中考数学试题中动态几何问题的求解策略.doc

1、中考数学试题中动态几何问题的求解策略番禺区教育局教研室 严运华近年来，随着九年义务教育课程标准的深入实施，动态几何已悄悄进入到中考数学试题中，而且要求越来越高，越来越突出探究能力的考查。编制好的动态几何的题已成为中考命题者努力追求的目标之一。下面谈谈中考数学中动态几何的一些解题策略。例 1：已知O 的弦 AB 的长等于O 的半径，点 C 在O 上变化（不与 A、B）重合，求ACB 的大小 .分析：点 C 的变化是否影响ACB 的大小的变化呢 ?我们不妨将点 C 改变一下,如何变化呢？可能在优弧 AB 上，也可能在劣弧 AB 上变化，显然这两者的结果不一样。那么，当点 C 在优弧 AB 上变化时

2、， ACB 所对的弧是劣弧 AB，它的大小为劣弧 AB 的一半，因此很自然地想到它的圆心角，连结 AO、BO，则由于 AB=OA=OB，即三角形 ABC 为等边三角形，则AOB=60 0，则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：ACB= AOB=30 0，21当点 C 在劣弧 AB 上变化时， ACB 所对的弧是优弧 AB，它的大小为优弧 AB 的一半，由AOB=60 0 得，优弧 AB 的度数为 3600-600=3000，则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：ACB=150 0，因此，本题的答案有两个，分别为 300 或 1500.反思：本题通过点 C 在圆上运动的不确定性而引起结果的不

3、唯一性。从而需要分类讨论。这样由点 C 的运动变化性而引起的分类讨论在解题中经常出现。变式 1：已知ABC 是半径为 2 的圆内接三角形，若 ，求C 的大小.32AB本题与例 1 的区别只是 AB 与圆的半径的关系发生了一些变化 ,其解题方法与上面一致,在三角形 AOB 中, ,则 ,即 ,2312sinOBA061O012从而当点 C 在优弧 AB 上变化时， C 所对的弧是劣弧 AB，它的大小为劣弧 AB 的一半，即 ,06当点 C 在劣弧 AB 上变化时， C 所对的弧是优弧 AB，它的大小为优弧 AB 的一半，由AOB=120 0 得，优弧 AB 的度数为 3600-1200=2400

4、，则由同弧所对的圆心角与圆周角的OBACOBA C关系得出：C=120 0，因此 或C=120 0.6C变式 2: 如图,半经为 1 的半圆 O 上有两个动点 A、 B，若 AB=1，（1） 判断AOB 的大小是否会随点 A、B 的变化而变化，若变化，求出变化范围，若不变化，求出它的值。（2） 四边形 ABCD 的面积的最大值。解：（1）由于 AB=OA=OB，所以三角形 AOB 为等边三角形，则AOB=60 0，即AOB 的大小不会随点 A、B 的变化而变化。（2）四边形 ABCD 的面积由三个三角形组成，其中三角形 AOB 的面积为 ，而三角43形 AOD 与三角形 BOC 的面积之和为

5、，又由梯形)(212121BGAFOCFD的中位线定理得三角形 AOD 与三角形 BOC 的面积之和 ，要四边形EHABCD 的面积最大，只需 EH 最大，显然 EHOE= ，当 ABCD 时，EH=OE，因23此四边形 ABCD 的面积最大值为 + = .432对于本题同学们还可以继续思考:四边形 ABCD 的周长的变化范围.变式 3: 如图,有一块半圆形的木板,现要把它截成三角形板块.三角形的两个顶点分别为 A、B，另一个顶点 C 在半圆上，问怎样截取才能使截出的三角形的面积最大？要求说明理由（广州市 2000 年考题）H GFEOD CBAA BCD OOCBADA BCO分析：要使三角

6、形 ABC 的面积最大，而三角形 ABC 的底边 AB 为圆的直径为常量，只需 AB 边上的高最大即可。过点 C 作 CDAB 于点 D，连结 CO，由于 CDCO，当 O 与 D 重合，CD=CO ，因此，当 CO 与 AB 垂直时，即 C 为半圆弧的中点时，其三角形 ABC 的面积最大。本题也可以先猜想，点 C 为半圆弧的中点时，三角形 ABC 的面积最大，故只需另选一个位置 C1（不与 C 重合） ， ，证明三角形 ABC 的面积大于三角形 ABC1 的面积即可。如图显然三角形 ABC1 的面积 = ABC1D，而 C1DAD+DB (D) AC+CB 与 AD+DB 的大小关系不确定分

7、析:本题可以通过动手操作一下,度量 AC、CB、AD、DB 的长度，可以尝试换几个位置量一量，得出结论（C）例 5：如图，过两同心圆的小圆上任一点 C 分别作小圆的直径 CA 和非直径的弦CD，延长 CA 和 CD 与大圆分别交于点 B、E ，则下列结论中正确的是（ * ）（A） （B）DEAE（C） （D） 的大小不确定,分析：本题可以通过度量的方法进行，选（B）本题也可以可以证明得出结论，连结 DO、EO，则在三角形 OED 中，由于两边之差小于第三边，则OEODDE,即 OBOADE,因此 ,即EDABAB三、 建立联系，计算说明例 6：如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 M 在边

8、 DC 上，且 DM=1，N 为对角线 AC 上任意一点，则 DN+MN 的最小值为 .分析：能否将 DN 和 NM 进行转化，与建立三角形两边之和大于第三边等问题，很自然地想到轴对称问题，由于 ABCD 为正方形，因此连结 BN，显然有 ND=NB，则问题就转化为 BN+NM 的最小值问题了，一般情况下：BN+NMBM,只有在 B、N、M 三点共线时，BN+NM=BM，因此 DN+MN 的最小值为 BM= 52C本题通过建立平面上三个点中构成的三角形中的两边之和大于第三边及共线时的两边之和等于第三边的特殊情况求最小值，最后通过勾股定理计算得出结论。例 7：如图，在等腰直角三角形 ABC 中，

9、斜边 BC=4，OA BC 于 O,点 E 和点 F 分别在边AB、AC 上滑动并保持 AE=CF,但点 F 不与 A、C 重合，点 E 不与 B、A 重合。（2） 判断四边形 AEOF 的面积是否随点 E、F 的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值.（3） AEF 的面积是否随着点 E、F 的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值。（即例 3 的第 2、第 3 问）分析：(2)本题的方法很多，其一，可以建立四边形 AEOFEDC BAOMNDCBAFEO CBACBPDAQ与 AE 长的函数关系式，如设 AE=x，则 AF= ，x2而三角形 AOB 的面积与三角

10、形 AOE 的面积之比= ，而三角形 AOB 的面积=，则三角形 AOE 的面积= ，同理三角形 AOF 的面积= ，因此四边221OAB2x 2x形 AEOF 的面积= ；即 AEOF 的面积不会随点 E、F 的变化而变化，是一个)(x定值，且为 2.当然，本题也可以这样思考，由于三角形 AOE 与三角形 COF 全等，则四边形 AEOF 的面积与三角形 AOC 的面积相等，而 AOC 的面积为 2，因此 AEOF 的面积不会随点 E、F 的变化而变化，是一个定值，且为 2.本题通过建立函数关系或有关图形之间的关系,然后通过简单的计算得出结论的方法应用比较广泛.第(3)问,也可以通过建立函数

11、关系求得, AEF 的面积= ,1)2(1)2(1xx又 的变化范围为 ,由二次函数知识得 AEF 的面积的范围为:x20xAEF 的面积 .01本题也可以根据三角形 AEF 与三角形 OEF 的面积关系确定 AEF 的面积范围:不难证明 AEF 的面积 OEF 的面积，它们公用边 EF，取 EF 的中点 H，显然由于 OEF 为等腰直角三角形，则 OHEF，作 AGEF，显然 AGAH=AG（= ） ，所以 AEF 的面积EF21 OEF 的面积，而它们的和为 2，因此 AEF 的面积 .0本题包容的内涵十分丰富，还可以提出很多问题研究：比如，比较线段 EF 与 AO 长度大小等（可以通过

12、A、E、O、F 四点在以 EF 为直径的圆上得出很多结论）例 8：如图，在矩形 ABCD 中，AB=12cm ，BC=6cm，点 P沿 AB 边从点 A 开始向点 B 以 2 厘米/秒的速度移动；点 Q 沿DA 边从点 D 开始向点 A 以 1 厘米/秒的速度移动。如果、同时出发，用 t 秒表示移动的时间（0 t 6） ，那么：（1）当 t 为何值时，三角形 QAP 为等腰三角形？（2）求四边形 QAPC 的面积，提出一个与计算结果有关的结论；（3）当 t 为何值时，以点 Q、A、P 为顶点的三角形与ABC 相似？分析：（1）当三角形 QAP 为等腰三角形时，由于 A 为直角，只能是 AQ=A

13、P，建立等量关系， ，即 时，三角形 QAP 为等腰三角形；t622（2）四边形 QAPC 的面积 =ABCD 的面积三角形 QDC 的面积三角形 PBC 的面积= =36，即当 P、Q 运动时，四边形 QAPC 的面积不变。6)1(1xx（3）显然有两种情况：PAQABC，QAPABC ，由相似关系得 或 ，解之得 或26x2x3x2.1建立关系求解，包含的内容多，可以是函数关系，可以是方程组或不等式等，通过解方程、或函数的最大值最小值，自变量的取值范围等方面来解决问题；也可以是通过一些几何上的关系，描述图形的特征，如全等、相似、共圆等方面的知识求解。作为训练同学们可以综合上述方法求解：练习

14、 1：2003 年广州市中考压轴题（全卷得分最低的一道）已知 ABC 为直角三角形， AC=5，BC=12，ACB 为直角，P 是 AB 边上的动点（与点A、B 不重合） ，Q 是 BC 边上动点（与点 B、C 不重合）（1） 如图，当 PQAC，且 Q 为 BC 的中点，求线段 CP 的长。（2） 当 PQ 与 AC 不平行时， CPQ 可能为直角三角形吗？若有可能，求出线段 CQ 的长的取值范围；若不可能，请说明理 由。第 1 问很易得出 P 为 AB 中点，则 CP= 213AB第 2 问：如果 CPQ 为直角三角形，由于 PQ 与 AC 不平行，则Q不可能为直角又点 P 不与 A 重合

15、，则PCQ 也不可能为直角，只能是CPQ 为直角，即以 CQ 为直径的圆与 AB 有交点，设 CQ=2x，CQ 的中点 D 到 AB的距离 DM 不大于 CD，即 ，所以 ，由BDCM1325x13)2(5xDM QPC BA D QMC BA，即 ，而 ，故 ，亦即 时，xCDDM13)2(53106x6310x1230CQCPQ 可能为直角三角形。当然还有其它方法。同学们可以继续研究。练习 2：（广东省 2003 年中考试题最后一题）在 RtABC 中，ABAC ， BAC90，O 为 BC 的中点，（1）写出点 O 到ABC 的三个顶点 A、B、C 距离的大小关系。（2）如果点 M、N 分别在线段 AB、AC 上移动，移动中保持 ANBM，请判断OMN 的形状，并证明你的结论。该题与例 3 类似，同学们可以仿此研究。