有 7 个人
27、生在同一个月等等，这样的例子很多，下面介绍几个有意思的例子231 月黑穿袜子有一个晚上你的房间的点灯忽然坏了，伸手不见五指，而你又要出去，于是你就摸底下的袜子你有三双分别为红、白、蓝颜色的袜子，可是你平时做事随便，一脱袜子就乱丢，在黑暗中不知道哪一双是颜色相同的你想拿最少数目的袜子出去，在外面借街灯配成颜色相同的一双这最少数目应该是多少？运用抽屉原理，你就会知道只拿出去四只袜子就行了因为我们有三双红、白、蓝的袜子，相当于 3 个抽屉，我们拿出去的 4 只袜子就是 4 个物体，4 个物体肯定有 2 个是同一个颜色的232 手指纹和头发据说世界上没有两个人的手指纹是一样的，因此警方在处理犯罪问题时
28、很重视手指纹，希望通过手指纹来破案或检定犯人可是在 13 亿中国人当中，最少有两个人头发是一样多的这是因为，人的头发数目是不会超过 13 亿这么大的数目，假定人最多有 N根头发现在我们编上号码 其中 表示由 根头发的那些1234,.nAiAi人现在假定每个 都有一个人，那么还剩下 “13 亿减 N”个人，这数目不会i等于零，我们现在随便挑一个放进和他头发相同的小组就行，他就会在里面遇到和他有相同头发数目的人了233 电脑算命“电脑算命”看起来挺玄乎，只要你报出自己出生的年、月、日和性别一按按键，屏幕上就会出现所谓性格、命运的句子，据说这就是你的“命”这是科学的吗？如果以 70 年算，按出生的年
29、、月、日、性别的不同组合数应为，我们把它作为抽屉数我国现有人口 13 亿，我们把它作70365210为物体由于 ，由抽屉原理，存在 25441 个以上的人，9.31254尽管他们的出身、经历、天资、机遇各不相同，但他们却有完全相同的“命” ，这真是荒谬绝伦！所谓“电脑算命”不过是把人为编好的算命语句像中药柜那样事先分别一一存放在各自的柜子里，谁要算命，即根据出生的年、月、日、性别的不同的组合按不同的编码机械地到电脑上的各个“柜子”里取出所谓命运的句子其实这充其量不过是一种电脑游戏而已抽屉原理应用其实非常广泛，除了之前介绍的几个例子之外，抽屉原理在计算机上也有一定的应用，由于涉及一些计算机专业问
30、题，本文不再详细介绍3总结抽屉原理叙述起来比较简单，因此本文将重点放在了抽屉原理的应用，尤其是构造抽屉的几种方法，这是灵活应用抽屉原理的关键从上面的例子中，我们可以看到应用抽屉原理时一般分为三个步骤：（1） 构成分类的对象有 个元素；m（2） 找出分类的规则，将 个元素分成 个抽屉，并证明每个抽屉中的n元素符合题意；（3） 应用抽屉原理证明结论成立应用的关键在于构造抽屉的方法，构造抽屉主要依赖于自身的经验和技巧，充分体现了个人解题思维的灵活性参考文献1Richard A Brualdi 组合数学 M 冯舜玺等译 北京: 机械工业出版社， 20052 李莉，李永杰 中学代数研究与教学 郑州大学出
31、版社 2007 3陈传理，张同君 竞赛数学教程 高等教育出版社 20054 宋博抽屉原理Teaching design2005 年第 11 期55 页5于振梅 运用生活中的实例讲授鸽笼原理 福建电脑报 2006 年第 10期212 页，200 页6吕松涛抽屉原理在数学解题中的应用 商丘职业技术学院报 2010 年第 2 期15 页16 页7朱欢抽屉原理在中学数学竞赛解题中的应用 高等函授学报（自然科学版） 2010 年 12 月 第 23 卷第 6 期 75-77 页8 胡端平 鲁晓成 组合数学 武汉大学出版社，2001致 谢在大学四年的学习过程中，我得到了数科院各位领导、老师及班级同学的热心帮助和支持，使我能够在以优异的成绩完成学业之余，自身综合能力也得到了极大限度的提高在此谨向他们表示我最衷心的感谢！在论文完成之际，我要特别感谢我的指导老师，惠志昊老师的热情关怀和悉心指导在我撰写论文的过程中，老师给予了我很大帮助，收集资料、整理思路、写作内容等方面给我提出了许多有益的意见在论文修改期间，惠老师又多次帮我修改并提出许多宝贵意见同时在撰写论文的过程中我也得到了许多同学的帮助，感谢所有关心、支持、帮助过我的良师益友最后，向在百忙中抽出时间对本文进行评审并提出宝贵意见的各位老师表示衷心地感谢！本文参考了大量的文献资料，在此，向各学术界的前辈们致敬！
