1、1立体几何知识要点及解题方法一、内容提要：立体几何需要我们去解决的问题概括起来就是三个方面，证明位置关系、求距离和求角；具体内容见下表：二、主要解题方法：（一）位置关系1、两条异面直线相互垂直证明方法： 证明两条异面直线所成角为 90； 证明两条异面直线的方向量相互垂直 1 22、直线和平面相互平行证明方法： 证明直线和这个平面内的一条直线相互平行； 证明这条直线的方向量 1 2和这个平面内的一个向量相互平行； 证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相 3互垂直。3、直线和平面垂直证明方法： 证明直线和平面内两条相交直线都垂直， 证明直线的方向量与这个平 1 2面内不共线的两个向量都垂直； 证
2、明直线的方向量与这个平面的法向量相互平行。 34、平面和平面相互垂直证明方法： 证明这两个平面所成二面角的平面角为 90； 证明一个平面内的一条直线 1 2垂直于另外一个平面； 证明两个平面的法向量相互垂直。 3（二）求距离求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。提 要 主 要 内 容 重 点 内 容位置关 系两条异面直线相互垂直、直线与平面平行、直线与平面斜交、直线与平面垂直、两个平面斜交、两个平面相互垂直两条异面直线相互垂直、直线与平面平行、直线与平面垂直、两个平面相互垂直距 离 两条
3、异面直线的距离、点到平面的距离、直线到平面的距离、两个平面的距离 两条异面直线的距离、点到平面的距离立体几何角 度 两条异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角 两条异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角21、两条异面直线的距离求法： 如果知道两条异面直线的公垂线，那么就转化成求公垂线段的长度，线段长度的 1求法也可以用向量来帮助解决，求线段 AB 的长度，可以利用来帮助解决，但是前提条件是我们要知道22 )(NBMAB的模和每两个向量所成的角。 利用公式 （其中, 2 |nABdA、B 分别为两条异面直线上的一点， 为这两条异面直线的法向量）n2、点到平面的距离求法： “一找二证三
4、求” ，三步都必须要清楚地写出来。 等体积法。 向量法，利 1 2 3用公式 （其中 A 为已知点，B 为这个平面内的任意一点， 这个平面的法|nd n向量）（三）求角1、两条异面直线所成的角求法： 先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后 1通过解三角形去求得； 通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到 2异面直线所成角得范围是 ，向量所成的角范围是 ，如果求出的是钝角，,0(,0要注意转化成相应的锐角。2、直线和平面所成的角求法： “一找二证三求” ，三步都必须要清楚地写出来。 向量法，先求直线的方向量 1 2于平面的法向量所成的角 ，那么所要求的角
5、为 或3、平面与平面所成的角求法： “一找二证三求” ，找出这个二面角的平面角，然后再来证明我们找出来的这个 1角是我们要求的二面角的平面角，最后就通过解三角形来求。 通过射影面积来求 2（在其中一个平面内找出一个三角形，然后找这个三角形在另外一个平面原射 影Scos的射影，那么这个三角形的射影面积与原三角形面积之比即为 cos，注意到我们要求的角为 或 ） ； 向量法，先求两个平面的法向量所成的角为 ，那么这两个平面所 3成的二面角的平面角为 或 。我们现在来解决立体几何的有关问题的时候，注意到向量知识的应用，如果可以比较3容易建立坐标系，找出各点的坐标，那么剩下的问题基本上就可以解决了，如
6、果建立坐标系不好做的话，有时求距离、角的时候也可以用向量，运用向量不是很方便的时候，就用传统的方法了！三、注意的问题：1、我们现在提倡用向量来解决立体几何的有关问题，但是当运用向量不是很方便的时候，传统的解法我们也要能够运用自如。2、我们如果是通过解三角形去求角、距离的时候，做到“一找二证三求” ，解题的过程中一定要出现这样一句话， “ 是我们所要求的角” 、 “线段 AB 的长度就是我们所要求的距离”等等。让人看起来一目了然。3、用向量来求两条异面直线所成角时，若求出 cosx，则这两条异面直线所成的角为arccos|x|4、在求直线与平面所成的角的时候，法向量与直线方向量所成的角或者法向量
7、与直线的方向量所成角的补交与我们所要求的角互余，所以要 或 ，若求出的角为锐2角，就用 ，若求出的钝角，就用 。25、求平面与平面所成角的时，若用第 、 种方法，先要去判断这个二面角的平面角是 2 3钝角还是锐角，然后再根据我们所作出的判断去取舍。四、典型例题：1、已知三棱锥 PABC 中 PB底面 ABC， ，90BCAPB=BC=CA=a，E 是 PC 的中点，点 F 在 PA 上，且 3PF=FA.（1）求证：平面 PACPBC；（2）求平面 BEF 与底面 ABC 所成角（用一个反三角函数值表示）.2、如图，四棱锥 PABCD 的底面是正方形,PA 底面 ABCD，PA=AD=2，点
8、M、N 分别在棱 PD、PC 上，且 PC平面 AMN.（1）求证：AMPD ；（2）求二面角 PAMN 的大小；（3）求直线 CD 与平面 AMN 所成角的大小.43、如图，平面 ABCD平面 ABEF，ABCD 是正方形，ABEF 是矩形，且G 是 EF 的中点，,21aADF（1）求证平面 AGC平面 BGC；（2）求 GB 与平面 AGC 所成角的正弦值.（3）求二面角 BACG 的大小.4、如图，在正方体 中， 是棱 的中点， 为平面1DCBAE1AHEDB内一点， 。)0(,21mHC（1）证明 平面 ；E（2）求 与平面 所成的角；B（3）若正方体的棱长为 ，求三棱锥 的体积。a
9、EBAACBDHzEA1D1B1C1yx51、证明（1）：PB底面 ABC，PBAC，又BCA=90AC平面 PBC又 AC 平面 PAC，平面 PAC平面 PBC（2）解：设 FE 的延长线与 AC 的延长线交于 M，连 MB，则 MB 为平面 BEF 与平面 ABC 的交线在平面 PCA 中，由已知 E 是 PC 的中点，F 是 PA 的四等分点，aACM21取 BC 的中点 H，则 EH/PB， EH底面 ABC 过 H 作 HOMB 于 O，由三垂线定理，EO MB则EOH 为平面 BEF 与底面 ABC 所成二面角的平面角在 ，在aBCRt105,中 aEHRt21,.中tanHOE
10、即平面 BEF 与底面 ABC 所成二面角的大小为 5arctn若利用面积射影法，指出HDB 是EFB 在底面 ABC 上的射影，并计算出其面积7 分 计算出 216aS射 影 216SEFBcosEFB射 影即平面 BEF 与底面 ABC 所成二面角的大小为 6arcos2、 （1）证明：ABCD 是正方形，CDAD，PA 底面 ABCD，PACD.CD 平面 PAD AM 平面 PAD，CD AM.PC平面 AMN，PC AM.AM 平面 PCD.AM PD. （2）解：AM平面 PCD（已证） .6AM PM，AMNM.PMN 为二面角 P-AM-N 的平面角.PN 平面 AMN，PN
11、NM.在直角PCD 中， CD=2，PD=2 ，PC=2 .23PA=AD，AMPD，M 为 PD 的中点，PM= PD=12由 RtPMN RtPCD ，得 .PCMDN.3arcos.32)cos( PN即二面角 PAMN 的大小为 .arcos（3）解：延长 NM，CD 交于点 E.PC平面 AMN，NE 为 CE 在平面 AMN 内的射影CEN 为 CD（即（CE）与平在 AMN 所成的角. CD PD，EN PN ，CEN=MPN.在 RtPMN 中， .3arcsin)2,0(.sinMPNCD 与平面 AMN 所成的角的大小为 i3、 （1）证明：正方形 ABCD 面 ABCD面
12、 ABEF 且交于 AB，ABCCB面 ABEF AG，GB 面 ABEF， CBAG，CBBG又 AD=2a，AF= a，ABEF 是矩形，G 是 EF 的中点，AG=BG= ，AB=2 a， AB2=AG2+BG2，AGBG CGBG=B AG 平面 CBG 2而 AG 面 AGC， 故平面 AGC平面 BGC （2）解：如图，由（）知面 AGC面 BGC，且交于 GC，在平面 BGC 内作BHGC ，垂足为 H，则 BH平面 AGC， BGH 是 GB 与平面 AGC 所成的角在 RtCBG 中 又 BG= ，aBGCB322 a2 36sinG（3）由（）知，BH面 AGC 作 BOAC，垂足为 O，连结 HO，则HOAC， 为二面角 BACG 的平面角 在OH aBACRt2,中在 Rt BOH 中， 36arcsin36sinOH7即二面角 BACG 的大小为 36arcsin4、 （1）设正方体的棱长为 ，则 ， ，,02aDE0,aDB ， ，又 ，,011 BHCDEHC BHCE11, DBE 平面 。（2） ，设 与 所成的角为 ，,01aB1，232|11cos mHC 。45由（1）知 平面 ， 为 与平面 所成的角。EDBHC11BEDB。4590B（3） 。361213aaVVABEEDA
