1、第二十三章 旋转23.1 图形的旋转专题一 利用旋转的概念和性质求角的度数以及点的坐标及直线解析式1.RtABC 中,已知C=90,B=50,点 D在边 BC上,BD=2CD(如图).把ABC 绕着点 D逆时针旋转m(0m180)度后,如果点 B恰好落在初始 RtABC 的边上,那么 m= .2.平行四边形 AOBC在平面直角坐标系中的位置如图所示, AOB=60,AO=1,AC=2,把平行四边形 AOBC绕点 O逆时针旋转,使点 A落在 y轴上,则旋转后点 C的对应点 C 的坐标为 .专题二 利用旋转的概念和性质确定旋转中心、以及作旋转图形3.如图,四边形 EFGH是由四边形 ABCD经过旋
2、转得到的.如果用有序数对(2,1)表示方格纸上 A点的位置,用(1,2)表示 B点的位置,那么四边形 ABCD旋转得到四边形 EFGH时的旋转中心用有序数对表示是_.4.如图,在平面直角坐标系中,点 P在第一象限,坐标为(a,b),直线 的解析式为 y=2x-4.(1)画出点 P以点lO为旋转中心逆时针旋转 90后的对应点 P;(2)猜想点 P的坐标,并证明你的结论;(3)求出直线 绕点lO逆时针旋转 90后的直线 的解析式.l专题三 利用旋转的概念和性质判定三角形形状、线段之间位置与数量关系5.如图,在 ABCD中,过点 C作 CECD 交 AD于点 E,将线段 EC绕点 E逆时针旋转 90
3、得到线段 EF.当 P为射线 CD上任意一点(P 不与 C重合)时,连接 EP;绕点 E逆时针旋转 90得到线段 EG.判断直线 FG与直线 CD的位置关系,并加以证明.6.已知:如图 1,O为正方形 ABCD的中心,分别延长 OA到点 F,OD到点 E,使 OF2 OA,OE2 OD,连接 EF,将FOE绕点 O逆时针旋转 角得到 FOE(如图 2).(1)探究 AE与 BF的数量关系,并给予证明;(2)当30时,求证: AOE为直角三角形.7.(1)如图,在正方形 ABCD中, AEF的顶点 E,F分别在 BC,CD边上,高 AG与正方形的边长相等,求 EAF的度数.(2)如图,在 Rt
4、ABD中, BAD=90,AB=AD,点 M,N是 BD边上的任意两点,且 MAN=45,将ABM绕点 A逆时针旋转 90至 ADH位置,连接 NH,试判断 MN,ND,DH之间的数量关系,并说明理由.(3)在图中,连接 BD分别交 AE,AF于点 M,N,若 EG=4,GF=6,BM=3 ,求 AG,MN的长.2知识要点:1.旋转的定义:把一个图形绕着某一点 O 转动一个角度的图形变换叫做旋转.2.旋转的三个要素:旋转中心、旋转角、旋转方向.3.旋转的性质:(1)对应点到旋转中心的距离相等;(2)对应点与旋转中心所连线段间的夹角为旋转角;(3)旋转前、后的图形全等.温馨提示:1.旋转可以得到
5、相等的角、边,所以为证明三角形全等提供了有力的条件.2.旋转可以将分散的边角集中于一点或集中于同一个三角形.同理,旋转也可以将集中的条件分散.方法技巧:1.确定旋转中心的方法:两组对应点连线的垂直平分线的交点就是旋转中心.2.旋转出等腰三角形;旋转 90出等腰直角三角形;旋转 60出等边三角形.3.图形绕原点旋转 90前后对应点的坐标之间的关系:横变纵,纵变横,符号看象限.即:P(a,b) 绕原点顺时针旋转 90 P(b,a);P(a,b) 绕原点逆时针旋转 90P(b,a).参考答案1.80或 120 【解析】(1)如图,点 B恰好落在边 AB上的点 B时,有 DB=DB.旋转角m=BDB=
6、180DBBB=1802B=80;(2)如图,点 B恰好落在边 AC上的点 B时,有 DB=DB.在 RtBCD 中,DB=DB=2CD,CDB=60,旋转角BDB=180-CDB=120.2.( ,2),(- ,-2)【解析】如图:3AOB=60,把平行四边形 AOBC绕点 0逆时针旋转,使点 A落在 y轴上,AEC=90.ACB=60,ACE=30.AE=1,AC=2,EC= ,AE=1,C3( ,2).同理可得点 C(- ,-2).333.(5,2) 【解析】连接 CG,作其垂直平分线;连接 EA,作其垂直平分线;两垂直平分线的交点就是旋转中心.4.【解】(1)如图所示;(2)P(b,a
7、).证明:过 P点分别作 x轴、y 轴的垂线,垂足分别为 A、B,过 P点分别作 x轴、y 轴的垂线,垂足分别为 B、A.POP=90,AOP=AOP.又OP=OP,RtAOPRtAOP.OA=OA,AP=AP.OA=OA=a,OB=PA=PA=OB=b.P在第二象限,P的坐标为(b,a);(3)由图象知直线 与 x轴交点为 M(2,0),与 y轴交点为 N(0,4).l由(2)得:点 M(2,0).N(0,4)绕 O点逆时针旋转 90得到的对应点分别是 M(0,2).N(4,0),直线 MN就是直线 l 绕 O点逆时针旋转 90得到的对应直线,解得直线 l的解析式为 y= x+2.125.【
8、解】直线 FG与直线 CD的位置关系为互相垂直.证明:如图,设直线 FG与直线 CD的交点为 H.线段 EC、EP 分别绕点 E逆时针旋转 90依次得到线段 EF、EG,PEG=CEF=90,EG=EP,EF=EC.GEF=90-PEF,PEC=90-PEF,GEF=PEC.GEFPEC.GFE=PCE.ECCD,PCE=90.GFE=90.EFH=90.FHC=90.FGCD.6.【解】(1) AE BF. 证明:如图 2,在正方形 ABCD中, ACBD, FOEAODAOB90.即AOEAOFBOFAOF.AOEBOF.OAOBOD,OE2OD,OF2OA,OEOF.OAEOBF.AEB
9、F.(2)作AOE的中线 AM,如图 3.则 OE2OM2OD2OA. OAOM.30,AOM60.AOM 为等边三角形.MAMOME, AM . AEM AMO,即2 AE60. E30. AOE306090,AOE为直角三角形.7.【解】(1)在 Rt ABE和 Rt AGE中, , , ABE AGE.GB .同理, . .GBDF4521BD(2) . , ,22HNDAHAN . .45AAMN , , AMN AHN. .M , , .9045B . . .9022D22DH(3)如图,由(1)知, , .设 ,则 , .EGFxAG4CE6xF , .解这个方程,得 , (舍去负
10、根).22FCE210)6()4(x12 . .在(2)中, , ,1AG2DAB NMBM .设 ,则 . .即 .MNDaN2)3()3a5a25N23.2 中心对称专题一 利用中心对称的性质确定点的坐标1.点 P(ac2, )在第二象限,点 Q(a,b)关于原点对称的点在( )baA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.一天,上九年级的聪聪和明明在一起下棋,这时聪聪灵机一动,象棋中也有很多数学知识,如图,我们给中国象棋棋盘建立一个平面直角坐标系(每个小正方形的边长均为 1),根据象棋中“马”走“日”的规定,若“马”的位置在图中的点 P.(1)写出下一步“马”可能到达的点
11、的坐标 ;(2)明明想了想,我还有两个问题:如果顺次连接(1)中的所有点,得到的图形是 图形(填“中心对称” 、 “旋转对称” 、 “轴对称”);指出(1)中关于点 P成中心对称的点 .专题二 利用中心对称的性质判定线段之间的关系3.如图,正方形 ABCD与正方形 ABCD关于点 O中心对称,若正方形 ABCD的边长为 1,设图形重合部分的面积为 y,线段 OB的长为 x,求 y与 x之间的函数关系式.4.课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:(1)如图 1,在ABC 中,若 AB=5,AC=3,求 BC边上的中线 AD的取值范围.小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长 AD到
12、E,使得 DE=AD,再连接 BE(或将ACD 绕点 D逆时针旋转 180得到EBD),把 AB、AC、2AD 集中在ABE 中,利用三角形的三边关系可得 2AE8,则1AD4.感悟解题时,条件中若出现“中点” “中线”字样,可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形,把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中.(2)解决问题:受到(1)的启发,请你证明下列命题:如图 2,在ABC 中,D 是 BC边上的中点,DEDF,DE 交 AB于点 E,DF交 AC于点 F,连接 EF.求证:BE+CFEF,若A=90,探索线段 BE、CF、EF 之间的等量关系,并加以证明.专题三 利用中心对称
13、的性质画图或游戏5.如图,ABCDEF,AFEDBC,若画一条直线将这个图形分成面积相等的两个部分,则符合要求的直线可以画( )A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.无数条6.两个人轮流在一张桌面(长方形或正方形或圆形)上摆放硬币.规则是每人每次摆一个,硬币不能互相重叠,也不能有一部分在桌面边缘之外,摆好之后不许移动.这样经过多次摆放,直到谁最先摆不下硬币谁就认输.按照这个规则你用什么方法才能取胜呢?知识要点:1.中心对称的定义:同一平面内,一个图形绕某个点旋转 180,如果旋转前后的图形能互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点叫做它的对称中心,旋转 180后重合的两个点叫做对应点.
14、2.中心对称的性质:中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心,而且被对称中心平分;中心对称的两个图形是全等形.3.关于原点对称点的坐标:两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反,即点 P(x,y)关于原点的对称点P(x,y).温馨提示:1.轴对称图形的对称轴可以有多条,中心对称图形的对称中心只有 1个.2.对称中心平分中心对称图形内通过该点的任意线段且使中心对称图形的面积被平分.方法技巧:1.画一条直线将一个不规则图形分成面积相等的两个部分的方法:利用割补法将该图形转化为两个中心对称图形,连接两个对称中心的直线就是所求的直线.2.中心对称可以将分散的边角集中于一点或集中于同一个三角形.
15、同理,中心对称也可以将集中的条件分散.参考答案1.A 【解析】点 P(ac2, )在第二象限,ac 20, 0,babaa0,b0.点 Q(a,b)在第三象限.点 Q(a,b)关于原点对称的点(-a,-b)在第一象限.2.【解】(1)根据分析可得,下一步“马”可能到达的点的坐标:(0,0),(0,2),(1,3),(3,3),(4,2),(4,0);(2)轴对称 (0,0)点和(4,2)点,(0,2)点和(4,0)点3.【解】如图,设 AD与 CD交于点 F,CD与 AD交于点 E.正方形 ABCD与正方形 ABCD关于点 O中心对称,四边形 DEDF 是正方形.正方形 ABCD的边长为 1,
16、BD= .OB=x,OD=BD-OB= -x.DE= ( -x)=2- x.222y=S 正方形 DEDF =DE2=(2- x)2.y 与 x之间的函数关系式为:y=(2- x)2.4.【解】延长 FD到 G,使得 DG=DF,连接 BG、EG.(或把CFD 绕点 D逆时针旋转 180得到BGD),CF=BG,DF=DG.DEDF,EF=EG.在BEG 中,BE+BGEG,即 BE+CFEF.若A=90,则EBC+FCB=90.由(1)知FCD=DBG,EF=EG,EBC+DBG=90,即EBG=90.在 RtEBG 中,BE 2+BG2=EG2,BE 2+CF2=EF2.5.C 【解析】如
17、图所示,能把图形分成面积相等的两个部分的直线共有 3条.6.【解】如果我先放,我就把第一枚放在桌中央,在他摆完后我再在他的中心对称的位置摆.因为中心对称是成对的,只要他能摆我就能摆,直到他输.当两人都知道这个规则后谁先摆不下谁赢.23.3 课题学习 图案设计专题一 根据旋转、中心对称、轴对称的性质设计图案1.如图所示是一块破损的正八边形窗户玻璃的图形,请你利用对称或其它有关知识补全图形.(用尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)2.认真观察 4个图中阴影部分构成的图案,回答下列问题:(1)请写出这四个图案都具有的两个共同特征.特征 1:_;特征 2:_.(2)请在图中设计出你心中最美丽的图案,使它
18、也具备你所写出的上述特征专题二 利用旋转、中心对称的性质证明线段之间的关系3.【2012济宁】如图,在平面直角坐标系中,有一 Rt ABC,且 ,已知1,3,3ABC是由 旋转变换得到的.1AC B(1)请写出旋转中心的坐标是_,旋转角是_度;(2)以(1)中的旋转中心为中心,分别画出 顺时针旋转 90、180的三角形;1AC(3)设 Rt ABC两直角边 、斜边 ,利用变换前后所形成的图案证明勾股定理.=Cab、 Bc4.【2012漳州】利用对称性可设计出美丽的图案,在边长为 1的方格纸中,有如图所示的四边形(顶点都在格点上).(1)先作出该四边形关于直线 l 成轴对称图形,再作出你所作的图
19、形连同原四边形绕 O点按顺时针方向旋转90后的图形;(2)完成上述设计后,整个图案的面积等于_.知识要点:1.轴对称、旋转、中心对称的定义.2.轴对称、旋转、中心对称的性质.温馨提示:1.当 n(n3)为奇数时,正 n边形是仅仅是轴对称图形,对称轴有 n条;当 n(n3)为偶数时,正 n边形既是轴对称图形也是中心对称图形,对称轴有 n条.2.计算网格中图形面积时,通常利用网格中格线长作为图形的底或高.方法技巧:1.图案设计的基本步骤:(1)确定关键点;(2)根据要求确定关键点的对应点;(3)连接关键点的对应点成图.2.对角线互相垂直的四边形面积等于两对角线乘积的一半.参考答案1.【解】(1)连
20、接 AE、 BF相交于点 O.(2)分别作 C、 D两点关于 O点的对称点 G、 H.(3)连接 AH、 HG、 GF.2.【解】(1)特征 1:都是轴对称图形;特征 2:都是中心对称图形;特征 3:这些图形的面积都等于 4个单位面积等(2)满足条件的图形有很多,只要画正确一个,就可以得满分.3.【解】(1)(0,0) 90(2)画出图形如图所示(3)由旋转的过程可知,四边形 和四边形 是正方形.123C12AB , , .123124ABCASSS正 方 形 正 方 形 4abcab22bca .abc4.【解】(1)如图所示:(2)由旋转和对称的特征可知,旋转前后的图形全等,即面积相等.对图形中的点进行标注,观察图形,由题意可知 AD5, BE CE1. ABD的面积 , ACD的面积 .2521BEAD2521CEAD四边形 ABDC的面积 ABD的面积 ACD的面积,四边形 ABDC的面积 .整个图形的面积4520.
