1、第1页共9页单纯形法例题：某工厂生产I、I两种商品,已知生产单位商品所需的设备台时、A、B两种原材料的消耗、设备使用台时限额以及原材料的限额如下表所示。该工厂每生产一件商品I可获利3元，每生产一件商品I可获利4元。写出使该工厂所获利润最大的线性规划模型,并用单纯形法求解。产品I产品I限额设备2 1 40台时原材料1 3 30KG解：设生产产品I的数量为1x，生产产品I的数量为2x，所获利润为z，相应的模型为：+=0, 303402 43m ax212121 21xxxxx xxz标准型 =+=0, 303 402 43m ax 4321 421 321 21xxxx xxx xxx xxz用单
2、纯形法求解。（1）建立初始单纯行表，即将目标函数和约束条件填入表格中。3 4 0 0b 1x 2x 3x 4x40 2 1 1 030 1 3 0 1（2）挑选单位阵为初始基。在本题中初始基,431 PB=，相应的，基变矢TB xxX ,431=。（3）将初始基,431 PB=对应的基变量填入单纯行表中。3 4 0 0BXb 1x 2x 3x 4x3x 40 2 1 1 04x 30 1 3 0 1这时，我们可以得到初始基,431 PB=对应的基可行解。即令非基变量0,021 =xx，根据表中的约束条件可得30,4043 =xx（这两个值正好是表中基变量对应的资源向量b对应的分量，为什么？）第
3、一个基可行解为TX 30,4,0,1=。（4）找到了第一个基可行解，接下来的任务就是判断该基可行解是否为最优解，检验其是否为最优解的标准是：非基变量jx对应的检验数jBjj PCc = 1是否0。如果所有第2页共9页非基变量的检验数j均0，那么该基可行解为最优解，如果有一个或若干个非基变量的检验数j0，那么该基可行解不是最优解，需要继续找另一个基可行解。因为我们选择的初始基IB=1，所以其逆矩阵IB=1。相应的，检验数jBjj PCc = 1，jBjj PCc =。在计算检验数时需要用到BC（基变量在目标函数中的系数向量），将BC填入表格中。3 4 0 0BCBXb 1x 2x 3x 4x03
4、x 40 2 1 1 00 4x 30 1 3 0 1接下来就是计算非基变量的检验数（基变量的检验数均等于0，为什么?）3 4 0 0BCBXb 1x 2x 3x 4x0 3x 40 2 1 1 004x 30 1 3 0 1jBjj PCc =)1( 0 0这时，非基变量的检验数4,321 =均0，所以该基可行解不是最优解。接下来，我们的任务就是找另一个基可行解。当然，我们希望接下来的这第二个基可行解2X对应的目标函数值比第一个基可行解1X。（5）找另一个基可行解。由非基变量基变量的决策变量，我们称之为进基变量，挑选原则： 0m ax jjk=，那么kx进基（即由非基变量变为基变量）。由基变
5、量非基变量的决策变量，我们称之为出基变量，挑选原则：0m in ikikiaab lklab=，那么原来的第l个基变量出基（即由基变量变为非基变量）。我们称lka为主元。题中，进基变量： 221 4,3m ax = k，即2x进基成为基变量。第3页共9页出基变量：=0m in ikikiaab 22121,m in abab = 10330,40140m in 22ab=，即第2个基变量出基，第2个基变量是4x，所以是4x出基成为非基变量。主元为2a。总结：2x进基成为基变量，4x出基成为非基变量。也就是说2x代替4x成为基变量，即：3 4 0 0BCBXb 1x 2x 3x 4xikiab0
6、 3x 40 2 1 1 0 40140=04x 30 1 3 0 1 10330=jBjj PCc =)1( 3 4 0 003x4 2x这时的基变矢TB xxX ,232=。这两个基变量对应的系数列向量组成的矩阵即为2B。因为在计算非基变量的检验数的计算过程中会用到12B,计算逆矩阵是一件麻烦事，我们当然不想干，怎么办呢？为了计算简便，我们期待IPB =,232，目前我们只是期待而已。3 4 0 0BCBXb 1x 2x 3x 4xikiab0 3x 40 2 1 1 0 40140=04x 30 1 3 0 1 10330=jBjj PCc =)1( 3 4 0 003x 0 14 2x
7、 1 0第4页共9页jBjj PCc =)2(先来看主元2a所在的行。行的系数表示的是约束条件：421330 xxx +=。我们期待的是：在这个约束条件中，2x的系数1，3x的系数0。要做到这一点，只需在等式左右同除以3（主元2a本身），得421 31310xxx+=，式与式等价。接着看另一行。即第一行，该行的系数表示的是约束条件：321240 xxx+=。我们期待的是：在这个约束条件中，2x的系数0，3x的系数1。要做到这一点，需要将1431 313530xxx+=，式与式等价。为实现我们的期待，将约束条件 += 421 321330240xxx xxx就等价的代换成 += += 421 4
8、31 31310313530xxx xxx将这些系数填入表格中。3 4 0 0BCBXb 1x 2x 3x 4x ikiab0 3x 40 2 1 1 0 40140=0 4x 30 1 3 0 1 10330=jBjj PCc =)1( 3 4 0 00 3x 30 35 0 1 3142x 10 31 1 0 31jBjj PCc =)2(这时，我们可以得到基,232 PB=对应的基可行解。即令非基变量0,041 =xx，根据表中的约束条件可得10,3023 =xx（这两个值正好是表中基变量对应的资源向量b对应的分量）第5页共9页那么，第2个基可行解为TX 0,30,10,02=。（6）找
9、到了第2个基可行解，接下来的任务就是判断该基可行解是否为最优解，检验其是否为最优解的标准前面已经详细讲述，这里就不啰唆了。即转回到步骤（4）。3 4 0 0BCBXb 1x 2x 3x 4x ikiab0 3x 40 2 1 1 0 40140=0 4x 30 1 3 0 1 10330=jBjj PCc =)1( 3 4 0 003x 30 35 0 1 314 2x 10 31 1 0 31jBjj PCc =)2( 35 0 0 34这时，非基变量的检验数34,3541 =，其中01，所以该基可行解不是最优解。（7）接下来，我们的任务就是找另一个基可行解。即转回到步骤（5）。选择进基变量
10、：1135m ax =k，即1x进基成为基变量。出基变量：21211,m inabab = 30310,85330m in 11ab=，即第1个基变量出基，第1个基变量是3x，所以是3x出基成为非基变量。主元为1a。总结：1x进基成为基变量，3x出基成为非基变量。也就是说1x代替3x成为基变量，即：3 4 0 0BCBXb 1x 2x 3x 4x ikiab0 3x 40 2 1 1 0 40140=0 4x 30 1 3 0 1 10330=第6页共9页jBjj PCc =)1( 3 4 0 00 3x 3035 0 1 31 185330=42x 10 31 1 0 31 30310=jB
11、jj PCc =)2( 35 0 0 3431x4 2xjBjj PCc =)3(这时的基变矢TB xxX ,213=。这两个基变量对应的系数列向量组成的矩阵即为3B。同样的，我们期待IPB =,213。3 4 0 0BCBXb 1x 2x 3x 4xikiab0 3x 40 2 1 1 0 40140=04x 30 1 3 0 1 10330=jBjj PCc =)1( 3 4 0 003x 3035 0 1 31 185330=4 2x 10 31 1 0 31 30310=jBjj PCc =)2( 35 0 0 343 1x 1 042x 0 1jBjj PCc =)3(第7页共9页先
12、来看主元1a所在的行。行的系数表示的是约束条件：431 313530 xxx+=。我们期待的是：在约束条件中，1x的系数1，2x的系数0。要做到这一点，只需在等式左右同除以35（主元1a本身），得431 31518 xxx +=，式与式等价。接着看另一行。即第二行，该行的系数表示的是约束条件：421 31310 xxx+=。我们期待的是：在约束条件中，1x的系数0，2x的系数1。要做到这一点，需要将31432 52514 xxx +=，式与式等价。约束条件 += += 421 431 31310313530xxx xxx就等价的代换成 += += 432 431 52514 51518xxx
13、xxx将这些系数填入表格中。3 4 0 0BCBXb 1x 2x 3x 4x ikiab0 3x 40 2 1 1 0 40140=0 4x 30 1 3 0 1 10330=jBjj PCc =)1( 3 4 0 003x 3035 0 1 31 185330=4 2x 10 31 1 0 31 30310=jBjj PCc =)2( 35 0 0 343 1x 18 1 0 53 5142x 4 0 1 51 52jBjj PCc =)3(第8页共9页这时，我们可以得到基,213 PB=对应的基可行解。即令非基变量0,043 =xx，根据表中的约束条件可得4,1821 =xx（这两个值正好
14、是表中基变量对应的资源向量b对应的分量）那么，第3个基可行解为TX 0,4,183=。（8）找到了第3个基可行解，接下来的任务就是判断该基可行解是否为最优解，检验其是否为最优解的标准前面已经详细讲述，这里就不啰唆了。即转回到步骤（4）。3 4 0 0BCBXb 1x 2x 3x 4x ikiab0 3x 40 2 1 1 0 40140=0 4x 30 1 3 0 1 10330=jBjj PCc =)1( 3 4 0 00 3x 3035 0 1 31 185330=42x 10 31 1 0 31 30310=jBjj PCc =)2( 35 0 0 3431x 18 1 0 53 514
15、 2x 4 0 1 51 52jBjj PCc =)3( 0 0 1 1这时，非基变量的检验数1,143 =，均0，所以该基可行解就是最优解。即TX 0,4,18=，7044183 =+= bCzB。练习题1、某工厂生产两种构件，甲构件每件占地10平方米，需要劳动力150个；乙构件每件占地2平方米，需要劳动力25个。该厂共有生产用地720平方米，每月劳动力100个。同时，因为受到其他设备限制，每月最多能生产甲构件50件，乙构件20件。若每个第9页共9页甲构件能获利250元，每个乙构件能获利50元，要想获得最大的利润，每月应该生产甲、乙构件各多少件？练习题2、求解下面线性规划问题。 + + +=02041050533. 1020m ax 31321 31 321 321xxxxxx xxxts xxxz
