1、序的应用,长沙市雅礼中学 龙凡,基本的序,4 12 31 24 43 25 34,4 12 24 25 31 34 43,大小序,1,2,3,4,5,6,7,1 2 4 6 7 5 3,DFS序,1 2 4 7 5 3 6,拓扑序,二分查找,连通性问题,动态规划,序是数据之间隐藏的一种基本关系：,序的应用,使得一个问题得到直接解决（大多是交互式问题） 应用序，挖掘题目的深层性质，使得问题得到转化。,下面着重通过两个例子来探讨如何应用序来转化问题。,树的构造,问题描述：一棵含有n个节点的树，所有的节点依次编号为1, 2, 3, , n，每个节点i有一个权值s(i)，也分别是1,2,3,n，并且各
2、不相同。对于编号为v的节点，定义t(v)为v的后代中所有权值小于s(v)的节点个数。 现在给出这棵树及t(1),t(2),t(n)，请你求出这棵树每个节点的权值。,树的构造,已知T,构造S,为了理解题目我们来看一个实例：,树的构造,我们来考虑这个树的DFS序列：,4,2,6,5,7,8,1,9,3,3,3,1,0,1,0,0,0,0,1(3)2(1)4(0)5(0)7(0)3(3)6(1)8(0)9(0),DFS序列的重要性质：,所有的子孙都紧跟着该节点之后出现。,树的构造,由于权值分别是1,2,3,n。我们不妨认为从左到右有N个格子，如果从左数第I个格子填入了节点J，则S(j)=i。,一组可
3、行解,左数第4个位置,左数第7个位置,树的构造,不能漏填，也不能冲突。 每个格子的左边，都恰好有t(i)个格子填入了自己的子孙。 不能超出1n的边界范围。,如果我们按照DFS的顺序，依次填写节点。对于每个节点j的左边，则必须预留下至少t(j)个空格给权值比他小的子孙。,所有的子孙都紧跟着该节点之后出现。,看看“填”的时候的具体要求,树的构造,依次按DFS序填写每个节点时，对于节点J，给他的子孙恰好预留t(j)个空位，即j填在第t(j)+1个空格，就是可行解,4,2,5,1,7,8,6,3,9,4,2,6,5,7,8,1,9,3,3,1,3,1,0,0,0,0,0,1(3)2(1)4(0)5(0
4、)7(0)3(3)6(1)8(0)9(0),可以假设节点个数N较小的情况下满足条件，并且解只会占用前N个空格。然后用数学归纳法对每一颗子树进行归纳证明。,树的构造,已知一个一维线形结构 最开始所有位置为空。根据DFS序列，每次插入一个元素j，到第t(j)+1个空位置 求出最终状态借助线段树或树状数组等数据结构可以将问题在O(N log N)时间复杂度内解决，空间复杂度为O(N),看看转化后的问题：,小结,通过对题目特点的分析，借助DFS序列的性质，对原问题进行转化。合理的使用数据结构，最终完整解决问题。,问题描述：N个士兵在进行队列训练，从左至右有M个位置。每次将军可以下达一个命令，表示为Go
5、to(L,S) 1.若队列L位置上为空，则士兵S站在L上。 2.若队列L位置上有士兵K，则士兵S站在L上，并执行Goto(L+1，K)将军依次下达N个命令，每个士兵被下达命令一次且仅一次。要你求出最后队列的状态。（有可能在命令执行过程中，士兵站的位置标号超过M）,士兵排队,就是把L位置及其右方的一段士兵向右推移一格，为S腾出位置，然后S站在L上。,士兵排队,Goto(4,1) Goto(4,2) Goto(5,3) Goto(2,4) Goto(4,5) Goto(3,6),1,2,3,4,5,6,N=6 M=5,一个简单的例子,士兵排队,直接模拟的最坏时间复杂度为O(N2)，效率十分低下。
6、使用平衡二叉树，可以得到一个O(N log (N+M)的算法。但平衡二叉树时间复杂度常数系数比较大，而且较难实现。 不妨抛开纯粹模拟的思路，另辟蹊径。,我们来进行一下初步分析：,士兵排队,先来看最基本的情况：,Goto(2,1) Goto(2,2),1,2,可见：如何高效处理插入带来的连锁移动是本题的关键！,能不能通过特殊的处理来避免连锁移动呢？,NewGoto(2,2) NewGoto(2,1),士兵排队,注意到上面的例子中1因为2的插入而向右移动了一格。 我们要避免连锁移动，就是希望通过一个规则，使得士兵1能够直接插入到3号位置。我们可以先插入士兵2而不是士兵1，然后再将士兵1插入到第2个
7、空位置中。 具体地说，定义：newgoto(L,S)命令，将S士兵插入到第L个空位置中。,Goto(2,1) Goto(2,2),这就是上一题我们最后要实现的操作！,事实上原Goto序列只要把(L,S)数对合理交换位置，就和NewGoto序列等价,士兵排队,1,2,NewGoto(2,2) NewGoto(2,1),Goto(2,1) Goto(2,2),士兵排队,复杂一点的情况：,Goto(4,1) Goto(4,2) Goto(5,3) Goto(2,4) Goto(4,5) Goto(3,6),NewGoto(4,5) NewGoto(5,3) NewGoto(4,2) NewGoto(
8、4,1) NewGoto(3,6) NewGoto(2,4),1,2,3,4,5,6,B,如果我们可以将Goto序列的(L,S)数对，高效合理的改变顺序，转化为NewGoto序列，则模拟NewGoto命令就是上题最后转化成的一维线性填数问题。,士兵排队,有两条根本性的原则：,如果A因B插入而被连锁移动。则和A,B有关的两条NewGoto命令，B要在A之前。 如果A,B没有关联，而A最终位置在B之前，则NewGoto序列中，B要在A之前。,B,.,.,A,Goto(LA,A) Goto(LB,B),第LA个空位置,.,.,A,第LA个空位置,NewGoto(LB,B) NewGoto(LA,A)
9、,第LA个空位置的具体位置被推移！,.,士兵排队,1,2,3,4,5,6,5 3 2 1 6 4,我们需要知道最终位置。 我们需要知道谁被谁造成连锁移动。 我们无法直接构图。,一组等价的NewGoto序列,如果构造一个图，与A相关的NewGoto命令要在与B相关的之前，则A,B之间连一条边A-B，那么我们就是要获得这个图拓扑序。,3,4,考虑利用两条基本性质，直接构造拓扑序。 用并查集存储每个不相干的部分及单独构造(假设每个块互相不影响)的NewGoto序列。 当两个块因为插入而要合并时，顺便将两个块的NewGoto序列合并。 最后将所有未合并的部分的序列，根据位置在后的块序列上靠前的原则，合
10、并完整的NewGoto序列。,2 6 3 4 1 5,6,士兵排队,3,2,1,4,5,2,1,5,2,6,3,4,并查集并不需要，也无法存储每个部分内元素之间的相对位置！,NewGoto(L1,1) NewGoto(L5,5),士兵排队,当士兵A直接插入到一个已经属于某一个块B的位置中时，就将与A相关的NewGoto命令插入B块的NewGoto命令序列首。当士兵A的插入引起了一个或者多个块相连时，则根据位置在后的块序列上靠前的原则来对他们进行合并。 用一个链表来存储单个部分的NewGoto序列，因为他只涉及插入到序列首，和首尾相接合并两个操作,我们来具体讨论如何合并：,b1,bi,A,Ba1
11、Bak,A,Ba1Bak,A,6,3,2,1,4,5,2,1,5,3,4,2,6,3,4,士兵排队,Goto(4,1) Goto(4,2) Goto(5,3) Goto(2,4) Goto(4,5) Goto(3,6),1,2,3,4,5,6,具体实现的例子：,1,2,1,3,2,1,4,5,3,2,1,5,3,2,1,6,4,士兵排队,根据Goto序列构造NewGoto序列。转化成前一题最终转化成的一维线性填数问题。 使用线段树等工具在O(N log (N+M)时间内解决转化后问题。总时间复杂度O(N log (N+M)，空间复杂度O(N+M)。,现在来整理整个算法：,总结,通过适当的分析，应用不同的序，将两个截然不同的问题转化成了同一个问题。提示我们在平时做题时要充分挖掘题目的本质。同时大胆的尝试，去实现自己的想法。,谢谢大家,
