1、第八章 Black-Scholes 模型金融学是一门具有高度分析性的学科，并且没有什么能够超过连续时间情形。概率论和最优化理论的一些最优美的应用在连续时间金融模型中得到了很好地体现。Robert C.Merton，1997 年诺贝尔经济学奖得主，在他的著名教科书连续时间金融的前言中写到：过去的二十年证明，连续时间模型是一种最具有创造力的多功能的工具。虽然在数学上更复杂，但相对离散时间模型而言，它能够提供充分的特性来得到更精确的理论解和更精练的经验假设。因此，在动态跨世模型中引入的真实性越多，就能够得到比离散时间模型越合理的最优规则。在这种意义上来说，连续时间模型是静态和动态之间的分水岭。直到目
2、前为止，我们已经利用二项树模型来讨论了衍生证券的定价问题。二项树模型是一种离散时间模型，它是对实际市场中交易离散进行的一种真实刻画。离散时间模型的极限情况是连续时间模型。事实上，大多数衍生定价理论是在连续时间背景下得到的。与离散时间模型比较而言，尽管对数学的要求更高，但连续时间模型具有离散时间模型所没有的优势：（1）可以得到闭形式的解。闭形式解对于节省计算量、深入了解定价和套期保值问题至关重要。（2）可以方便的利用随机分析工具。任何一个变量，如果它的值随着时间的变化以一种不确定的方式发生变化，我们称它为随机过程。如果按照随机过程的值发生变化的时间来分，随机过程可以分为离散时间随机过程和连续时间
3、随机过程。如果按照随机过程的值所取的范围来分，随机过程可以分为连续变量随机过程和离散变量随机过程。在这一章中，我们先介绍股票价格服从的连续时间、连续变量的随机过程：布朗运动和几何布朗运动。理解这个过程是理解期权和其他更复杂的衍生证券定价的第一步。与这个随机过程紧密相关的一个结果是 Ito 引理，这个引理是充分理解衍生证券定价的关键。In this chapter we study the best-known continuous time model, the Black-SCHOLES MODEL. This model, developed by Fischer Black and My
4、ron Scholes in 1973, describes the value of a European option on an asset with no cash flows. The model has had a huge influence on the way that traders price and hedge options. It has also been pivotal to the growth and success of financial engineering in the 1980s and 1990s. The model requires onl
5、y five inputs: the asset price, the strike price, the time to maturity, the risk-free rate of interest, and the volatility. The Black-Scholes model has becomes the basic benchmark model for pricing equity options and foreign currency options. It is also sometimes used, in a modified form, to price E
6、urodollar futures options, Treasury bond options, caps, and floors. We cannot say that we have mastered option pricing theory unless we understand the Black-Scholes formula.本章的第二部分内容在连续时间下推导 Black-Scholes 欧式期权定价公式，我们分别利用套期保值方法和等价鞅测度方法。并对所需的参数进行估计。最后讨论标的股票支付红利的欧式期权定价问题。1连续时间随机过程我们先介绍 Markov 过程。定义：一个随
7、机过程 称为 Markov 过程，如果预测该过程将来的值只与它的目0tX前值相关，过程过去的历史以及从过去运行到现在的方式都是无关的，即（1）tstsXE这里， ， 表示直到时间 的信息。tstt我们通常假设股票的价格过程服从 Markov 过程。假设 IBM 公司股票的现在的价格是 100 元。如果股票价格服从 Markov 过程，则股票一周以前、一个月以前的价格对于预测股票将来价格是无用的。唯一相关的信息是股票当前的价格 100 元。由于我们对将来价格的预测是不确定的，所以必须按照概率分布来表示。股票价格的 Markov 性质说明股票在将来任何时间的价格的概率分布不依赖于价格在过去的特殊轨
8、道。股票价格的 Markov 性质与市场的弱形式的有效性有关。这说明股票现在的价格已经包含了隐含在过去价格中的有用信息。考虑一个随机过程的变量 。假设它现在的值为 10，在任何时间区间 内它的tXt值的变化量， ，服从正态分布 ，且不相交时间区间变化量是独立的。ttXtN,0在任何两年内它的值的变化量为 ，满足tt2= +tt21tX由假设， 与 独立，且 服从 ， 服从12tt tt 1,0NttX1。两个独立正态分布随机变量的和为正态分布随机变量，均值为各个均值的和，方1,0N差为各个方差的和。所以 服从正态分布ttX2 2,在任何半年内， 服从正态分布5.0 5.不确定性与时间的平方根成
9、比例。上面假设的过程称为布朗运动 (Brownian motion)，也称为 Wiener process。这是一种特殊的 Markov 随机过程，在每年的变化量的均值为 0，方差为 1。定义：一个(标准的、1-维) 布朗运动是一个连续的适应过程 z= , ; 0t0, 这个概念可t以类似地定义。性质：1）一个标准布朗运动既是 Markov 过程又是鞅。2）在任何小时间区间 内的变化量为ttz这里 是标准正态分布。3）任何两个小时间区间的变化量是独立的。考虑变量在时间 内的值的增加量 。可以把它视为 z 在 个小时间区间T0zTN的增量的和，这里t tN因此（2）iTtz10这里 是独立的标准
10、正态分布。i0ETtNzvar例子：推广的 Wiener 过程（3）bdzatx这里 视常数。ba,为了理解（3），分别考虑它右边的两部分（1） 说明 在单位时间的期望漂移率为dtxadtx或者 atx0这里 是 在时间 0 的值。（2） 是加在 轨道上的噪声或者扰动。bdzx在一个小时间区间 ， 的变化量 为txxtbta因此 服从正态分布xEtx2vr在一个时间区间 ， 的变化量 为正态分布Tx0TaTT0bxT20var所以推广的 Wiener 过程的期望漂移率 (average drift per unit of time) 为 ，方差率(variance aper unit of t
11、ime)为 。Ito 过程（4）dztxbtadx),(),(在一个小时间区间 ， 的变化量 为tx ,所以 Ito 过程在一个小时间区间 的期望漂移率为 ，方差率为 。t)(t2),(txIto 引理2. 股票的价格过程我们讨论不支付红利股票价格服从的随机过程。我们可以假设股票的价格过程服从推广的 Wiener 过程，即常的期望漂移率和常数方差率。但是，这个过程不满足股票价格的一个关键特征：投资者要求的股票期望回报率应该独立于股票价格，股票回报率在短时间内的变动也应该独立于股票的价格。如果当股票价格是 10 元时，投资者要求的每年期望回报率是 14%，则当股票的价格是 50 元时，投资者要求
12、的每年期望回报率也是 14%。通常我们也假设在一个短时间 内，回报率的变动也独立于股票的价格。t如下的 Ito 过程满足要求 Sdztd这里 为常数。我们称之为几何布朗运动。这是应用最广泛的描述股票的价格过程。,是股票价格的波幅， 是股票价格的期望回报率。如果没有随机项，则 tS在极限状态下 dt从而 TeS0这说明，当方差率为 0 时，股票价格以每单位时间连续复利率 增长。例子：几何布朗运动的离散时间版本为 ttSThe variable is the change in the stock price, , in a small interval of time, ; and is a S
13、Strandom drawing from a standardized normal distribution. The parameter, , is the expected rate of return per unit of time from the stock and the parameter, , is the volatility of the stock price. Both of these parameters are assumed constant.The left hand the above equation is the return provided b
14、y the stock in a short period of time, . The term is the expected value of this ttreturn, and the term is the stochastic component of the return.The variance of the tstochastic component (and, therefore, of the whole return) is . This is consistent with the t2definition of the volatility, , that is
15、, is such that is the standard deviation of the return in a short time period, .t正态分布 tNS2,参数 和The process for the stock prices developed in this chapter involves two parameters and .The parameter, , is the expected continuously compound return earned by an investor per year. Most investors require
16、higher returns to induce them to take higher risks. It should also depend on the level of interest rates in the economy. The higher the level of interest rates, the higher the expected return required on any given stock. Fortunately, we do not have to concern ourselves with the determinants of in an
17、y detail because the value of a derivative dependent on a stock is, in general, independent of . The parameter , the stock price volatility, is, by contrast, critically important to the determination of the value of most derivatives. Typical values of for a stock are in the range 0.20 to 0.40.对 利用 I
18、to 引理得到SlndztSd2ln这说明 服从推广的 Wiener 过程。从而 在时间 0 和 之间的变化量过程正态分布l SlnTNTll0 ,2即 STlnT,2l0的期望值TS的方差例子：股票在时间 0 和 之间连续复利回报率 的分布：TTeS0,2例子：3. Black-Scholes 公式：套期保值方法有许多种方法可以得到 Black-Scholes 期权定价公式。我们在本节中给出的方法尽管不是最短的，却是最直观、最具有创造性的一种方法。Black-Scholes-Merton 微分方程是以不支付红利股票为标的物的衍生证券价格都必须服从的方程。得到这个方程是得到 Black-Sch
19、oles 期权定价公式的关键。Black-Scholes-Merton 分析类似于二项树模型中的套期保值方法。由标的股票和期权构成的证券组合是无风险的，所以由无套利原理，该证券组合的回报率应该是无风险利率。能够构造无风险证券组合的原因在于，导致股票价格和期权价格风险的不确定因素是相同的：股票价格的波动。在任何短时间内，看涨期权价格和标的股票价格是完全正相关的。看跌期权价格和标的股票价格是完全负相关的。在任何情况下，利用股票和期权，通过恰当的构造证券组合，股票上的收益或者损失总是正好抵消期权上的损失或者收益。从而这个证券组合的回报是无风险的。这个特点是 Black-Scholes-Merton
20、分析的中心和得到定价公式的关键。例子：Black-Scholes-Merton 分析和二项树模型之间的主要差别在于，在 Black-Scholes-Merton 分析中，证券组合是无风险的只是瞬间的事，所以必须时时刻刻调整股票和期权的头寸来保证无风险的性质。假设 1：标的股票的价格 服从如下的随机微分方程)(tS，)()(tdwtStd，x0这里，为常数，为常数，为标准布朗运动，0tw为常数。x假设 2：无风险债券的价格 服从如下的方程)(tB， （5） dtr)(这里， 、 为常数。)0(Br假设3：市场无摩擦（无交易成本，无买卖差价bid-ask spread，无抵押，无卖空限制，无税收）
21、假设4：无违约风险假设5：市场是完全竞争的假设6：价格一直调整到市场无套利下面，我们给出求 Black-Scholes 期权定价公式的方法。对于给定的欧式看涨期权，由于它的到期日支付是标的股票的函数，我们假设期权的价格为标的股票价格的函数，tSCct),(这里，我们并不知道函数 的具体形式，只知道它在 是两次连续可微的。 0,T对函数 利用 It 引理，我们得到C， ， （6）)(),()(tdwtdtcxYt 这里，。221)(),(, tStCSSxtx 下面，我们利用套期保值的思想，希望通过股票和债券构造证券组合来模拟欧式看涨期权的价格。假设自融资交易策略 = 满足此要求，这里， 表示a
22、b,Tt0: at在时间 购买的股票份数， 表示在时间 购买的债券的份数，则t t， 。 （7）ttcBS)(,由(4)、(5)和上式，我们得到 dbadcttt， （8）)()(tdwSart通过比较(6)与(7) 两式中 与 的系数，我们来确定满足要求的自融资交易策略。首先，wt我们比较 的系数，得到 。由(7)，我们得到)(t Cx,，tBbSttx ),()(),(从而。,)(1tSttxt 其次，我们比较 的系数，得到，对于 有dt TtSCrSrCx),(,),(9)0221t为了(9)成立，只需 满足如下的偏微分方程， (10)rxttrxtxt,，T0方程（10）称为 Blac
23、k-Scholes-Merton 微分方程。针对以股票为标的物的不同的衍生证券，该方程有不同的边界条件，解带边界条件的 Black-Scholes-Merton 微分方程就得到衍生证券的价格。注：1）证券市场是动态完备的，即任何证券都可以由股票和债券来模拟其支付。2）为了模拟衍生证券的价格，交易策略需要每时每刻进行调整。3）方程（10）的任何解是一种可交易的衍生证券的理论价格。如果这种衍生证券存在，不会产生任何套利机会。但如果一个函数 不是方程（10）的解，在不产生套),(tSf利机会的条件下，它不会是某种衍生证券的价格。4）方程（10）不包含 。例子：以不支付红利的股票为标的物的远期合约是一
24、种衍生证券，它的价格 )(tTrKeSf满足方程（10）：由欧式期权的到期日支付得边界条件， 。 (11)KSTC00, ,0利用 Feynman-Kac 公式，通过解带边界条件(10)的偏微分方程(11) ，我们得到 Black-Scholes期权定价公式（12）)()(210dNedcrT这里 rKSdfln1。T2根据平价公式我们可以欧式看跌期权的价格为（13）)()(1020 dNSeprBlack-Scholes 期权定价公式的性质下面我们讨论 Black-Scholes 期权定价公式的性质。当股票价格 变的充分大的时候，看涨期权一定会被执行。这时，看涨期权非常0S类似于执行价格为
25、远期合约。由远期合约的价值方程，我们预期期权的价格为KrTe0由公式（12）我们知道，当 变的充分大的时候，看涨期权价格确实趋近于这个价格。看跌期权价格趋近于 0。当股票价格的波幅 趋近于 0 时，股票的风险趋近于 0，股票价格以 增长。到时r间 ，股票价格为 ，看涨期权的支付为TrTeS,max0KrT以 进行折现，看涨期权现在的价格为r 0,ax,0rTrrT eS为了证明这个价格与方程（12）给出的价格一致，我们分情况讨论：当 时KeSrT0当 时KeSrT0类似的可以证明，当股票价格的波幅 趋近于 0 时，看跌期权的价格为。0,maxSKerT4Black-Scholes 公式：等价鞅
26、测度方法我们在二项树模型中证明了，市场不存在套利机会等价于存在唯一的等价鞅测度。在连续时间模型中我们也能够证明同样的结论：在目前的框架下，市场不存在套利机会等价于存在唯一的等价鞅测度。我们在这里不给出正式的证明，而是通过分析 Black-Scholes-Merton 微分方程的一个重要性质来得到这一重要的定价理论。Black-Scholes-Merton 微分方程的一个重要性质是，方程中不包含任何与投资者风险偏好有关的变量，只包括股票现在价格、时间、波幅和无风险利率。这些变量都独立于投资者风险偏好。这与我们在二项树模型中得到的结论一样。如果方程 Black-Scholes-Merton 微分方
27、程包含 ，则不独立于风险偏好，因为 依赖于风险偏好。投资者的风险厌恶程度越高， 越大。既然 Black-Scholes-Merton 微分方程不依赖于任何投资者风险偏好，所以它对于任何投资者都成立，或者说任何投资者都认为衍生证券的价格应该满足该方程。特别地，对于风险中性的投资者而言，衍生证券地价格也满足该方程。在一个风险中性的市场中，在等价鞅测度下，所有证券的回报率应该为无风险利率，原因是投资者承担风险不需要酬金。同样的，在一个风险中性市场中，任何现金流的目前值等于该现金流的期望值的以无风险利率为折现率的折现值。这个性质简化了衍生证券的定价问题。考虑一种衍生证券，在特定的时间提供一次支付。利用
28、等价鞅测度方法，我们可以按照如下的程序来计算价格：1假设标的物的期望回报率是无风险利率 ，即 。rr2在等价鞅测度下，计算衍生证券在到期日的期望支付。3以无风险利率对这个期望值进行折现。应该提到的是，等价鞅测度方法仅仅是一种人为构造的定价方法，这种方法为 Black-Scholes-Merton 微分方程提供了一种求解的方法。尽管这个解是在等价鞅测度下得到的，但是这个解在原始的概率测度下也成立，因为 Black-Scholes-Merton 微分方程不依赖具体的概率测度。 例子：以股票为标的物的远期合约的价格假设利率是常数，等于 。远期利率的到期日为 ，交割价格为 。rTK下面我们利用等价鞅测
29、度方法来再一次给出 Black-Scholes 期权定价公式，在所有推导 Black-Scholes 期权定价公式的方法中，这种方法是最简洁的一种。因为当标的股票不支付红利时， ，所以方程也给出了美式看涨期权的饿价格。Cc但对于美式看跌期权，即使标的过不支付红利，我们也无法得到类似的显示解，而只能利用我们在前一章中的二项树模型进行数值计算和逼近。直到现在，我们都假设 是常数。当利率时随机的时，通常假设利率 等于到期日r r为 （期权的到期日）的零息债券的无风险利率。T5波幅 (volatility)股票波幅的值位于 20%到 40%之间。股票价格的波幅可以定义为股票在一年内提供的回报率的标准差
30、，这里的回报率以连续复利计算。股票价格的波幅还可以看作股票在一年末价格的自然对数的标准差。当 充分小时，方程tNSTlnl0T,2证明 可以近似的等于股票价格在时间 内变化比例的标准差。假设 /年，股tt3.0票现在的价格为 50 元。股票价格在一周内变化比例的标准差近似为=0.04165213.0从而股票价格在一周内波动的标准差为 50 0.0416。股票将来价格的不确定性，以标准差刻画，和未来时间的平方根成比例。利用历史数据估计波幅为了估计股票价格经验的波幅，通常选取固定时间区间的数据。隐含波幅 (implied volatility)在 Black-Scholes 期权定价公式中，不能直接观察到的参数是股票价格的波幅。在上面我们已经讨论如何利用股票价格的历史数据来估计波幅。在这里，我们利用另外一种方法来估计这个参数，我们利用观察到的期权的市场价格来推导波幅，得到的波幅称为隐含波幅。例子：隐含波幅用来掌握市场对特殊股票波幅的态度。6标的股票支付红利前面的分析假设股票没有红利，当股票价格有红利时，我们的分析也适用。假设红利支付的时间和规模时确定的，在应用 Black-Scholes 期权定价公式时，股票的价格用价格与红利的折现值之差代替。例子：
