1、第二章 第 9 炼 零点存在的判定与证明 函数及其性质第 9 炼 零点存在的判定与证明一、基础知识：1、函数的零点：一般的，对于函数 ，我们把方程 的实数根 叫作函yfx0fx0x数 的零点。yfx2、零点存在性定理：如果函数 在区间 上的图像是连续不断的一条曲线，yfx,ab并且有 ，那么函数 在区间 内必有零点，即 ，0fab0,xab使得 0x注：零点存在性定理使用的前提是 在区间 连续，如果 是分段的，那么零fx,abfx点不一定存在3、函数单调性对零点个数的影响：如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调4、几个“不一定”
2、与“一定” （假设 在区间 连续）fx,ab（1）若 ，则 “一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。要0fab分析 的性质与图像，如果 单调，则“一定”只有一个零点xfx（2）若 ，则 “不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。如果f单调，那么“一定”没有零点fx（3）如果 在区间 中存在零点，则 的符号是“不确定”的，受函f,abfab数性质与图像影响。如果 单调，则 一定小于 0fx5、零点与单调性配合可确定函数的符号： 是一个在 单增连续函数， 是fx, 0x的零点，且 ，则 时， ； 时，fx0,xab0,a0,xbf6、判断函数单调性的方法：（1）可直接判断的几个结论： 若 为增
3、（减）函数，则 也为增（减）函数,fxgfxg 若 为增函数，则 为减函数；同样，若 为减函数，则 为增函ffxfx第二章 第 9 炼 零点存在的判定与证明 函数及其性质数 若 为增函数，且 ，则 为增函数,fxg,0fxgfxg（2）复合函数单调性：判断 的单调性可分别判断 与 的单ytxyft调性（注意要利用 的范围求出 的范围） ，若 ， 均为增函数或均为减xttxyf函数，则 单调递增；若 ， 一增一减，则 单yfggft yfgx调递减（此规律可简记为“同增异减” ）（3）利用导数进行判断求出单调区间从而也可作出图像7、证明零点存在的步骤：（1）将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便
4、于构造函数（2）判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数 fx（3）分析函数 的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间fx（4）利用零点存在性定理证明零点存在例 1：函数 的零点所在的一个区间是（ ）23xfeA. B. C. D. ,0210,1,231,2思路：函数 为增函数，所以只需代入每个选项区间的端点，判断函数值是否异号即fx可解： ，121340fee20f2f，使得 12310fe10ff01,2x0fx答案：C例 2：函数 的零点所在的大致区间是（ ）lnfxxA. B. C. D. 31,3,22,e,e第二章 第 9 炼 零点存在的判定与证明 函数及其
5、性质思路：先能判断出 为增函数，然后利用零点存在性判定定理，只需验证选项中区间fx端点函数值的符号即可。 时， ，从而 ，1lnxfx，所以 ，使得 31ln02f03,20f答案：A小炼有话说：（1）本题在处理 时，是利用对数的性质得到其 的一个趋势，1x ln1x从而确定符号。那么处理零点问题遇到无法计算的点时也要善于估计函数值的取向。（2）本题在估计出 时， 后，也可举一个具体的函数值为负数的例ln子来说明，比如 。正是在已分析清楚函数趋势的前提下，才能保11.0f证快速找到合适的例子。例 3：（2010，浙江）已知 是函数 的一个零点，若0x12xf，则（ ）1020,xA. B. f
6、fx120,fxfC. D. 12,思路：条件给出了 的零点，且可以分析出 在 为连续的增函数，所以结fxfx,合函数性质可得 1020,f答案：B例 4：已知函数 ，当 时，函数log,1afxxba234ab的零点 ，则 _fx0,1nNn思路：由 的范围和 解析式可判断出 为增函数，所以 是唯一的零点。考虑afxfx0x，3loglog34log310aafb，所以 ，从而 222a02,3x2n答案： n例 5：定义方程 的实数根 叫做函数 的“新驻点” ，若fxf0xf第二章 第 9 炼 零点存在的判定与证明 函数及其性质的“新驻点”分别为 ，则（ ）3,ln1,1gxhxx,A.
7、B. C. D. 思路：可先求出 ，由“新驻点”的定义可得对应方程为：,gxx，从而构造函数3211,lnx，再利用零点存在性定理判321 1,ln,1ghxx断 的范围即可,解： 2,31xx所以 分别为方程 的根，即为函数：, 321ln,x的零点11 1, 1gxhxx10,l20h0,1h在 单调减，在 单调增， 2136xx1,2而 ， 时， ，而 ,x145124024答案：C例 6：若函数 的零点与 的零点之差的绝对值不超过 ， 则)(xfln28gxx5.0可以是（ ）)(xfA B 3 2)4()xfC D1)(xef 5ln思路：可判断出 单增且连续，所以至多一个零点，但
8、的零点无法直接求出，而g gx各选项的零点便于求解，所以考虑先解出各选项的零点，再判断 的零点所在区间即可第二章 第 9 炼 零点存在的判定与证明 函数及其性质解：设各选项的零点分别为 ，则有 ,ABCDx 72,4,1,2ABCDxx对于 ，可得： ln28gx3ln0ln0gg03,40gx，所以 C 选项符合条件7=ln12g073,2答案：C例 7：设函数 ，若实数 分别是24,ln5xfegxx,ab的零点，则（ ）,fxgA. B. 0afb 0fgC. D. ba思路：可先根据零点存在定理判断出 的取值范围：,ab，从而 ；03,1240ffe,1，从而 ，所以有 ，考虑1ln3
9、gg2012ab，且发现 为增函数。进而fab,fxg，即 0,0fa0afb答案：A例 8：已知定义在 上的函数 ，求证： 存在唯一的零点，1,ln2fxfx且零点属于 34思路：本题要证两个要素：一个是存在零点，一个是零点唯一。证明零点存在可用零点存在性定理，而要说明唯一，则需要函数的单调性解： 1xfx1,x在 单调递增0f,+31ln,42ln0f，使得 403,x0fx第二章 第 9 炼 零点存在的判定与证明 函数及其性质因为 单调，所以若 ，且 fx 003,4xx00ffx则由单调性的性质： 与题设矛盾所以 的零点唯一 fx小炼有话说：如果函数 在 单调递增，则在 中，fx,ab
10、,ab，即函数值与自变量一一对应。在解答题中常用这个结论证明1212xf零点的唯一性例 9：（2011 年，天津）已知 ，函数 （ 的图像连续不断）0a2lnfxaxf（1）求 的单调区间fx（2）当 时，证明：存在 ，使得 8a02,+x032fxf解：（1） 令 11afxxf解得： 在 单调递减，在 单调递增2af0,21,2a（2）思路：由（1）可得 在 单调递减，在 单调递增，从而从图像上看fx,必然会在 存在 使得 ，但由于是证明题，解题过程要有理有据。,0032ff所以可以考虑将所证等式变为 ，构造函数 ，从0fxf32gxff而只需利用零点存在性定理证明 有零点即可。g解：设
11、32gxffxf由（1）可得：当 时， 在 单调递减，在 单调递增 18af0, 2,32ff第二章 第 9 炼 零点存在的判定与证明 函数及其性质3202gff139ln,ln82xxf，因为0l250lgl1025根据零点存在性定理可得：11g，使得 02,x0032xff即存在 ，使得0,+0ff小炼有话说：（1）在证明存在某个点的函数值与常数相等时，往往可以将常数挪至函数的一侧并构造函数，从而将问题转化成为证明函数存在零点的问题。（2）本题在寻找 小于零的点时，先观察 表达式的特点：gxgx，意味着只要 取得足够大，早晚 比 要大的多，所以213ln8gxf 218xln只需要取较大的
12、自变量便可以找到 的点。选择 也可，选择 等0gx010,27等也可以。例 10：已知函数 ，其中常数 ，若 有两个零点lnxfeaafx，求证： 1212,0x12x思路：若要证零点位于某个区间，则考虑利用零点存在性定理，即证 且10fa，即只需判断 的符号，可先由 存在两个零点判断10fa1,ffafx出 的取值范围为 ，从而 ，只需将 视为关于 的函e0fe1,fa数，再利用函数性质证明均大于零即可。解： 1ln0lnxx efeaa第二章 第 9 炼 零点存在的判定与证明 函数及其性质令 ln1xe 21lnxex设 ，可得 为增函数且 gxg10g时， 0,1xe0x时，,gx在 单调递减，在 单调递增x10,e1,所以在 ， ,minxe有两个零点 fxa10falnae 2f 110aaee在 单调递增f, 23eaf在 单调递增f,而 220efe1f，使得 即 10fa21,xafx2xa另一方面： 11lnlnlnafeeaeael10而 1ff10fa第二章 第 9 炼 零点存在的判定与证明 函数及其性质，使得 即1,xa10fx1xa综上所述： 12
