1、 函数解答题 1、函数 )1,0(log)()1axfxa（1）设函数 ，判断 的单调性；f(xg（2）证明对于任意 都有 成立；*,Nnmnmn1)()1（3）设 比较并证明 和 的大小.2(,)(21xfkxffk 1k22、函数 ，设函数)(,ln)(Raf 431)()7xafg（1）求函数 的单调区间和极值；xg（2）方程 有两个不同的实数根 ，求 的取值范围并证明： ；0)(bf 21,xb121ae（3）当 时试比较 和 的大小.ankfn)(57434ln（1）由题意 ， 3l1)(xxg 2 )(769xg所以当 x 变化时 变化情况如下表所示：,x)1,0( 1 )96(，
2、 1),96(g+ 0 - 0 +)(x极大值0 极小值 1234ln7所以 在 上是增函数，在 上是减函数； 有极大值 0，极小值 )(xg,916(,0)916， )(xg1234ln7（2） ，afln所以 在 单调递减， 单调递增，又因为 ，且),(1e)(1，e)(lim0fx)(aef结合 的图像可以得到)(xfy)0,(1aeb由 可得22121 lnlnxx21lnlxa原不等式 1l21x 0)()lnl(2ln)(21211 xx01)(ln2l)(ln2ln 221121211 xxxxx令函数 ，则1lnl)(cch ln)( cch， 在 单调递减；在 单调递增.2
3、)1(c)(h,0,则 ， 是单调递增的函数，又hc0)1(h对于任意 都有 ，令 则原不等式得证 .c)(21x(3)由（1）当 时令 可得nnx 0)1(4)1(3)ln(7)( gng整理得到 37)l(所以当 时有：1n1)7521(74)5(724 170)5(24343)1(2 nn nf当 时1lf当 时 574324ln)5712(4)1(24n)( nkknknk所以对于任意 都有 恒成立。*N3l571f3、函数 cbxaf2)( ),(Ra（1）已知 ， ，求函数 的极值；0xefg(（2）在曲线 上任取两点 曲线上都存在平行于 的切线 ，直线 方程)(fy ),),(2
4、1fBAABl为： ，若对于任意 都有不等式 恒成立求41221xx zm)(1(mftfe实数 的取值范围；t（3）已知 均大于零且 ，证明对任意 都有不等式 成立.cba, 22ac*Nnbakfn2)(14、函数 （ ）nnn CxCxxxf ()()()( 231 *N（1）求 的单调区间和极值；（2）正项数列 的前 项和为 ，证明： ；mx09 91010210 )()()()( xx（3）设函数 （ ）证明对任意 都有不等式 )()(1fgn*N*Nn成立. 11 2l2nnk解：（1）函数 nnxxf)1()( 1 )(1)( nxnxf所以当 n 为奇数时 在 单调递增，在 单
5、调递减；函数 有极大值,ff)(没有极小值；当 n 为偶数时 在 单调递增，在 单调递减；函数 有极大值(xfn)1,),1(),n)(xfn，有极小值 ；f)1( 0(f（2）令 ，则当 时有0101)()xx所以 01)(mx则 910210201 )10()()( xxx原不等式得证（3）由题意 xnxxnnxgn )(1)(所以 )121211)01 nkk )(12)( nnn原不等式等价于证明 恒成立2l1设函数 ，则)l()xxh )1()xh在 单调递减，在 单调递增(0,1(所以 0)()ln)1knkk则 2ln)1231l(111 nn 5、函数 （ ）已知)(log)(
6、,si)(xxxfa,0aen)(lim（1）当 ， 时证明 ；0xeaxgxf)(,)(（2）若 ，当 时比较 和 的大小；21,（3）设 ， ，若对任意 都有 成立求 的取值范围；2ntfnT)() *N0)(nTt6、函数 ，设 的值域为集合 A，函数 .l(Raxxg)(xg )(lnAxaxf（1）求 的最值；)f（2）若不等式 恒成立求 的取值范围；)1(2（3）比较 和 的大小 .102logke47、函数 ，曲线 在 处的切线为 ，在 处的切线方程为dcxbaxf 2n)( )(xfy10y2x.06ly（1）求 的单调区间和极值；)(f（2）若 且 ，证明： ；)(cossi
7、nfcosincos2sco2（3）证明对任意 都有不等式 .*N3)1()(1kkff8、1、函数 ， ,其中 。xaxfln23 2xfgRa（1）设函数 ，求 的极值；gF)()(F（2）若对于任意 都有不等式 恒成立求 的最小取值；*Nnankgn231（3）若存在 使得 恒成立求 的取值范围。Rmmxff解：（1） xFaxg l)(,ln1)( ，即 在 上是减函数， 上是增函数。 F2 )x20， ，2有极小值 )(xln3(a（2） annanng )1l()1(2)1l(1)(. )1l(12 34l nakn 原不等式为 )12(lna对于任意 都成立。)12(123na
8、*N设 则 即 在 上是减函数。xxl)(12(x)(，ln)n 12)ln()1(12(1 由此可得 即 的最小取值为 )l()(limnnn 3a3（3） 的定义域为 即存在使 恒成立的正数)(xf0mmfxf)(令 存在最小值， . 1ln2xah)(h)1(ln2)( axh易知当 时 ，当 时0x)(x0在 上是减函数， 上是增函数12)( h)20， )2(，又 存在最小值 不可能恒大于等于 0，则 ，xh(x 0ln1 ah2ln当 时 有两根，记为2lna0)1,x设 的极大值点为 ，极小值为 ， 在 上是增函数， 上是减函数。)( )(,01x， 01x，又 时0x1)(xh函数 的大致图象为 y要使 存在最小值则)( 1ln)(0020xaln0ax又 )1(l2)(0 h00lxa由得 由式也可以得到101n20xa于是令 ，则 ， 在 上单增ln)(x)()(，a,
