1、高中数学(理科)基础知识归类第页(共 15 页) 1高中数学基础知识归类献给 2012 年高三(理科)考生一.集合与简易逻辑1.注意区分集合中元素的形式.如： 函数的定义域；|lgxy|lgyx函数的值 域；(,)|lgxy函数 图象上的点 集.2.集合 的性质： 任何 一个集合 是它A本身的子集,记为 .A空集是任何集合的子集,记为 .A空集是任何非空集合的真子集；注意:条件为 ,在讨论的时AB候不要遗忘了 的情况如： ,如果 ,求 的取值.(答： )012|xaARa0a , ； ；()UUCBC()UUABCC（ ） （ ）.（ ） （ ） .AUBUABR 元素的个数： .A()()c
2、ardcardcard含 个元素的集合的子集个数为 ；真子集(非空子集)个数为n 2n；非空真子集个数为 .21n2n3.补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如：已知函数 在区间 上至少存在12)(4)(2 pxpxf 1,一个实数 ,使c,求实数 的取值范围.(答： )0)(fp32(,4.原命题: ；逆命 题: ；否命题 : ；逆否命题: ；qqppqqp互为逆否的两个命题是等价的.如：“ ”是“ ”的 条件.(答：充分sini非必要条件)5.若 且 ,则 是 的充分非必要条件 (或 是 的必要非充分pqpqqp条件).6.注意命题 的否定与它的否命题的区别: 命题 的否定是
3、q；否命 题是 .pqpq命题“ 或 ”的否定是“ 且 ”；“ 且 ”的否定是“ 或 ”.qpp如：“若 和 都是偶数，则 是偶数 ”的否命题是“若 和 不都是abbaab偶数,则 是奇数”否定是“若 和 都是偶数,则 是奇数 ”.二.函数1.映射 : 是： “一对一或多对一”的对应；集合 中的元fABA素必有象且 中不同元素在 中可以有相同的象；集合 中的元素不一定有原象(即B象集 ). 一一映射 : ： “一对一” 的对应； 中不同元素的象必fABA不同, 中元素都有原象.B2.函数 : 是特殊的映射.特殊在定义域 和值域 都是非空数fB集！据此可知函数图像与 轴x的垂线至多有一个公共点,
4、但与 轴垂线的公共点可能没有,也可y能有任意个.3.函数的三要素：定义域,值域,对应法则.研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则.原结论 否定 原结论 否定是 不是 至少有一个一个也没有都是 不都是 至多有一个至少有两个大于 不大于 至少有个n至多有个1n小于 不小于 至多有个至少有个对所有 ,成x立存在某 ,不x成立或pq且pq对任何 ,不成立存在某 ,成立且 或高中数学(理科)基础知识归类第页(共 15 页) 24.求定义域:使函数解析式有意义( 如:分母 ;偶次根式被开方数非0负;对数真数 ,底数0且 ；零指数幂的底数 )；实际问题有意义；若 定义域为 ,10()fxab复合函数 定义
5、()fgx域由 解出；若 定义域为 ,则 定义域相当于ab()fgxab()f时 的值域.,xb()5.求值域常用方法: 配方法(二次函数 类)；逆求法(反函数法)；换元法(特别注意新元的范围).三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域；不等式法单调性法；数形结合：根据函数的几何意义,利用数形结合的方法来求值域；判别式法（慎用）：导数法(一般适用于高次多项式函数).6.求函数解析式的常用方法：待定系数法(已知所求函数的类型)； 代换(配凑) 法；方程的思想-对已知等式进行赋值，从而得到关于 及另()fx外一个函数的方程组。7.函数的奇偶性和单调性函数有奇偶性的必要条件
6、是其定义域是关于原点对称的,确定奇偶性方法有定义法、图像法等；若 是偶函数,那么 ；定义域含零的奇函数必()fx()(|)fxfx过原点( )；0判断函数奇偶性可用定义的等价形式： 或()0fx；()1()fxf复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.注意：若判断较为复杂解析式函数的奇偶性，应先化简再判断；既奇又偶的函数有无数个(如 定义域关于原点对称即可).)0fx奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；确定函数单调性的方法有定义法、导数法、图像法和特值法(用于小题) 等.复合函数单调性由“同增异减” 判定 . （提醒：求单调区间时注意定义域）
7、如：函数 的单调递增区间是 .(答： )12log()yx_(1,28.函数图象的几种常见变换平移变换：左右平移-“左加右减” （注意是针对 而言）；上下平移-“上加下减”(注意是针对 而言).翻折变换：()fx； .()|fxf()|)fxf对称变换：证明函数图像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心(轴) 的对称点仍在图像上.证明图像 与 的对称性,即证 上任意点关于对称中心( 轴)1C2 1C的对称点仍在 上,反之亦然.2函数 与 的图像关于直线 ( 轴) 对称；函数()yfx()yfx0xy与函数()yfx的图像关于直线 ( 轴 )对称；()f0y若函数 对 时， 或 恒成立,则(yf
8、xRfaxf()2)fxax图像关()yfx于直线 对称；a若 对 时, 恒成立,则 图像关于直()yfx()()faxfb()yfx线 对称；2abx函数 , 的图像关于直线 对称(由()yfax()yfbx2bax确定) ；axb函数 与 的图像关于直线 对称；()f()f2ab函数 , 的图像关于直线 对称(由yxAxAy确定)；()(2fxAfy高中数学(理科)基础知识归类第页(共 15 页) 3函数 与 的图像关于原点成中心对称；函数()yfx()yfx,()yfxnm的图像关于点 对称；2(,)n函数 与函数 的图像关于直线 对称；曲线 ：)yfx1()yfxyx1C,关于(,)0
9、fxy, 的对称曲线 的方程 为 (或a2C(,)0fa；(,)f曲线 ： 关于点 的对称曲线 方程为：1C(,)0fxy(,)ab2C.(2,)faxby9.函数的周期性：若 对 时 恒成立,则 的()fxR()()fxaf()fx周 期 为 ；|若 是偶函数,其图像又关于直线 对称,则 的周期()yfx ()f为 ；2|a若 奇函数,其图像又关于直线 对称,则 的周期为()f xa()fx；4|若 关于点 , 对称,则 的周期为 ；()yfx(0)ab()f2|ab 的图象关于直线 , 对称,则函数 的周期xab()yfx为 ；2|ab 对 时 , 或 ,则 的周期为()yfxR()(ff
10、1()(fxfx()f；|10.对数： ；对 数 恒 等 式loglnaab(0,1,)bnR；log(0,1)aNN ；lllog;llogl;loglnaaaaaaMNMNM；对数换底公式 ； ogn lb(0,1,)b推论： .12113lllogloglnabcaaaan(以上 且 均不等于20,0,Nbc 2,n)111.方程 有解 ( 为 的值域)； 恒成立()kfxkD(fx()fx,()afx最 大 值恒成立 .()afx最 小 值12.恒成立问题的处理方法：分离参数法(最值法)； 转化为一元二次方程根的分布问题；13.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值
11、，求最值问题用“两看法” ： 一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；14.二次函数解析式的三种形式： 一般式： ；2()(0)fxabc顶点式：； 零点式： .2()(0)fxahka12()(0)fxa15.一元二次方程实根分布:先画图再研究 、轴与区间关系、区间端点函数值符号;16.复合函数：复合函数定义域求法：若 的定义域为 ,其复合()fxab函数 的定义域可由()fgx不等式 解出；若 的定义域为 ,求 的定义域，相ab()fgxab()fx当于 时,求的值域；复合函数的单调性由“同增异减” 判定.()gx17.对于反函数,应掌握以下一些结论：定义域上的单调函数必有反函数
12、；奇函数的反函数也是奇函数；定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数；周期函数不存在反函数；互为反函数的两个函数在各自的定义域具有相同的单调性；与 互为()yfx1()yfx反函数,设 的定义域为 ,值域为 ,则有 ,AB1()fxB.1()fA18.依据单调性,利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题：(或 ) (或 )；()0fugxh()aub)0fa0fab高中数学(理科)基础知识归类第页(共 15 页) 419.函数 的图像是双曲线：两渐近线分别直线(0,)axbcdybc(由分母为零确定)和dcx直线 (由分子、分母中 的系数确定 )；对称中心是点 ；ayx (,)da
13、c反函数为 ；bdxca20.函数 ：增区间为 ,减区间为(0,)y(,)ba.,0)(ba如：已知函数 在区间 上为增函数,则实数 的取值范12()axf(2)a围是 (答： )._12,三.数列1.由 求 , 注意验证 是否包含在后面 的公nSa1*()2,)nnSN 1ana式中,若不符合要单独列出.如：数列 满足 ，求 (答： ).na111534,nnSn14()32nn2.等差数列 ( 为常数)1nad22,*aN；21(, (,)n nddbdAB3.等差数列的性质： , ；)mamn (反之不一定成立)；特 别 地 ,当 时 ,mnlklk2mnp有 ；2mnpa若 、 是等差
14、数列,则 ( 、 是非零常数)是等差数列；nbnatbkt等差数列的“ 间隔相等的连续等长片断和序列” 即 仍是等差数列；232,mmSS 等差数列 ,当项数为 时, , ；项数为 时,na2nSnd偶 奇 1nSa奇偶 21n, ,且 ； .(*)N偶 中 奇 1()Sa奇偶 ()()nnABbff首项为正(或为负)的递减(或递增)的等差数列前 n 项和的最大(或最小)问题,转化为解不等式(或 ).也可用 的二次函数关系来分析.10na10na2nSAB若 ,则 ；若 ,则 ；,()nm0ma,()nmSn()mnS若 ,则 Sm+n=0；S3m=3(S2m Sm)； .S d4.等比数列
15、.12 11(),*n nnnaqaNaq 5.等比数列的性质 , ；若 、 是等比数列，则 、 等也nmaqnanbnknb是等比数列； ； (反之1111() ()()()nnn nqqaaqS mnlklka不一定成立)； . 等比数列中 (注：mnmnnmS 232,mmSS 各项均不为 0)仍是等比数列. 等比数列 当项数为 时, ；项数为nanSq偶奇时, .21n1Saq奇 偶6.如果数列 是等差数列,则数列 ( 总有意义)是等比数列；n naAn如果数列 是等比数列,na则数列 是等差数列；log|(0,1)na若 既是等差数列又是等比数列,则 是非零常数数列；n na如果两个
16、等差数列有公共项,那么由他们的公共项顺次组成的数列也是等差数列，且新数列的公差是原两个等差数列公差的最小公倍数；如果一个等差数列和一个等比数列有公共项,那么由他们的公共项顺次组成的数列是等比数列,由特殊到一般的方法探求其通项；三个数成等差的设法： ；四个数成等差的设法：,ad；3,3adad高中数学(理科)基础知识归类第页(共 15 页) 51220011sincos1201sincos三个数成等比的设法： ；四个数成等比的错误设法：,aq(为什么？)33,aq7.数列的通项的求法：公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式.已知 (即 )求 用作差法： .nS12(naaf na1,()2n
17、nSa已知 求 用作商法： .12()nf n ()1,)nf若 求 用迭加法. 已知 ,求 用迭乘法.1nafnanafna已知数列递推式求 ,用构造法(构造等差、等比数列)：形如, ,1nkb1nnkb( 为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化a为公比为 的等比数列后 ,再求 .形如 的递推数列都可以用 “取倒数法”求通n 1nakb项.8.数列求和的方法：公式法：等差数列,等比数列求和公式；分组求和法；倒序相加；错位相减；分裂通项法.公式： ；12123()n；2221613()2nn； ；常见裂项公式 ；3 25 11()nn； ；11()()nknk11()2()()nnn(1)!
18、常见放缩公式： .212 )n9.“分期付款” 、“森林木材”型应用问题这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，务必“卡手指 ”，细心计算“年限 ”.对于“森林木材”既增长又砍伐的 问题,则常选用“统一法”统一到“最后”解决.利率问题：单利问题：如零存整取储蓄(单利)本利和计算模型：若每期存入本金 元,每期利p率为 ,则 期后本利和为：rn(等差数列问(1)2(1)(2)(1)n nSprr题）；复利问题：按揭贷款的分期等额还款(复利)模型：若贷款(向银行借款) 元,采用分期等p额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还款日,如此下去,分 期还清. 如果每期利n
19、率为 （按复利），那么每期等额还款 元应满足：r x(等比数列问题).12(1)()()(1)nnnpxxrxr四.三角函数1. 终边与 终边相同 ； 终边与 终边共线()kZ； 终边()kZ与 终边 关于 轴对 称 ； 终边与 终边关于 轴对x() y称； 终边与 终边关于原点 对称 ；2()k 2()kZ终边与 终边关于角 终边对称 .2()kZ2.弧长公式： ；扇形面积公式： ； 弧度( ) .|lr 21|Slr扇 形 1rad5733.三角函数符号(“正号”) 规律记忆口诀：“ 一全二正弦,三切四余弦”.注意： ； ；3tan15cot723tan75cot4.三角函数同角关系中(八
20、块图)：注意“正、余弦三兄妹、 ”的关系.sicxsix如 等.2(no)1incosx5.对于诱导公式,可用“奇变偶不变，符号看象限” 概括；(注意：公式中始终视 为锐角)6.角的变换：已知角与特殊角、已知角与目标角、已知角与其倍角或半角、两角与其和差角等变换.高中数学(理科)基础知识归类第页(共 15 页) 6如： ； ； ； ；()2()()2()()2等；“ ”的变换： ；2121sincotancotsin30ta45xx7.重要结论： 其中 ）；重要公式2sincosi()abaxbb；2cos1sin22； ； .1cosin1coscsita21sin 2(cosin)|cos
21、in|万能公式： ； ； .2tasin2ta2ta1t8.正弦型曲线 的对称轴 ；对称中心i()yAx2()kxZ；(,0)(kZ余弦型曲线 的对称轴 ；对称中心cos()yx()kx；2(,0)(kkZ9.熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式，正、余弦定理，处理三角形内的三角函数问题勿忘三内角和等于 ,一般用正、余弦定理实施边角互化；正弦定理：180；sinisin2abcABCR余弦定理： ；2222 ()cos, 1bcabcaabA正弦平方差公式： ；三角形的内切圆半径2iniin()siBAB；2ABCSabcr面积公式： ；射影定理： .124siabcRSCcosabC10.
22、中,易得： , , ,ABsin()ABs()AB.tant()AB , , . 2sicoC2siC2tacotCsinabAB锐角 中, , , ,类比得钝角ABns,sBA22c结论.ABC .tanttantatnABCABC11.角的范围：异面直线所成角 ；直线与平面所成角 ；二面角2(0, 20,和两向量的夹角 ；直线0,的倾斜角 ； 到 的角 ； 与 的夹角 .注意术语: 坡度、)1l2,)1l22(0,仰角、俯角、方位角等.五.平面向量1.设 , . (1) ；(2) .1()axy2(,)bxy121/0abxy 1200abxy2.平面向量基本定理：如果 和 是同一平面内的
23、两个不共线的向e量,那么对该平面内的任一向量 ,有且只有一 对实 数 、 ,使 .a1212ae3.设 , ,则 ；其几何意义是 等于1()xy2()bxy|cosabxy ab的长度与 在 的方向上的投影的乘 积； 在 的方向上的投影aab.12|cos|xyb4.三点 、 、 共线 与 共线；与 共线的单位向量 .ABCABCAB|AB5.平面向量数量积性质：设 , ,则1()axy2()bxy；注意: 122cos|xyab为锐角 , 不同向； 为 直角 ； 为钝角,0ab,ab0ab, 不反向.0ab6. 同向或有 ； 反向或有|； 不共线 .|baba|abab7.平面向量数量积的坐
24、标表示：若 , ,则 ；1()xy2()xy12xy； 若 ,则 .2211|()()ABxy 28.熟记平移公式和定比分点公式. 当点 在线段 上时, ；当P10高中数学(理科)基础知识归类第页(共 15 页) 7点 在线段 (或 )P211P延长线上时, 或 .分点坐 标公式：若 ；且 ,012P1()Pxy；()xy2,)则 , 中点坐标公式： .1212(1)xy 1212()xy , , 三点共线 存在实数 、 使得 且 .1P212OP19.三角形中向量性质： 过 边 的中点： ；ABC|()()ABCABC 为 的重心；3()0GABPGG 为 的垂心； PC为|0BC的内心；
25、所在直线过 内心. 设A|()(0ABC ABC,12(,)()xy. .1AOBBASxy2211|sin|()2BCSA 为 内一点,则 .0OCAOBS10. ,有 ( )；(,)(,)()ahkPxyPxy 按 平 移 xhykPa.(,)f fh 按 平 移六.不等式1.掌握课本上的几个不等式性质，注意使用条件，另外需要特别注意：若 , ,则 .即不等式两边 同号时,不等式两边取倒数,0ab1ab不等号方向要改变.如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定,要注意分类讨论.2.掌握几类不等式(一元一次、二次、绝对值不等式、简单的指数、对数不等式)的解法,尤其
26、注意用分类讨论的思想解含参数的不等式；勿忘数轴标根法,零点分区间法.3.掌握重要不等式,(1)均值不等式：若 ,则0ba(当且仅当 时2 21abab取等号)使用条件：“一正二定三相等 ” 常用的方法为：拆、凑、平方等；(2) ，,abcR(当且仅当 时,取等号)；(3)公式注意变形如：22aabc,()ab；(4)若 ,则 (真分数的性质)；20,bmma4.含绝对值不等式： 同号或有 ； 异a0|baba,b号或有 0.|abb5.证明不等式常用方法：比较法：作差比较： .注意：若0AB两个正数作差比较有困难,可以通过它们的平方差来比较大小；综合法：由因导果；分析法：执果索因.基本步骤：要
27、证需证,只需证； 反证法：正难则反；放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的.放缩法的方法有：添加或舍去一些项,如： ； .将21|a(1)n分子或分母放大(或缩小)利用基本不等式,如： .利用常用结论： (1)(1)2n0；112kkk(程度大)； (程度0211()()k0321121()kk小)；换元法：换元的目的就是减少不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简,常用的换元有三角换元代数换元.如：知 ,可设 ；知 ,可设22xyacos,inxay21xy,cosxrinyr高中数学(理科)基础知识归类第页(共 15 页) 8Ok ( )；知 ,可设 ；已知 ,可设01r21xy
28、abcos,inxayb21xyab.sec,tnxay 最值法,如： ,则 恒成立. ,则 恒成立.()f最 大 值 ()f()fx最 小 值 ()fx七.直线和圆的方程1.直线的倾斜角 的范围是 ；0,）2.直线的倾斜角与斜率的变化关系 (如右图)：2tank3.直线方程五种形式：点斜式：已知直线过点 斜率为 ，则直0,xyk线方程为 ,它不包括垂直于 轴的直线.斜截式：已知00()ykxx直线在 轴上的截距为 b和斜率 ，则直线 方程为 ,它不包括垂直于 轴的直线. 两ykxbx点式：已知直线经过、 两点,则直线方程为 ,它不包括垂直于坐1(,)Pxy2()xy 1122yx标轴的直线.
29、截距式：已知直线在 轴和 轴上的截距为 ,则直线方程为xyab,它不包括垂直于坐 标1xyab轴的直线和过原点的直线.一般式：任何直线均可写成( 不同时为 0)的形式.0AxByC,A提醒：直线方程的各种形式都有局限性.(如点斜式不适用于斜率不存在的直线,还有截距式呢？)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为 .直线两截距相0等 直线的斜率为 或直线过1原点；直线两截距互为相反数 直线的斜率为 或直线过原1点；直线两截距绝对值相等直线的斜率为 或直线过原点.1截距不是距离,截距相等时不要忘了过原点的特殊情形.4.直线 与直线 的位置关系：11:0lAxByC22:0lAxByC平行 (斜率)且
30、 (在 轴上截距)；2111y相交 ；(3)重合 且 .1210AB1210AB1210BC5.直线系方程：过两直线 ： , ： .交点的直1lxy2lAxy线系方程可设为 ；与直线 平行的直线系1122()0xyCxyC:0l方程可设为；与直线 垂直的直线系方程可设为0()ABmc:0lAxByC.xyn6.到角和夹角公式： 到 的角是指直线 绕着交点按逆时针方向1l2 1l转到和直线 重合所 转的角 ,2l 且 ；(0,)212tan()k 与 的夹角是指不大于直角的角 且 .1l2 2,(0,212tan|()k7.点 到直线 的距离公式 ；0(,)Pxy0AxByC02AxByCd两条
31、平行线 与 的距离是 .120xy128.设三角形 三顶点 , , ,则重心1()()3()Cxy；123123(,)xyG9.有关对称的一些结论点 关于 轴、 轴、原点、直线 的对称点分别是 ,(,)abxyyx()ab, , .()曲线 关于下列点和直线对称的曲线方程为：点 ：()0fy (,)；(2,faxb 轴 ： ； 轴： ；原点： ；直线(,)fxy(,)0fxy(,)0fxy：y；直线 ： ；直线 ： .(,)0f x(,)f a(2,)f10.圆的标准方程： . 圆的一般方程：22aybr.特别提醒：只有当 时,方20(40)xyDEFEF240DEF程才表示圆心为 ,半径为
32、的圆(二22()DE21高中数学(理科)基础知识归类第页(共 15 页) 9元二次方程表示圆 ,且 ).220AxByCDxEyF0AC2,40BDEAF圆的参数方程： ( 为参数 ),其中圆心为 ,半径为 .cosinarb ()abr圆的参数方程主要应用是三角换元： ； 22cos,ixyrxyr.22cos,in(0)xytrt以 、 为直径的圆的方程 ；1(,)A2()B1212()()0xy11.点和圆的位置关系的判断通常用几何法(计算圆心到直线距离).点 及圆的方程0,)Pxy. 点 在圆外；22()abr2200()()xaybrP 点 在圆内； 点 在圆200yP2200()(
33、)xaybrP上.12.圆上一点的切线方程：点 在圆 上,则过点 的切线0(,)xy22r方程为： ；20xyr过圆 上一点 切线方程为2()()ab0(,)P.00()x13.过圆外一点作圆的切线,一定有两条,如果只求出了一条,那么另外一条就是与 轴垂直的直 线.x14.直线与圆的位置关系,通常转化为圆心距与半径的关系,或者利用垂径定理,构造直角三角形解决弦长问题. 相离 相切 相交drdrdr15.圆与圆的位置关系,经常转化为两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系.设两圆的圆心距为 ,两圆的半径分别为 ： 两圆相离； 两圆相外切； ,rRdrdRr两|Rrdr圆相交； 两圆相内切； 两圆内含；
34、 两圆同|dr0d心.16.过圆 ： , ： 交点的圆(相交1C2110xyDxEyF2C22xyDxEyF弦)系方程为 . 时为两圆相交弦所2 21122()()0xyDxEyFxyDxEyF1在直线方程.17.解决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形,切线长定理、割线定理、弦切角定理等等).18.求解线性规划问题的步骤是：(1)根据实际问题的约束条件列出不等式；(2)作出可行域,写出目标函数(判断几何意义)；(3) 确定目标函数的最优位置,从而获得最优解.八.圆锥曲线方程1.椭圆焦半径公式：设 为椭圆 上任一点,焦点为0(,)Pxy2
35、1(0)xyab, ,1(0)Fc2()则 (“左加右减”)；1020PaexFae2.双曲线焦半径：设 为双曲线 上任一点,焦点(,)Pxy21(0,)xyab为 , ,1()c2()则：当 点在右支上时, ；当 点在左支上1020|,|FaexPexP时, ,10|PFaex；( 为离心率). 另：双曲线 的渐近线方程2| 21(,)yab为 .xyab3.抛物线焦半径公式：设 为抛物线 上任意一点, 为0(,)Pxy2(0)ypxF焦点,则； 上任意一点, 为焦点，则 .02|pPFx()yxpF02|pPFx4.共渐近线 的双曲线标准方程为 ( 为参数, ).ba2xyab5.两个常见
36、的曲线系方程： 过曲线 , 的交点的曲线1(,)0f2)fx系方程是( 为参数).共焦点的有心 圆锥曲线系方程12(,),)0fxyf,其中2akb高中数学(理科)基础知识归类第页(共 15 页) 10.当 时,表示椭圆；当 时,表2max,kb2minkab 22min,axabkb示双曲线.6.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 或2211()()ABy212|ABkx(弦端点 ,由方程11222()4|xyk12(,)()xy消去(,)0ycbFx得到 , , 为斜率). 这 里体现了解几中“设而不求”02cxa的思想；7.椭圆、双曲线的通径(最短弦)为 ,焦准距为 ,抛物线的通径2ba2bc
37、p为 ,焦准距为 ；2pp双曲线 的焦点到渐近线的距离为 ；21(0,)xyab8.中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆,双曲线方程可设为(对于椭圆 )；2AxBy,AB9.抛物线 的焦点弦（过焦点的弦）为 , 、 ,2(0)px AB1()xy2()则有如下结论： ； , ； .12|214px21y12|pF10.椭圆 左焦点弦 ,右焦点弦2(0)xyab12|()ABaex.12|()ABae11.对于 抛物线上的点的坐标可设为 ,以简化计算.ypx 20()yp12.圆锥曲线中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在椭圆 中,21yab以 为中点的弦所在直线斜率 ；在双
38、曲线 中,以0(,)Pxy 20bxkay21xyab为中点的弦所,在直线斜率 ；在抛物线 中,以 为中点的弦所20bxkay2(0)ypx0(,)Pxy在直线的斜率 .0pyk13.求轨迹方程的常用方法：直接法：直接通过建立 、 之间的关系，构成 ,是求轨xy(,)0Fxy迹的最基本的方法.待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回所列的方程即可.代入法(相关点法或转移法).定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义,则可由曲线的定义直接写出方程.交轨法(参数法)：当动点 坐标之间的关系不易直接找到,()Pxy也没有相关动点可用时,可考虑将 、 均用一中间
39、变量( 参数)表示,得参数方程,再消去参数得xy普通方程.14.解析几何与向量综合的有关结论：给出直线的方向向量 或 .等于已知直线的斜率 或(1,)uk(,)mn k；nm给出 与 相交,等于已知 过 的中点；OBAOBA给出 ,等于已知 是 的中点;0PNMPMN给出 ,等于已知 与 的中点三点共线;()QQ,给出以下情形之一： ； 存在实数 ,使 ； C/ ABC若存在实数 , 且 ；使 ,等于已知 三点共线.1OCABBA,给出 ,等于已知 是 的定比分点 , 为定比,即ABPPBA给出 ,等于已知 ,即 是直角,给出0MM,等于已m知 是钝角或反向共线,给出 ,等于已知 是0mBAA
40、MB高中数学(理科)基础知识归类第页(共 15 页) 11锐角或同向共线.给出 ,等于已知 是 的平分线.|()MABPMPAB在平行四边形 中,给出 ,等于已知CD0)()(D是菱形.ABCD在平行四边形 中,给出 ,等于已知 是矩|ABCD形.在 中,给出 ，等于已知 是 的外心(三角22OBAO形的外心是外接圆的圆心,是三角形三边垂直平分线的交点).在 中,给出 ，等于已知 是 的重心(三角ABC0CABC形的重心是三角形三条中线的交点).在 中,给出 ，等于已知 是 的垂OBOA O心(三角形的垂心是三角形三条高的交点).在 中,给出 等于已知 通过ABCP|()ABC)(RAP的内心
41、.在 中,给出 等于已知 是 的内心,0Ocba OBC(三角形内切圆的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点).在 中,给出 ,等于已知 是 中 边的中线.ABC12()ADBCAD九.直线、平面、简单几何体1.从一点 出发的三条射线 、 、 .若 ,则点 在平面OOOBCA上的射影在的平分线上；BC2.立平斜三角余弦公式：(图略) 和平面所成的角是 , 在平面内,AB1和 的射影 成 ,A1AB2设 ,则 ；33coscos3.异面直线所成角的求法：平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点,作另一条的平行线.补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六面体、长方体
42、等,其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；4.直线与平面所成角：过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段,是产生线面角的关键.5.二面角的求法：定义法；三垂线法；垂面法；射影法：利用面积射影公式 cosS射 斜其中 为 平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角；6.空间距离的求法：两异面直线间的距离，高考要求是给出公垂线,所以一般先利用垂直作出公垂线,然后再进行计算.求点到直线的距离,一般用三垂线定理作出垂线再求解.求点到平面的距离,一是用垂面法,借助面面垂直的性质来作.因此,确定已知面的垂面是关键；二是不作出公垂线,转化为求三棱锥的高,利用等体积法列方程求解.7.用向量方法求空间角和距离：求异
43、面直线所成的角：设 、 分别ab为异面直线 、 的方向向量 ,ab则两异面直线所成的角 .求线面角：设 是斜线 的|arcosbll方向向量, 是平面 的n法向量,则斜线 与平面 所成的角 . 求二面角(法一)l |arcsinl在 内 ,在 内al,其方向如图(略),则二面角 的平面角 .(法二)b l|arcosb设 , 是二面角1n2的两个半平面的法向量,其方向一个指向内侧,另一个指向l外侧,则二面角 的平面l高中数学(理科)基础知识归类第页(共 15 页) 12角 .（4)求点面距离：设 是平面 的法向量,在 内取12|arcosn n一点 ,则 到 的距离BA(即 在 方向上投影的
44、绝对值).|csndAB8.正棱锥的各侧面与底面所成的角相等,记为 ,则 .cosS侧 底9.正四面体(设棱长为 )的性质：a全面积 ；体积 ；对棱间的距离 ；相邻23S321Va2da面所成二面角 ；1arcos外接球半径 ；内切球半径 ；正四面体内任一点到64R612ra各面距离之和为定值 .3ha10.直角四面体的性质：(直角四面体三条侧棱两两垂直的四面体).在直角四面体 OABC中, 两两垂直,令 ,则底面三角形 为锐, ,OAaBbCcABC角三角形；直角顶点 在底面的射影 为三角形 的垂心；HA；2BOCHABCSS ； ；外接球半径 R=222OABCS2211Oabc.21abcR11.已知长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为因此有,22os或 ；若 长方体的体对角线与过同一2cs12insiin顶点的三侧面所成的角分别为 ,则有 或 .222isiin1
