1、第四章：三角形第 1 节 认识三角形一三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的几何图形叫作三角形如右图，线段 AB、BC、CA 是三角形的边，点 A、B、C 是三角形的顶点，A、B、C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角，记作“ABC” 2三角形的分类：1. 三角形按边分类 等 边 三 角 形 三 角 形底 边 和 腰 不 相 等 的 等 腰等 腰 三 角 形不 等 边 三 角 形三 角 形2.三角形按角分类 钝 角 三 角 形锐 角 三 角 形斜 三 角 形直 角 三 角 形三 角 形3面积公式1. )(21是 底 边 上 高是 三 角 形 的 底 边
2、 ， hahS2. 高中 位 线 3. ).(2()( 海 伦 公 式是 三 角 形 的 三 边 ，、 cbapcbapbapS 4三角形的性质（一） 三角形的内、外角和1. 定理：三角形内角和等于 1802. 推论：直角三角形的两锐角互余3. 定理：三角形外角和等于 364. 定理：三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和5. 推论：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角（二） 三角形的三边关系1.三角形的任意两边之和大于第三边2.三角形的任意两边之差小于第三边3. （ 为三角形周长） 最 大 边l31l21（三） 三角形中的重要线段1.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线
3、，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线（简称三角形的高） 2.中线：连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点的线段叫作三角形的中线3.角平分线：三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段AEB D CO叫作三角形的平分线注：三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都相交于一点，分别叫三条角的内心、重心、垂心（4） 三角形具有稳定性（5） 整数边三角形：边长都是整数的三角形称为整数边三角形五、典型题分类分析例 1.如图，图中有几个三角形？请分别表示出来，AEC、ADC 分别是哪些角的内角？以BD 为边的三角形有哪些？分析：从 A 点开始计：ABC、ABD、ADC、AEC、AE
4、O、AOC，以 B 点：BEC，以C 点：COD.例 2.如图，ABCD，AD，BC，相交于点 O，A=35，COD=140，求C 的度数.分析：在COD 中，已知COD=104，只要设法求得D 的度数，利用三角形的内角和为 180，即可求出C 的度数.例 3.判断满足下列条件的ABC 是锐角三角形，直角三角形，还是钝角三角形？（1）A=30，B=C；（2）A:B：C=1:2:3.分析：根据条件，利用三角形内角和等于 180，求出各角例 4.下列各组中，三条线段的长度能否构成三角形？（1）3、5、9 （2）5、6、11 （3）5、6、9A BC DO分析：用较短的两条线段之和与最长线段作比较例
5、 5.如图，在ABC 中，BADCAD，AECE，AGBC，AD 与 BE 相交于点 F，试指出AD、AF 分别是哪两个三角形的角平分线，BE、DE 分别是哪两个三角形的中线？AG 是哪些三角形的高?分析：因为BADCAD，所以 AD 是ABC 的角平分线，AF 是ABE 的角平分线。有 AE=CE，知 BE 是ABC 的中线，DE 是ADC 的中线。AGBC，则 AG 是ABC，ADG，ACG，ACD 的高.5课堂练习A 类1、三角形是（ ）A、连接任意三点组成的图形. B、由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形. C、由三条线段组成的图形. D、以上说法均不对.2、试通过画图来
6、判定，下列说法正确的是（ ）A、一个直角三角形一定不是等腰三角形. B、一个等腰三角形一定不是锐角三角形.C、一个钝角三角形一定不是等腰三角形. D、一个等边三角形一定不是钝角三角形.3、如图所示，在ABC 中，ACB 是钝角，让点 C 在射线 BD 上向右移动，则（ ）A、ABC 将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形.B、ABC 将变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形.C、ABC 将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，接着又由锐角三角形变为钝角三角形. D、ABC 先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三角形，然后再次变为钝角三角形.4、
7、三角形按边可分为（ ）A、等腰三角形，直角三角形，锐角三角形. B、直角三角形，不等边三角形. C、等腰三角形，不等边三角形. D、等腰三角形，等边三角形.5、下列说法中正确的是（ ）A、三角形的内角中至少有两个锐角. B、三角形的内角中至少有两个钝角. C、三角形的内角中至少有一个直角. D、三角形的内角中至少有一个钝角.6、已知ABC 的一个外角为 50，则ABC 一定是（ ）A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、锐角三角形或钝角三角形7、将一副直角三角板如图所示放置，使含 30角的三角板的一条直角边和含 45角的三角板的一条直角边重合，则1 的度数为（ ）A、45 B、60
8、 C、75 D、858、如图中有四条互相不平行的直线 L1、L2、L3、L4 所截出的七个角关于这七个角的度数关系，下列何者正确（ ）A、2=4+7 B、3=1+6C、1+4+6=180 D、2+3+5=3609、若ABC 中，2（A+C）=3B，则B 的外角度数为何（ ）A、36 B、72 C、108 D、14410、若钝角三角形 ABC 中，A=27，则下列何者不可能是B 的度数？（ ）A、37 B、57 C、77 D、97B 类11、三角形的一个外角等于与它相邻的内角，则这个三角形（ ）A、是直角三角形 B、是钝角三角形 C、是锐角三角形 D、不能确定属于哪一类三角形12、在ABC 中，
9、A=2B=75，则C 等于（ ）A、30 B、67.5 C、105 D、13513、已知ABC 的三个内角A、B、C 满足关系式B+C=3A，则此三角形（ ）A、一定有一个内角为 45 B、一定有一个内角为 60C、一定是直角三角形 D、一定是钝角三角形14、一个三角形的三个内角中（ ）A、至少有一个钝角 B、至少有一个直角C、至多有一个锐角 D、至少有两个锐角15、锐角三角形中，ABC，则下列结论中错误的是（ ）A、A60 B、B45 C、C60 D、B+C9016、如图，AD，BE 都是ABC 的高，则与CBE 一定相等的角是（ ）A、ABE B、BAD C、DAC D、C17、如图，在三
10、角形纸片 ABC 中，A=65，B=75，将纸片的一角折叠（折痕为 DE） ，使点 C 落在ABC 内的 C处，若AEC=20，则BDC的度数是（ ）A、30 B、40 C、50 D、6018、若三角形的一个内角等于另外两个内角之差，则这个三角形是（ ）A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定19、如图，图 1 中共有 3 个三角形，图 2 中共有 6 个三角形，图 3 中共有 10 个三角形，以此类推，则图 6 中共有多少个三角形？20、如果一个三角形中最大的边所对的角是锐角，那么这个三角形一定是 三角形.C 类21、现有四根木棒，长度分别为 4cm，6cm，8cm，10
11、cm，从中任取三根木棒，能组成三角形的个数为（ ）A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个22、如果三角形的两边分别为 3 和 5，那么这个三角形的周长可能是（ ）A、15 B、16 C、8 D、723、小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别是 4，9，12，如何求这个三角形的面积？”小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解 ”小华根据小明的提示作出的图形正确的是（ ）24、如图，在三角形纸片 ABC 中，A=65，B=75，将纸片的一角折叠（折痕为 DE） ，使点 C 落在ABC 内的 C处，若AEC=20，则BDC的度数是（ ）A、30 B、40 C、50 D、6025、如图
12、，ABC 中，A=60，CD、CE 是ACB 的三等分线，BD、BE 是ABC 的三等分线，则图中BDC 的度数为（ ）A、90 B、100 C、120 D、135第 2 节 全等三角形1全等图形1.全等图形:能够完全重合的两个图形叫作全等图形.2.性质：（1）全等图形的形状、大小相同.（2）全等图形的对应边、对应角相等.（3）全等图形的周长、面积相等.3.图形的基本变换:一个图形经过平移、翻转、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻转、旋转前后的图形全等.2全等三角形1. 全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形.三全等三角形的性质1.全等三角形的对应边、对应角相等
13、.2.全等三角形的周长、面积相等.3.全等三角形对应边上的中线、对应边上的高、对应角的角平分线分别相等.四全等三角形的判定1.边边边公理：三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”).2.边角边公理:两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”).3.角边角公理:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”).4.角角边定理:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”).5.斜边、直角边定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”).五证明两个三角形全等的
14、基本思路方 法 指 引证 明 两 个 三 角 形 全 等 的 基 本 思 路 ：（ 1） ： 已 知 两 边 -找 第 三 边 (SSS)找 夹 角 （ SAS)(2):已 知 一 边 一 角 -已 知 一 边 和 它 的 邻 角找 是 否 有 直 角 (HL)已 知 一 边 和 它 的 对 角找 这 边 的 另 一 个 邻 角 (ASA)找 这 个 角 的 另 一 个 边 (SAS)找 这 边 的 对 角 (AAS)找 一 角 (AAS)已 知 角 是 直 角 ， 找 一 边 (HL)(3):已 知 两 角 - 找 两 角 的 夹 边 (ASA)找 夹 边 外 的 任 意 边 (AAS)练
15、习六.典型题分类分析例 1.找出图中的全等图形（填序号）： .分析：运用观察法找出全等图形：一是看形状是否相同；二是看大小是否相同。例 2.如图，ABCDEB，AB=DE，E=ABC，则C 的对应角为 ，BD 的对应边为 .分析：在ABC 与DEB 中，因为 AB=DE，可得C=EBC，又因为E=ABC，所以 BD=AC.例 3.如图,已知ABCAED.（1）找出图中相等的线段，相等的角.（2）当B=27时，E 等于多少？（3）BC 与 DE 能平行吗？说明理由分析：由ABCAED，CAB=DAE 可知两 BAEDCB CAED个三角形的对应定点，从而可找到对应边、对应角.例 4.如图，在AB
16、C 和DEB 中，已知 AB=DE，还需添加两个条件才能使ABCDEC，不能添加的一组条件是（ ）ABC=EC，B=E B. BC=EC，AC=DCC. BC=DC，A=D DB=E，A=D分析：根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可例 5.如图，已知 AE=CF，AFD=CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ADFCBE 的是（ ）AA=C BAD=CB CBE=DF DADBC分析：先求出 AF=CE，再根据全等三角形的判定定理判断即可七课堂练习A 类1、如图（1）已知 D,E 在ABC 的边上，DEBC,B=60, AED=40,则A 的度数为（ ）A 100 B 90 C 80
17、D 702、若三角形三边的长分别为 2、3、x，则 x 的范围为（ ）,若 x 的值为整数，则x=( )3、已知等腰三角形 ABC 中，腰 AB=8,底 BC=5,则这个三角形的周长为（ ）4、等腰三角形的一边为 6，一边为 13，则其周长为（ ）5、如图（2）ABCD, 1=62,FG 平分EFD,则2=（ ）12A BC DEF(2)AB CO(3)ABCDEF(4)X18205060 706、如图（3）点 O 是三角形 ABC 的两条角平分线的交点，若BOC=118,则A 的度数（ ）7、如图（4）ABCDEF,请根据图中的信息，写出 x=（ ）8、在ABC 中，A=20，B=60,则三
18、角形 ABC 的形状是（ ）A 等边三角形 B 锐角三角形B 直角三角形 D 钝角三角形9、认识三角形后，贝贝很快就从下列线段中找出了能够组成三角形的一组（ ）A 2cm 4cm 6cm B 3cm 5cm 4cmB 7cm 3cm 3cm D 9cm 5cm 3cm10、可能会在 ABC 的外部的线段（ ）A ABC 某边的中线 B ABC 某边上的高C ABC 某内角的平分线 D 钝角三角形最长边上的高B 类11、如图（5）已知ABCDEF，且 AB=4,BC=5,AC=6,则 DF 的长度为（ ） A 6 B 5 C 4 D 不能确定12、如图(6)，AOCBOD,那么下列结论错误的是（
19、 ）A OA=OD B AC=BD C C=D DAOC= BOD13、如图，已知ACF 和DBE，F=E,AB=2cm,BC=5cm,求 AD 的长。14、如图在ABC 中，AD 是角平分线，B=70，, C=40，求ADC 的度数15、如图将一副三角板拼成如图的图形，过点 C 做 CF 平分DCE 交 DE 于点 F(1)试说明：CFAB(2)求DFC 的度数DDDDAEBFC(5)OCABD(6)A B C DE FAB CDABCDEF31 2C 类16、如图，ABC 的两条高 AD、BE 相交于 H，且 AD=BD，试说明下列结论成立的理由。（1）DBH=DAC；（2）BDHADC。
20、17、已知等边三角形中，与相交于点，求的大小。18、如图，在矩形 ABCD 中，F 是 BC 边上的一点，AF 的延长线交 DC 的延长线于 G，DEAG于 E，且 DEDC，根据上述条件，请你在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论。19、已知：如图所示，BD 为ABC 的平分线，AB=BC，点 P 在 BD 上，PMAD 于 M，PNCD于 N，判断 PM 与 PN 的关系AB CDEHPDACBMN20、如图， ABC 中， BAC=90 度， AB=AC， BD 是 ABC 的平分线， BD 的延长线垂直于过C 点的直线于 E，直线 CE 交 BA 的延长线于 F求证： BD=2CE FEDCBA
