1、1海 淀 区 高 三 年 级 第 一 学 期 期 中 练 习数 学（理科） 2012. 11本试卷共 4 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知全集 ，集合 ，则UR2|1AxUAA (,)B (,)C (,)D (,1)(,)U2下列函数中，在定义域内是减函数的是A 1()fxB ()fxC 1()2xfD ()tanfx3在平面直角坐标系 中，已知 ， ， ，则 的值为oy0,O,A,3BOA
2、BurA B 31C D 314已知数列 的前 项和 ， 则na2nnS3aA 1B C 4D 85 的值为sicos5A 2B 64C 62D 326 “ ”是“函数 在 内存在零点”的0t2()fxt(,)A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件7已知函数 则不等式 的解集为1,0()xf(1)xfA 1,B (,C ,2D 1,8已知集合 ，若对于任意 ，存在 ，(,)|)Mxyfx1()xyM2()xy使得 成立，则称集合 是“好集合” 给出下列 4 个集合：120 1(,)| (,)|ex cosxyx lny其中所有“好集合”的序号是A B C
3、D2二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9 10edx10设 ， ， ，则 从大到小的顺序为 .5a3log2bcs,abc11函数 的值域为 1()()fxx12在 中， 点 为边 的中点， 若 ， 且 ，ABCMABOPurM(0)xOAyBxurur则 yx13已知函数 的图象由 的图象向右()gx()sin2fx平移 个单位得到， 这两个函数的部分图象0如图所示， 则 14数列 中， 如果存在 ， 使得“ 且 ”成立（其中 ， ） ， 则称naka1ka1k2kN为 的一个峰值k（）若 ， 则 的峰值为 ；231nn（）若 ， 且 不存在峰值， 则实数 的取值范
4、围是 latat三、解答题：本大题共 6 小题 ，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15 （本小题满分 13 分）已知等差数列 的前 项和为 ， 且 ， nanS25a20S（）求数列 的通项公式；（）求使不等式 成立的 的最小值nSyx17248O316 （本小题满分 13 分）已知函数 2()sinco()2fxx（）求 的值；8（）求函数 的最小正周期及单调递减区间()fx17 （本小题满分 13 分）在 中， ， ， ABC4tan()7AB32C（）求 的值；sin（）求 的面积18 （本小题满分 13 分）如图所示，已知边长为 米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中8米
5、， 米 为了合理利用这块钢板， 将在五边形 内4AE6CDABCDE截取一个矩形块 ， 使点 在边 上BNPMDE（）设 米， 米， 将 表示成 的函数， 求该函数的解析式及定义域；xyx（）求矩形 面积的最大值NBM P DFCEA419 （本小题满分 14 分）已知函数 321()(1)()fxaxax（）若 在 处取得极大值， 求实数 的值；（）若 ， 直线 都不是曲线 的切线， 求 的取值范围；mRykm()yfk（）若 ， 求 在区间 上的最大值1a()fx0,120 （本小题满分 14 分）已知数集 具有性质 P：对任意12,Aa,n12(a,2)na的 ， ， 使得 成立(2)k
6、n()ijjkij（）分别判断数集 与 是否具有性质 P， 并说明理由；,34,6（）求证： ；12na1(2)na（）若 ， 求数集 中所有元素的和的最小值7A5海淀区高三年级第一学期期中练习数 学 （理）参考答案及评分标准 201211说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数.一、选择题（本大题共 8 小题 ,每小题 5 分,共 40 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 B C B D C A D B二、填空题（本大题共 6 小题,每小题 5 分, 有两空的小题，第一空 3 分，第二空 2 分，共 30 分）9 e1 10 abc 11 2,121 13 31410； *
7、1| ,21ln2l()Nttn且三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分)15 （本小题满分 13 分）解：（I）设 的公差为 ，nad依题意，有 22151,02Sad分联立得1502ad解得 5 分16d所以 7 分()17nan6（II）因为 ，所以 9 分7na1(13)2nnaS令 ，即 11(13)22540分解得 或1n4又 ，所以*N所以 的最小值为 13 分516.（本小题满分 13 分）解：（）因为2()cos()2fxx2 分2in4 分1cosx6 分2i()14所以 7 分()sin28f （）因为()2i()14fxx所以 9 分T又 的单调递减区间为 ， 1
8、0 分sinyx32, 2k（ ） ()Zk所以令 1124k分解得 12 分588kxk7所以函数 的单调减区间为 ， 13 分()fx5(+,) 8k()Zk17 （本小题满分 13 分）解：（I）在 中，因为 1ABCBC分所以 3tant()tan()A分因为 ，所以 4t()7ABt7C分又 22sintacoi1C解得 5 分 7|sin|0因为 (,)C所以 6 分72sin10（II）因为 ，所以 4A1tantan()7BA解得 8 分3tanB因为 所以 9 分(0,)C3sin5由正弦定理 ，代入得到 11siibcBC7c分所以1sin2ABCSbc813 分12132
9、7sin418.（本小题满分 13 分）解：（I）作 于 ，所以 2PQAF8,4PQyEx分在 中， EDFE所以 4 分482xy所以 ，定义域为 6 分10x|48x(II) 设矩形 的面积为 ，则BNPMS9 分21()(0)(0)52xSxy所以 是关于 的二次函数，且其开口向下，对称轴为 10x所以当 ， 单调递增 11 分(4,8)x(Sx所以当 米时，矩形 面积取得最大值 平方米 13 分BNPM4819.（本小题满分 14 分）解：（）因为 22()(1)()fxaxa2 分令 ，得 ，()0fx1()a2xa所以 ， )f随 的变化情况如下表：x(,)a(,1)a(1,)a
10、9()fx0 0 A极大值 A极小值 A4 分所以 5 分1a（II）因为 6 分21()4afx因为 ，直线 都不是曲线 的切线mRykxm)(xfy所以 对 成立 7 分21()4afxR只要 的最小值大于k所以 8 分14k(III) 因为 所以 ,a10,当 时， 对 成立 1()fx,所以当 时， 取得最大值 9 分()f21()6fa当 时， 在 时， ， 单调递增0a0,xa0x()fx在 时， ， 单调递减(,1)()ff所以当 时， 取得最大值 10 分xa()fx321fa当 时， 在 时， ， 单调递减00,1()0f()x所以当 时， 取得最大值 11x()fxf分当
11、时，在 时， ， 单调递减10a(0,1)xa()0fx()fx在 时， ， 单调递增,ff又 ， 21(0),()6ffa10当 时， 在 取得最大值61a()fx121()6fa当 时， 在 取得最大值06()f0(0)f当 时， 在 ， 处都取得最大值 . 14 分a()fx1x综上所述，当 或 时， 取得最大值1a6a()fx21()6fa当 时， 取得最大值0()fx321fa当 时， 在 ， 处都取得最大值6a()f0x0当 时， 在 取得最大值 .06()f ()f20.（本小题满分 14 分） 解：() 因为 3 ， 所以 不具有性质 P.11,34因为 ，所以 具有性质 P
12、42=,+2 6=1,236分 () 因为集合 具有性质 P：12,nAa即对任意的 ，使得 成立，(),k()ijj=+kija又因为 ，所以12n,ikj所以 ，所以1,ikjkaa1=+2kija即 ， 6 分1n2321, ,. , nna将上述不等式相加得 21121+(+)n naa 所以 9 分2n()最小值为 47.11首先注意到 ，根据性质 P,得到1=a21=a所以易知数集 A 的元素都是整数.构造 或者 ，这两个集合具有性质 P, ,2369,87,459,83672A此时元素和为 147.下面，我们证明 147 是最小的和假设数集 ，满足 最小（存在性1212=,(,)
13、nnAaa=147niSa显然，因为满足 的数集 只有有限个）.=147iA第一步：首先说明集合 中至少有个元素: 1212,(,)nnaa由()可知 213, .a又 ，所以 ，1=4567, 8, , 3, 42所以 8n第二步：证明 ：12336,9nnnaa若 ，设 ，因为 ，为了使得 最小，在集合36A=t 76n=1niSaA中一定不含有元素 ，使得 ，从而 ；ka32k136na假设 ，根据性质 P，对 ，有 ，使得n,ij72nija显然 , 所以ij14nij而此时集合 中至少还有 5 个不同于 的元素，A,nija从而 ，矛盾，1()9nijSa所以 ，进而 ，且 ；36=
14、36t 36n同理可证： 28,nn（同理可以证明：若 ，则1A218na假设 .1因为 根据性质 P，有 ，使得36,na,ij136nija12显然 , 所以 ，ija14nija而此时集合 中至少还有个不同于 的元素A1,nija从而 ，矛盾，118nijS所以 ，且82a同理可以证明：若 ，则9A39n假设 因为 根据性质 P，有 ，使得218,na,ija218nija显然 , 所以ij124nnij而此时集合 中至少还有个不同于 的元素A12,nij从而 ，矛盾，1237nnijSaa所以 ，且 ）939至此，我们得到了 .1236,8,9nnn根据性质 P，有 ，使得,ijaija我们需要考虑如下几种情形： , 此时集合中至少还需要一个大于等于 4 的元素 ，才能得到元素8,1ij ka8，则 ；4S ，此时集合中至少还需要一个大于 4 的元素 ，才能得到元素 7，7,2ija k则 ；1 ，此时集合 的和最小，为 147；6,3ij=1,2369,872A ，此时集合 的和最小，为 147. 1454ija45分
