1、1.5 FT的基本性质及有关的定理,本节给出FT的一些重要性质和有关的定理，有些加以推导，有些不推导。 利用这些性质和定理，只要知道不多几个函数的FT，就能够容易地求出许多其它函数的FT。 这些性质和定理在线性系统分析、信号处理、图像处理及本课程中经常用到。,1.5-1 基本性质,1)线性性质（均匀性，叠加性）,和的FT等于FT的和 叠加性,幅值按同样的比例缩放 均匀性,同时具有叠加性和均匀性 线性性质性,2). 对称性质,证明方法一：,证明方法二：,若 f(x,y) 为偶函数，则 F(u,v) 也是偶函数， 即: 若 f(-x,-y) = f(x,y), 则 F(-u,-v) = F(u,v
2、)。,若 f(x,y) 为奇函数，则 F(u,v) 也是奇函数， 即：若f(-x,-y) = -f(x,y), 则 F(-u,-v) = -F(u,v)。,关于FT的对称性还有：,3) 迭次FT,证明：,4)坐标缩放性质,若：,则：,a，b为不为零的实常数,光学上，空域中空间坐标的放大或缩小，导致空间频域中的空间频谱坐标缩小或放大。 如：孔径夫琅和费衍射。,证明：,5)平移性：,若：,则：,x0，y0 为实常数,证明：,空域中的平移造成频域中频谱的相移。 光场复振幅不具有平移不变性。但强度具有平移不变性。,例如：孔径的夫琅和费衍射（加透镜）,强度分布（衍射图样）,6)体积或面积的对应关系,则有
3、 ：,若有 ：,7)复共轭函数的FT,若有 ：,则有：,由上式知，若 f(x,y) 为实函数, 则其FT具有厄米对称性，即 :,1.5-2 FT的基本定理,1)卷积定理(Convolution Theorem),2)相关定理 (Correlation Theorem),3)巴塞伐定理 (Parsevals Theorem),4)广义巴塞伐定理 (Generalized Parsevals Theorem),5)导数定理 (Derivative Theorem),1)卷积定理(Convolution Theorem),若：,则有：,即两个函数卷积的FT等于它们的FT之积。 两个函数乘积的FT等于
4、它们的FT的卷积。 若f(x,y)和g(x,y)表示两幅图像，卷积定理即表示：两图像卷积的频谱等于两图像频谱之积；两图像乘积的频谱等于两图像频谱之卷积。,证明：（以一维函数为例）,卷积定理在FT理论及应用中非常重要：,对于一个复杂函数，其FT难求，若它可表示成几个简单函数的卷积，而这些简单函数的FT易求，则可用卷积定理。,如：,当两个函数或图像的卷积难求时，可先求得各自的FT，乘积后，再求IFT, 即可得两者之卷积。,如：,数字图像处理或数字信号处理中有FFT与FIFT算法和程序； 光学上可用FT透镜实现FT和IFT功能。,2)相关定理 (Correlation Theorem),(1) 互相
5、关定理(Cross-correlation Theorem),若：,则有：,通常把 F*(u,v) G(u,v) 称为 f(x,y) 和 g(x,y) 的互谱能量密度, 简称为互谱密度。 互相关定理表明：两个函数的互相关与其互谱密度构成傅里叶变换对。,证明：(方法一）,证明：(方法二）,可用相关与卷积的关系、及卷积定理，来证明：,说明： 相关定理常用来求两个函数或图像的相关；当两个函数或图像的相关难求时，可先求得各自的FT，将第一个函数的FT取复共轭，乘积后，再求IFT, 即可得两者之相关。即：FT-1F*(u)G(u) = f(x)g(x),相关定理常常用于信号检测、图像识别。 根据相关的物
6、理意义和特性。相关函数具有中心峰值分布。当函数是实函数时，其自相关具有中心对称的峰值分布。,3)巴塞伐定理 (Parsevals Theorem),则:,若:,在应用问题中，等号两边的积分都可以表示某种能量。该定理表明，对能量计算既可以在空域种进行也可在频域中进行，两者等价。 在物理意义上，该定理是能量守恒的体现，所以也称为能量守恒定理。,可用来计算较复杂的积分，如：,4)广义巴塞伐定理 (Generalized Parsevals Theorem),可用于求复杂的积分，如:,5)导数定理 (Derivative Theorem),设,且,则有,以一维函数为例的证明见应用FTP109页,6积分定理 (Integral Theorem),7矩定理 (Moment Theorem),小结,
