线性代数A至C.doc

1、线性代数模拟题 A一单选题. 1.下列（ A ）是 4 级偶排列（A） 4321； (B) 4123； (C) 1324； (D) 23412. 如果， ，13231aD3231214aaD那么 （ B ） 1（A） 8； (B) ； (C) 24； (D) 3. 设 与 均为 矩阵，满足 ，则必有（C） nOAB（A） 或 ； （B） ；O（C） 或 ； （D ） 004. 设 为 阶方阵 ，而 是 的伴随矩阵，又 为常数，且 ，则必有n)3(*k1,0k等于（B） *kA（A） ； （B） ； （C ） ； （D） *1Akn*Akn*1Ak5.向量组 线性相关的充要条件是（C）s,.21

2、（A） 中有一零向量s(B) 中任意两个向量的分量成比例s,.21(C) 中有一个向量是其余向量的线性组合s(D) 中任意一个向量都是其余向量的线性组合s,.216. 已知 是非齐次方程组 的两个不同解， 是 的基础解系，bAx21,0Ax为任意常数，则 的通解为（B）21,kbx(A) ; (B) 2)(11212)(12121k(C) ; (D) )(12121k )(121217. 2 是 A 的特征值，则（ A2/3） 1 的一个特征值是（b）(a)4/3 (b)3/4 (c)1/2 (d)1/48. 若四阶矩阵 A 与 B 相似，矩阵 A 的特征值为 1/2,1/3,1/4,1/5，

3、则行列式|B -1-I|=( b)(a)0 (b)24 (c)60 (d)1209. 若 是（A） ，则 必有 （A）对角矩阵； (B) 三角矩阵； (C) 可逆矩阵； (D) 正交矩阵10. 若 为可逆矩阵，下列（A ）恒正确（A） ； (B) ；212A(C) ； (D) 11)()()()(二计算题或证明题1. 设矩阵3241kA(1)当 k 为何值时，存在可逆矩阵 P，使得 P1 AP 为对角矩阵？(2)求出 P 及相应的对角矩阵。参考答案：(1)则应有当 时，A+E 的秩为 112=所以，k=0(2)当 时，12=对应特征向量可取为 121,0P当 时 ，对应的特征向量可取为3=10

4、AE（ ） 310P34123kkE-A 1021k0)1(2., :21的 特 征 值 为得 40kE-A024k-/1/因此，1120,P2. 设 n 阶可逆矩阵 A 的一个特征值为 ，A *是 A 的伴随矩阵，设|A|=d，证明：d/是 A*的一个特征值。参考答案：设 是 A 的属于特征值 的特征向量,则 A = 两边左乘 A*得 A*A = A*所以有 |A| = A*,即 d = A*因为 A 可逆,所以 A 的特征值都不等于 0所以有 (d/) = A*即 d/ 是 A*的一个特征值, 是 A 的属于特征值 d/ 的特征向量.3. 当 取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷

5、多解？有解时，求其解a23211ax参考答案：. 对增广矩阵 B=（A，b）作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵，有 2 22 3 231110()0(1)aaaaBa 当 时，即 时，R（A）=R（B）=3，方程组有唯一解。20a1,此时解为：2123(1),aaxx当 时， 。2=0,当 a=1 时，R（A）=R（B） =1，方程组有无穷解此时解为：11223xk当 时，R（A）=2 ，R（B）=,3 无解。a4. 求向量组的秩及一个极大无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示 021,65,14703,2,41参考答案： 123451033132100,=2752464（ ），则向量的秩为

6、3，143011310r-2,)()0( 交 换 行极大无关组为： ，且 ，124,a312a5124a5. 若 是对称矩阵， 是反对称矩阵，试证： 是对称矩阵ABBA参考答案：由已知条件知道， ,则有，=,T,所以 是对称矩阵()TTTBA（ ）线性代数模拟题 B一单选题. 1. 若 是五阶行列式 的一项，则 、 的值及该项符号为)541(lkN5432alk ijakl（C ） （A） ， ，符号为负； (B) ， 符号为正；l 2k3l(C) ， ，符号为负； (D) ， ，符号为正3k 12. 下列行列式（ A ）的值必为零(A) 阶行列式中，零元素个数多于 个；nn2(B) 阶行列式

7、中，零元素个数小于 个；(C) 阶行列式中，零元素个数多于 个； (D) 阶行列式中，零元素的个数小于 个nn3. 设 ， 均为 阶方阵，若 ，则必有（D ） AB2BABA（A） ； (B) ； (C) ； (D) IO4. 设 与 均为 矩阵，则必有（ C ） （A） ；（B ） ；（C） ；（D）11B5. 如果向量 可由向量组 线性表出，则（D）s,.21(A) 存在一组不全为零的数 ，使等式 成立sk skk.21(B) 存在一组全为零的数 ，使等式 成立s,.21 s(C) 对 的线性表示式不唯一(D) 向量组 线性相关s,.,216. 齐次线性方程组 有非零解的充要条件是（A ）

8、0x(A)系数矩阵 的任意两个列向量线性相关(B) 系数矩阵 的任意两个列向量线性无关(C )必有一列向量是其余向量的线性组合(D)任一列向量都是其余向量的线性组合7. 设 n 阶矩阵 A 的一个特征值为 ，则( A 1 )2I 必有特征值（ C ）(a) 2+1 (b) 2-1 (c)2 (d)-28. 已知 与对角矩阵相似，则 （A）013aa(a) 0 ; (b) 1 ; (c) 1 ; (d) 29. 设 ， ， 均为 阶方阵，下面（ D）不是运算律ABCn（A） ； （B） ；A)( BCA)(（C） ； （D ） )( (10. 下列矩阵（ B）不是初等矩阵(A) ；（B） ；（C

9、 ） ；（ D） 0101102102二计算题或证明题（1. 已知矩阵 A，求 A10。其中 2，求的 A 的特征值为 。10=12E（ ） （ ） 12=，当 时，解方程（A-E ）x=0，由 ，得基础解系 ，单位化1 01E1为 12p当 时，解方程（A-2E）x=0，由 ，得基础解系 ，单1= 102AE210位化为 20p将 P1、P 2 构成正交矩阵： ，有121,0Pp102PA，则101102A，和答案不一样1010101 1022P 啊，不知道怎么回事。参考答案： 10102A2. 设 A 为可逆矩阵， 是它的一个特征值，证明：0 且 -1是 A-1的一个特征值。参考答案：当

10、A 可逆时，由 AP=P,有 P=A -1P，因为 P0，知道 0，因此A-1P= -1P,所以 -1是 A-1的一个特征值。3. 当 取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？有解时，求其解a23321ax参考答案：对增广矩阵 B=（A，b）作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵，有 2 21211203()03(1)a aBaa当 时，即 时，R（A）=R（B）=3，方程组有唯一解。20a1,a此时解为： 123,2xxa当 a=1 时，R（A）=R（B ）=1 ，方程组有无穷解此时解为：11223kx当 时，R（A）=2 ，R（B）=,3 无解。a4. 求向量组的秩及一个极大无关组，

11、并把其余向量用极大无关组线性表示 201,1,432431 参考答案：则向量的秩为 312341100,=123（ ）极大无关组为： ，且234,a1234aa5. 若 是对称矩阵， 是正交矩阵，证明 是对称矩阵ATAT1参考答案：、，因为 T 是正交矩阵，所以 ，又 A 是对称矩阵，11()*()T 1T，所以，是对称阵。11()()=*TTAA线性代数模拟题 C一单选题. 1. 设五阶行列式 ，依下列次序对 进行变换后，其结果是（A ） ijamija交换第一行与第五行，再转置，用 2 乘所有的元素，再用-3 乘以第二列加于第三列，最后用 4 除第二行各元素（A） ； (B) ； (C)

12、； (D) 838m412. 如果方程组 有非零解，则（D） 054zykx（A） 或 ；（B） 或 ；（C ） 或 ；（D）11k21k或 1k33. 设 ， ， ， 为同阶矩阵，若 ，则下列各式中总是成立的有（A） BCII（A） ； (B) ； (C) ； (D) AIBICBA4. 设 ， ， 为同阶矩阵，且 可逆，下式（ A）必成立（A）若 ，则 ； (B) 若 ，则 ；(C) 若 ，则 ； (D) 若 ，则 BOC5. 若向量组 的秩为 ，则（D ）s,.21r（A）必定 rs(B)向量组中任意小于 个向量的部分组线性无关(C )向量组中任意 个向量线性无关r(D)向量组中任意个

13、向量必定线性相关16. 设向量组 线性无关，则下列向量组线性相关的是（C）321,(A) ; (B) ;1 12321,(C) ; (D) .321, 3,7. 设 A、B 为 n 阶矩阵，且 A 与 B 相似，I 为 n 阶单位矩阵，则（d）(a)I-AI-B (b)A 与 B 有相同的特征值和特征向量(c)A 与 B 都相似于一个对角矩阵 (d)kI-A 与 kI-B 相似（k 是常数）8. 当（c）时，A 为正交矩阵，其中cba0(a)a=1,b=2,c=3; (b) a=b=c=1; (c) a=1,b=0,c=-1; (d)a=b=1,c=0 .9. 已知向量组 线性无关，则向量组（

14、 A）4321,(A) 线性无关;14321, (B) 线性无关;(C) 线性无关;14321,(D) 线性无关.10. 当 （B）时，有A 321321 ccbbaacba（A） ；（B） ；（C ） ；（D ）030101二计算题或证明题1. 设 AB,试证明(1)AmB m(m 为正整数)（2）如 A 可逆，则 B 也可逆，且 A1 B 1参考答案：略。2. 如 n 阶矩阵 A 满足 A2=A，证明：A 的特征值只能为 0 或-1。参考答案：略。3. 当 、b 取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？有解时，求其a解bxxa4321432151参考答案：当 a=0, b = 2 时有解122134xk4. 判断向量 能否被 线性表出，若能写出它的一种表示法321,，107381365,20,1参考答案：5. 若方阵 可逆，则 的伴随矩阵 也可逆，并求出 的逆矩阵A*A*A参考答案：