1、南京大学 2005 级数学系数学分析（二）期中测试、 判断题(20 分)判断如下结论是否正确：1. 设 f 是定义在a，b上的函数，若对 ，都存在一个分割 ，001:naxxb使得 ，其中 为 上 f 的振幅.那么 f 在a，b上可积. (5 分)10niix1iiix1ix,2. 设 f 在a，b上可积，那么对 ， 在 a，b上也可积. (5 分)f3. 设 f 是定义在 上的二元函数，若 fx，fy在每一点处都存在，则 f 在 上连续. (5 分)2A 2A4. 设 f 在 上可微，则 fx，fy在每一点处都存在且连续. (5 分)、 叙述题(15 分)1. 叙述定积分的定义. (5 分)
2、2. 叙述第一积分中值定理的条件及结论. (5 分)3. 设 为二元向量值函数，用 邻域的语言叙述 f 在 的连续性. (5 分)2:fA 0(,)xy、 计算题(15 分)1. 计算曲线 的长度. (5 分)21(0,)yx2. 记 ，求 的递推公式，并 计算 . (10 分)20d()nnII4I、 证明题(50 分)1. 证明： 存在，其中 为某一常数. (10 分)1silmAx02. 本题由以下两小题构成：(i) 设 f 为0， 1上 Riemann 可积函数，g 为 上周期函数，且 g 在0，1 上也可积， 证明：A;1100li()d()()dnxgfxx(ii) 设 ，证明： . (15 分)1,2fC2cosfn3. 定义 如下:fA32,()0,(,)0,xyf证明：f 在(0,0)处连续. (10 分)4. 设 为连续函数， 证明：f 不是单射.即，存在两个不同的点 p，q 使得2:A.(15 分)()fpfq
