1、实验16 连续函数、可微函数与振荡函数数观察实验目的 通过观察图像特征，加深理解一元连续函数连续与可微的区别。通过观察函数的振荡现象，学习从无序中寻找、发现规律，利用高等数学中的极限理论对规律的成因进行分析，猜想和验证。从而加强学生对理论知识的灵活应用能力，提高学生的分析问题、解决问题的能力。培养学生的创新意识和研究习惯。预备知识 极限、连续、可微的概念实验内容【项目1】连续函数、可微函数观察选定两个函数 ，如fxg(),，xgx1sin,0,()sin在点 处 连续，而 连续可微，观察它们在点 附近的图像的区别。x0()fx(g() 0方法：分别作出函数 在包含 的一系列区间上的图像，并进行
2、对比。),x0【Matlab程序】：参见Exm16Demo01.m。【输出】：见图16-1。-0.05 0 0.05-0.1-0.0500.050.1与 16-1 x*sin(1/x)与 sinx与 与 与 与 与 与 与 与【项目2】 处处连续处处不可微的函数例子-魏尔斯特拉斯函数魏尔斯特拉斯函数是（1）nfxbaxbab0()cos(),01,0,级数（1）在 中一致收敛，所以 在 上连续，它是无穷多f()x- 94 - 第二章 专题实验个余弦曲线叠加而成的，记第n+1条曲线为 nyTxbax()cos()其周期为 ，振幅为 。na2nb余弦曲线的斜率（按绝对值计算）的最大值出现在它的零点
3、处，我们用这个最大值来刻画它陡峭的程度，故不妨称为 的陡度，即得 的陡度就是nTx()nTx()dabma现令 为一整数，且 ，1a1b所以 的陡度又比 的陡度大（ab）倍，所以构成函数（1）的正弦波就越来越nTx()nTx()窄，越来越陡，其振幅也越来越小。图1就b=1/2，a=5画出了级数（1）的三个部分和（程序参见Exm16Demo02.m） 。短划线是部分和： ；Sxx00()cos()虚线是部分和： ；Tx1011cos(5)2实线： 。Sxxxx2013()()cs()()cs(25)40 0.5 1 1.5 2 2.5 3-2-1012与 16-2与 1与 S0(x),S1(x)
4、,S2(x)与 与 与图16-2（2）（5）显示的是a=5,b=0.5，n=100时的部分和函数在点0.7附近的图像。观察图像，我们可以想象由无穷多项正弦波叠加而成的函数 的图像会成为一条“毛f()茸茸“的曲线，而有可能是一个不可求导的函数的图像。事实上可以从理论上证明它在任一点处均不可微。实验 16 连续、可微函数观察 - 95 -0 1 2 3 4-101(2) Sn(x):0,pi 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9-101(3) Sn(x):0.6 0.80.68 0.7 0.72 0.74-0.500.5(4) Sn(x):0.69 0.71 0.698 0.699 0.7 0.
5、701 0.702-0.500.5(5与Sn(x):0.699 0.701图16-2 函数Sn(x)的图形：a=5；b=0.5；n=100【项目 3】 函数 在 时的性质观察1()si(xf作出函数 的图形，考察在 x=0 附近函数的振荡现象。nx【步骤 1】 振荡现象观察首先作出函数 在区间-1，1，-0.1,0.1，-0.01，0.01，-1()si(xf0.005，0.005上的图形见图 16-3-1。无论区间多么小，在 x=0 附近总是模糊一片，看不出任何有规律的变化。【程序】：参见 Exm16Demo03.m。 【输出】：见图 16-3-1。-1 -0.5 0 0.5 1-101(1
6、) sin(1/x):-1 1-0.1 -0.05 0 0.05 0.1-101(2) sin(1/x):-0.1 0.1-0.01 -0.005 0 0.005 0.01-101(3) sin(1/x):-0.01 0.01-5 0 5x 10-3-101(4) sin(1/x):-0.005 0.005- 96 - 第二章 专题实验图 16-3-1 函数 sin(1/x)在 x=0 附近的图形【步骤 2】 寻找振荡中的规律考察离散点列 ，其中 。例如取 。画出这些离散点，见图1,sinx0n1nx16-3-2，发现点列 有明显的规律，一条条离散的曲线形成网格状。(,)图 16-3-2 散点
7、列（1/n,sin(n)）图 16-3-2 中每一条离散曲线是由哪些离散点形成的呢？由于 是周期为sinyx的函数，先求出自然数 n 从 1 到 100 除以 2之后的余数，再将其由小到大排列，并求2出该序列对应的自然数序列，我们猜想，这个序列应该很有规律，试试看。【步骤 3】 振荡规律探索为探索图 16-3-2 所显示规律性，我们来分析 的数值变化情况。考察自然数在模sin意义下的余数，编写程序求出是自然数 1 到 200 除以 的余数按由小到大排列的数列2 2m，以及该数列的序号列 i，输出的 m=0.0177 0.0354 0.0531 0.0708 0.1504 0.1681 0.18
8、58 ；i=44 88 132 176 19 63 107 151 195 。 序列 i 很有规律，前面四个单增元素是等间隔的，公差为 44。接下来的五个单增元素也是公差为 44 的等间隔数，后面的每个单增小节（四个或五个数）的公差均为 44。因此，我们将以 44 为步长，作出离散点。对 i 取固定的值，这些离散点1,sin,450,1,.43xykiikN应该就是图 4 中的一条离散曲线。取 i=0 时输出的图形见图 16-3-3（1）,作出了一条离散曲线，再分别取 i=1, 2, 3, 4, 5，6，7， 又可作出 7 条离散曲线，见图 16-3-3（2） 。由上述规律类推，当 i 取遍从
9、 500 到 543 的所有自然数时，就可作出图 16-3-2 中的全部离散曲线，共 44 条。实验 16 连续、可微函数观察 - 97 -【程序】：参见 Exm16Demo03_2.m。【输出】：见图 16-3-3（3） 。输出的图形正好是图 16-3-2，与我们的预想一致。图 16-3-3 探索规律【步骤 4】 实验总结 从高等数学中知道函数 , 当 时的极限不存在，在 x=0 附近函数1()sin(xf0是振荡的。通过这次实验，不仅直观看见这个振荡现象，同时经过深入探索，发现当 x 沿着 x=1/n,（n 为自然数）趋于零时， 的分布呈现明显规律。进一步实验、分析发1,sin现 （n=1,2,，i 为一固定自然数）形成一条离散曲线，当 i 取遍 50014,si()i到 543 中所有自然数后， （n=1,2,， ）便形成 44 条离散曲线，正好14,s()nii是 的分布图形。1,sin
